INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL

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1 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL XV Semana de Matemática e I Encontro de Ensino de Matemática Setembro 2010 UTFPR Campus Pato Branco Jalves Figueira jalfigueira@gmail.com

2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Resumo: A relatividade especial é uma teoria que surge sobre nossos conceitos de espaço e tempo e tem conseqüências em todos campos da Física. No minicurso será apresentado uma introdução a cinemática relativística, teoria desenvolvida principalmente por Albert Einstein. Público alvo: alunos dos Cursos de Licenciaturas e Engenharias que tenham cursado Física I. Pré-requisitos: Física I.

3 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Conteúdo Mecânica Newtoniana Postulados da Relatividade Medida de um Evento Relatividade do Tempo Relatividade do Comprimento Equações de Transformação de Lorentz

4 1905 Um Ano Milagroso Cinco Artigos Albert Einstein ( ) Efeito Fotoelétrico. Prêmio Nobel de Trata da radiação e das propriedades da Luz. Determinação real do tamanho dos átomos e determina o número de Avogadro Recebe o Título de Doutor. Movimento Browniano. Trata do movimento aleatório de partículas microscópica em suspensão num líquido. Estabelece a existência de átomos e moléculas. Relatividade especial que trata do espaço e do tempo. A inércia de um corpo e seu conteúdo de energia.

5 A teoria da Relatividade especial é uma investigação sobre nossas idéias de espaço e do tempo. A partir destas investigações surge as diferenças que existem entre as medidas físicas realizadas em dois referenciais em movimento relativo. As principais conseqüências dessa investigação são: Relatividade da Simultaneidade: dois acontecimentos (eventos) se são simultâneos em um referencial, eles podem não ocorrer ao mesmo tempo para um outro observador que se move em relação ao primeiro. Contração do Comprimento: réguas em movimento ficam mais curtas ao longo da direção do movimento. Dilatação do Tempo: relógios em movimento batem mais devagar! Geometria de Minkowski: A Relatividade Especial muda a geometria: geometria de Minkowski. Aumento da massa: a massa de uma partícula que se move é maior do que a massa de repouso! As medidas feitas em diferentes referenciais não são as mesmas.

6 Relatividade Versão de Albert Einstein O princípio da relatividade: as leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial privilegiado (referencial absoluto). Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz é igual em todos os sistemas inerciais. (a velocidade da luz é independente da velocidade da fonte) não apenas na mecânica, mas também na eletrodinâmica, os fenômenos não têm nenhuma propriedade associada ao conceito de repouso absoluto Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento (1905) Albert Einstein ( )

7 Relatividade Especial - Principais Contribuições Históricas Galileo Galilei ( ). O Princípio da Relatividade: As leis da Mecânica são as mesmas para qualquer observador com velocidade constante. Isaac Newton ( ) Enuncia as três leis da mecânica válidas nos referenciais inerciais. Hendrik Lorentz ( ). Propõem uma hipótese ad-hoc; o movimento através do éter produz uma contração do objeto. FitzGerald ( ). Independente de Lorentz propõe a contração dos objetos através do éter. Joseph Larmor ( ). Obtém as Jean Fresnel ( ). A hipótese ondulatória da luz. A luz propaga-se em um éter em repouso, este preencheria todo o universo. James Clerk Maxwell ( ). Desenvolve as equações que descrevem uma onda eletromagnética. Estas propagam-se com velocidade c~ km/s. Albert Michelson ( ). Construiu com Morley o primeiro interferômetro, destinado a medir a velocidade da terra em relação ao éter. OBS: A ciência não dá saltos! equações de transformação (Eq. Lorentz) que mantêm as equações do eletromagnetismo invariantes. Jules Henri Poincaré ( ). Enuncia o Princípio da Relatividade para os sinais ópticos e eletromagnéticos. Em 1900 apresenta uma versão para o tempo local de Lorentz. Albert Einstein ( ). Enuncia o princípio da relatividade para todas as leis da Natureza.

8 O Princípio da Relatividade na Mecânica séc. XVII Em qualquer referencial inercial as leis do movimento são as mesmas, e as equações matemáticas das leis têm as mesmas formas.... A Terra se desloca, no seu movimento de translação a volta do sol, com uma velocidade que é de aproximadamente de 30 km/s, nenhuma experiência mecânica efetuada à sua superfície permite revelar este movimento. Galileo Galilei ( )

9 O Princípio da Relatividade na Mecânica Séc. XVIII As leis da mecânica são válidas em todos os sistemas de inércia (sistemas físicos com movimento relativo uniforme) O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa. Escólio: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Isaac Newton ( )

10 O Princípio da Relatividade na Mecânica Séc. XVIII Equivalência dos Referenciais de Inércia S r r r r'= r R te vss ' = C y t '= t r r r dr ' dr dr = dt dt dt r r dvr dv ' dv SS ' = dt dt dt a = a' r r r r v ' = v vss ' y vss ' P r' O R O z z S x x = x vt t = t x

11 As Equações de Maxwell Campos eletromagnéticos podem propagar-se como ondas, com velocidade c km/s. A luz é uma onda eletromagnética. 1 u ( x, t ) u ( x, t ) = 0 c2 t 2 x2 2 2 James C. Maxwell ( )

12 As Equações de Maxwell Leis de Gauss D n dσ = Q, S B n dσ = 0. S Lei de Faraday E t dl = C Lei de Ampère H C t d Φ dt dl = I + B d Φ dt. D. Força de Lorentz F = q (E + u B ).

13 Final do Séc XIX Física Clássica: Modelos em Crise No fim do século XIX, já munidos com a Mecânica Newtoniana e as Equações de Maxwell, muitos Físicos achavam que estava quase tudo já entendido na Física, e que apenas detalhes seriam necessários para explicar alguns resultados não entendidos até aquele momento.

14 Final do Séc XIX Física Clássica: Modelos em Crise Alguns Experimentos explicados: que não conseguiam ser Existência de Espectros Discretos, ou seja, a observação de que a radiação emitida por um gás (descarga elétrica) ou uma chama (contendo um gás volátil) era composta principalmente de alguns comprimentos de onda discretos.

15 Final do Séc XIX Forma (distribuição dos comprimentos de onda) dos espectros contínuos de radiação, característicos de corpos quentes. Efeito Fotoelétrico, onde elétrons são ejetados de alguns materiais quando iluminados por radiação eletromagnética (luz) Historicamente, o nascimento da Física Quântica ocorreu pelo 2 ítem (Radiação de Corpo Negro). Negro

16 Final do Séc XIX ÉTER: De acordo com a visão clássica, se há uma onda, como som (ou luz), deve haver algum meio para transportar esta perturbação. Este meio, para a luz, foi chamado de éter, e essencialmente foi assumido por todo o mundo para estar lá. A onda desloca-se neste meio com uma certa velocidade, da mesma maneira que ondas em água, ou som no ar. É assumido que o éter permeia e penetra em todos os corpos materiais com ou sem resistência

17 Final do Séc XIX Duas questões preocupavam os Físicos: Ao contrário das leis de Newton da mecânica, as equações de Maxwell do eletromagnetismo não eram equivalentes segundo as transformações de Galileu; A hipótese da existência do éter meio cujas vibrações estariam ligadas à propagação das ondas eletromagnéticas não foi comprovada pela famosa experiência de Michelson Morley James C. Maxwell ( )

18 O Princípio da Relatividade Como seria uma onda eletromagnética vista por um observador inercial S na velocidade da luz?

19 Experimento de Michelson-Morley - Analogia com um Barco no Rio. Pense em dois casos: 1)Um rio que flui com velocidade Vc. O rio possui uma largura de x metros. 2)Um barco desloca-se com uma velocidade relativa a água de Vb. Considere duas situações: 1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma distância 2X 2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do rio, percorrendo uma distância 2X ou,

20 1) O barco desce e sobe o rio, percorrendo uma distância 2X; x 0 S S 0 (terra) 0 (rio) Vb Vc Velocidade do barco em relação à terra: Vc + Vb Vc - Vb correnteza abaixo correnteza acima P Tempo para que o barco percorra o trajeto de ida e volta: t = t1 + t2 = t= Jalves Figueira - UTFPR x x + Vb + Vc Vb Vc 2 xvc Vc 2 Vb 2

21 2) O barco cruza o rio perpendicularmente a correnteza do rio, percorrendo uma distância 2X, V Vb Vc Velocidade do barco em relação à terra: Tempo para que o barco percorra o trajeto de ida e volta: t = t1 + t2 = x V 2 Vc 2 + V = Vb2 + Vc 2 Vb t= Vc Jalves Figueira - UTFPR 2x V 2 Vc 2 x V 2 Vc 2

22 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL

23 Medidas da Velocidade da Luz - Roemer 1676 Tempo de Transito da Luz através da órbita terrestre. O Astrônomo Roemer observou que os eclipses de Io, satélite de Júpiter, não eram regular. Após 6 meses, transito de meia volta da terra ao redor do sol, o tempo oscilava em 22 min. Este tempo corresponde ao tempo que a luz percorre a órbita da Terra. T= D / t = c = km/s

24 Medidas da Velocidade da Luz - James Bradley 1725 Aberração da Luz Estrelar James observou que as estrelas próximas do zênite parecem mover-se, numa órbita quase circular. Em um ano o diâmetro angular de 40,5. O fenômeno surge devido a velocidade finita da luz e da velocidade da terra em torno do sol. C = km/s

25 Medidas da Velocidade da Luz. Michelson-Morley V A * A = fonte luminosa B = espelho semitransparente D, V = espelhos L = BV = BD B D t ( B D) = L, c v t ( D B) = t ( B V ) = t (V B ) = L c v 2 2 L, c+ v. Se o éter existisse, a Terra em rotação e revolução mover-se-ia através dele. Um observador na Terra sentiria um vento de éter, cuja velocidade seria V em relação à Terra.

26 Medidas da Velocidade da Luz. Experiência de Michelson-Morley Uma conclusão do experimento nulo é que a velocidade a Luz é a mesma em todas as direções e em qualquer referencial inercial.

27 Medidas da Velocidade da Luz. Experiência de Michelson-Morley

28 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL O que é o Tempo?

29 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Isaac Newton ( ) Tempo é: O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa. Princípios Natural Matemáticos da Filosofia

30 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Albert Einstein ( ) tempo é: Tempo é o que um relógio marca! Relógio, qualquer objeto que forneça uma série de acontecimentos que possam ser contados.

31 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL O que é o Espaço?

32 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Isaac Newton ( ) Espaço é: O espaço absoluto, considerando na sua própria natureza sem relação a qualquer coisa externa, permanece sempre homogêneo e imóvel: o espaço relativo é uma dimensão ou medida do espaço móvel. Princípios Matemáticos da Filosofia Natural

33 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL Albert Einstein ( ) Espaço é: Espaço de um corpo é prolongamentos do corpo! o conjunto Não podemos falar de espaço de uma maneira abstrata, mas tão somente de espaço que pertence a determinado corpo. Isto é: corpos de referência ou espaços de referências. de todos

34 Medidas de um Evento Todos os nossos julgamentos com respeito ao tempo são sempre julgamentos de eventos simultâneos. Se eu digo: Este trem chega aqui às 7 horas, estou querendo dizer algo como: O ponteiro pequeno do meu relógio indicar 7 horas e o trem chegar aqui são S eventos simultâneos. -V

35 Medidas de um Evento S V

36 Clocks #

37 A relatividade do tempo O relógio de luz : MOVIMENTO D= 1 c t0 2 2 relógios 2 c t 1 2 L2 = = v t + D 2 2

38 As transformações de Lorentz P = ( x, y, z, t ) P = ( x, y, z, t ) y y v = v xˆ O z x z O x Frentes de ondas esféricas

39 As transformações de Lorentz transformação de Galileu: x = x vt t = t Para que se tenha frentes de ondas esféricas, com velocidade c, nos dois sistemas de coordenadas, pode-se demonstrar que as medidas de tempo e espaço nos dois sistemas de coordenadas devem satisfazer as Transformações de Lorentz: x = γ ( x vt ) ; dx dx = v dt dt vs = vs v v t = γ (t 2 x ) c y = y ; γ 1 1 β 2 z = z β v c Para v << c temos que a transformação de Lorentz reduz-se à transformação de Galileu.

40 Os postulados de Einstein e a transformação de Lorentz A teoria da Relatividade Restrita, ou Especial, baseia-se nos dois postulados seguintes: P1. As leis da Física são as mesmas em todos sistemas de referência com velocidade relativa constante. P2. A velocidade da luz no vácuo não depende do movimento de sua fonte. P1 é satisfeita pelas leis de Newton, com a transformação x = x vt,,mas não pelas leis de Maxwell: se a velocidade da luz é c em S, ela será c - u em S. Portanto essa transformação de coordenadas precisa ser substituída. P2 implica que uma onda esférica de luz, emitida no tempo t = t = 0, no ponto O = O, no intervalo Δt atingirá a esfera em S e no intervalo Δt atingirá a esfera S.

41 Significa que : ( c t ) ( x ) ( y ) ( z ) 2 2 ( c t ) ( x ) ( y ) 2 ( z ) A identidade deve valer não apenas para a emissão e recepção da luz, mas para os incrementos entre dois eventos quaisquer ( t = t 2 t1, etc.) A relação acima entre as condições físicas, (t, x, y, z) e (t, x, y, z ) devem obedecer à chamada transformação de Lorentz entre os sistemas S e S, cuja velocidade relativa v deve ser menor que c: t = x = y = z = t vx / c 2 1 (v / c ) 2 x vt 1 (v / c ) 2 y z.

42 Referências TEORIA DA RELATIVIDADE PARA PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO¹ Curso de Extensão Março 2006 Helio V. Fagundes Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista Carlos Eduardo Aguiar - Instituto de Física-UFRJ

43 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL FIM Jalves Figueira Albert Einstein ( )