Capítulo III Postulados da Relatividade Restrita

Transcrição

1 Capítulo III Postulados da Relatividade Restrita A Teoria da Relatividade Restrita, formulada por Albert Einstein em 1905, mantém toda a concepção do espaço homogêneo e isotrópico, que implica na não existência de posições ou orientações espaciais privilegiadas, e a arbitrariedade na escolha da origem do tempo e a consequente equivalência de todos os referenciais inerciais. As observações experimentais mostrando que a velocidade de propagação da luz no vácuo é independente do movimento relativo entre a fonte e o observador, que viola a lei de adição das velocidades newtoniana, e o fato das equações de Maxwell não serem covariantes pelas transformações de Galileu levaram a assumir que somente as leis da mecânica deveriam satisfazer ao princípio da relatividade newtoniana, uma situação desconfortável para a Física. A ideia de Einstein foi justamente estender o conceito de relatividade para toda a Física dentro da concepção ideal de que tal princípio deva se aplicar a todas as leis da Natureza. Assim, dois postulados, que podem ser enunciados como abaixo, dão suporte à Relatividade Restrita: 1. Princípio da Relatividade: as leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais, ou seja, não existe nenhum referencial inercial preferencial. 2. Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor constante c em todos os referenciais inerciais. Veja que o Princípio da Relatividade de Einstein apenas generaliza a relatividade newtoniana, estendendo a sua validade para toda a Física, enquanto que a relatividade newtoniana restringe-se às leis da mecânica. Resta lembrar que ainda se restringe aos referenciais inerciais, dificuldade sanada com a generalização para a Relatividade Geral pelo próprio Einstein. A diferença fundamental da Relatividade Restrita de Einstein em relação à relatividade newtoniana é o postulado da constância da velocidade da luz. O preço a pagar é uma alteração profunda em alguns dos conceitos físicos tidos até então como indiscutíveis, como as propriedades absolutas do espaço e do tempo. A constância da velocidade de propagação da luz no vácuo só é possível se aceitos os conceitos como a relatividade da simultaneidade, a relatividade do tempo e a relatividade do espaço. 3.1 Relatividade da simultaneidade Na relatividade newtoniana, o tempo é um conceito absoluto, fluindo uniforme e independentemente dos observadores localizados em diferentes referenciais. Isto significa, por exemplo, que se dois ou mais eventos forem simultâneos num certo referencial, serão simultâneos em todos os referenciais inerciais. Na relatividade einsteiniana, como consequência da constância da velocidade da luz, a noção de simultaneidade passa a ser relativo, isto é, dois ou mais eventos simultâneos num determinado referencial inercial não implica necessariamente que serão simultâneos num outro referencial inercial. Isto abre, inclusive, a possibilidade de que a ordem temporal dos eventos possa ser diferente para observadores postados em referenciais inerciais diferentes. 17

2 Para compreender a questão da relatividade da simultaneidade dos eventos, considere o seguinte experimento idealizado: um aparato, linear, é montado para controlar dois eventos, e, respectivamente, localizados nas suas duas extremidades, nos pontos A e B, num certo referencial inercial R onde o aparato se encontra em repouso. Esses eventos são sinalizados por emissões de luz nesses respectivos pontos e as recepções desses sinais luminosos são feitas no centro O do segmento de reta que une os pontos A e B. Figura 3.1 Observação de eventos simultâneos nos pontos A e B sinalizados por emissões de luz recebidas simultaneamente no ponto equidistante O. Suponha que os dois eventos ocorram simultaneamente nesse referencial. A figura (3.1) ilustra o sistema em instantes diferentes, desde a emissão simultânea dos sinais em A e B até a recepção simultânea desses sinais em O. Os sinais provenientes dos pontos A e B percorrem a mesma distância até atingirem o ponto O, com a mesma velocidade c, gastando para tanto o intervalo tempo = =, (3.1) = = =. (3.2) Pode-se concluir que as recepções simultâneas dos sinais em O no instante t₀ indicam que os eventos e ocorreram simultaneamente, no instante =. Os mesmos eventos e, simultâneos no referencial R, não são necessariamente simultâneos quando observados num outro referencial inercial R em movimento uniforme, com velocidade V, em relação a R ao longo da reta coincidente com os eixos x-x. (Veja a figura 3.2). Como eventos simultâneos que ocorrem num mesmo ponto do espaço podem ser confundidos com um único evento (ou equivalentemente, podem ser associados a um mesmo evento que ocorra no mesmo ponto), as recepções em O dos sinais emitidos em A e B devem ser simultâneas tanto para observadores em R como em R. No entanto, para observadores em R, os sinais luminosos emitidos nos pontos A e B percorrem distâncias diferentes, com a mesma velocidade c como impõe o postulado da constância da velocidade da luz. Isto porque, embora as distâncias e sejam iguais, = =, (3.3) o sinal emitido em A deve percorrer uma distância menor que o sinal emitido em B devido ao deslocamento de AB em relação a R. 18

3 Os intervalos de tempo necessários para os sinais luminosos emitidos nos pontos A e B até atingirem o ponto central O são, respectivamente, e = = + = = + (3.4) = =. (3.5) Figura 3.2 A recepção simultânea dos sinais em O indica que os eventos em A e B não são simultâneos. Esta análise mostra que os eventos e quando observados no referencial inercial ocorrem em instantes e diferentes, = + o intervalo de tempo entre os dois eventos sendo =, (3.6) = = 2. (3.7) Portanto os eventos e, embora simultâneos para observadores no referencial inercial R, não são simultâneos para observadores em R. É um exemplo típico de um experimento mentalizado onde se pode constatar a relatividade da simultaneidade como uma consequência direta do postulado da constância da velocidade da luz. 3.2 Relatividade do tempo Outra consequência da constância da velocidade da luz é a relatividade do tempo, mais precisamente, do intervalo de tempo entre dois eventos. O seguinte experimento idealizado pode aclarar essa questão. Considere um referencial R onde é feita a medida do tempo gasto por um sinal luminoso partindo de um ponto A até outro ponto B onde é refletido, retornando ao ponto A, o segmento de reta perpendicular ao eixo x. 19

4 Figura 3.3 Intervalo de tempo entre eventos emissão do sinal em A e a recepção do mesmo sinal de volta para A após ser refletido em B. Se =, então o intervalo de tempo entre a emissão e a recepção do sinal luminoso será (veja ilustração na figura 3.3) = 2. (3.8) Imagine um aparato experimental formado por um tubo de comprimento L em cuja extremidade A fixa-se uma fonte e um receptor de luz e na extremidade oposta B fixa-se um espelho refletor direcionado para A, o experimento realizado com o aparato colocado perpendicularmente ao eixo x. O mesmo aparato experimental, para um observador num referencial R em movimento uniforme em relação a R, com velocidade V ao longo do eixo x, será visto movendo-se em direção oposta com a mesma velocidade V. Essa situação está ilustrada na figura 3.4. Assim, a emissão de luz ocorrerá no ponto A em direção a B, onde é refletido em direção a C, seguindo o movimento do aparato ao longo do percurso 2d, onde d é a distância entre A a B e entre B e C. O tempo gasto nesse percurso será Como então = 2. (3.9) = 1 = 2, (3.10) = + ( ) 4. (3.11) 20

5 Figura 3.4 Intervalo de tempo entre eventos emissão do sinal em A e a recepção do sinal de retorno em C após ser refletido em B. Combinando com a equação (3.9) e usando (3.8) resulta = (3.12) para 1 =, = (3.13) 1 Esse resultado mostra que o tempo flui diferentemente conforme o movimento relativo dos observadores. Como 1 deve ser positivo para que a relação (3.12) tenha significado físico, então = <1, (<) >1 (3.14) e, portanto,, o que justifica o termo dilatação do tempo de R em relação a R. Em termos práticos, significa que relógios em movimento marcam intervalos de tempos menores do que os relógios em repouso. Se, por exemplo, corresponder ao intervalo de tempo entre o tic e o tac de um relógio em repouso em R, esse mesmo tic e tac, será percebido pelo observador em R, agora com o relógio em movimento, ocorrendo separados pelo intervalo de tempo. 3.3 Relatividade do espaço A relatividade do comprimento (distância entre dois pontos) é outra consequência da constância da velocidade da luz. Considere o seguinte experimento idealizado para verificar essa relatividade: uma luz é emitida num ponto A em direção a um espelho colocado num outro ponto B, onde é refletido, retornando ao ponto A. Por simplicidade, esses pontos são localizados paralelamente ao eixo x, em repouso no referencial R. (Veja a figura 3.5). Podese imaginar os pontos A e B como as posições das extremidades de uma régua, por exemplo. Para um observador no referencial R, onde =, o tempo gasto pela luz no percurso de A para B será ₁=/, levando o mesmo tempo no percurso de retorno (de B para A), ₂=/, totalizando 21

6 = 2. (3.15) Figura 3.5 Comprimento (distância) entre dois pontos. Visto por um observador num outro referencial R (veja a figura 3.6) deslocando-se ao longo do eixo x em relação a R com velocidade uniforme V, o tempo gasto no percurso é = = + (3.16) e, no percurso, = + resultando, para o percurso total, o intervalo de tempo =, (3.17) = + = + + = 2 (3.18) Usando a equação (3.14) e a dilatação do tempo, equação (3.12), resulta =1 = 1. (3.19) Como, diz-se que há uma contração do espaço na direção do movimento. A contração do espaço afeta somente o comprimento na direção do movimento relativo, isto é, somente a dimensão longitudinal ao movimento. Um argumento relativamente simples pode mostrar que a dimensão transversal ao movimento relativo não pode ser afetado. Por exemplo, suponha duas réguas de mesmo comprimento quando em repouso, colocadas paralelas entre si e perpendiculares em relação ao eixo x, ambas com uma das extremidades sobre esse eixo, deslocando-se ao longo do mesmo uma na direção da outra. Suponha que cada uma das réguas disponham de dispositivos nas extremidades que permitam, à que estiver 22

7 contraída, decepar a outra para igualar o comprimento. Se houver contração na dimensão transversal ao movimento relativo, um observador em repouso em relação a uma das réguas verá a outra contraída e decepar a sua régua, fato que poderá ser comprovado ao final do experimento. O outro observador, em repouso em relação à outra régua, fará a mesma observação, porém com as réguas trocadas, que também poderá ser comprovado ao final do experimento. Esses resultados são incompatíveis entre si, mostrando que não pode ocorrer alterações de comprimento na direção transversal ao movimento. Figura 3.6 Verificando a contração do espaço. O comprimento ou a distância entre dois pontos é definido pela medição simultânea das coordenadas desses dois pontos, e a contração do espaço na direção do movimento ocorre devido à relatividade da simultaneidade. As medidas das coordenadas dos dois pontos feitas simultaneamente num dos referenciais não são simultâneas no outro referencial. Exercícios 1. Com o mesmo experimento idealizado para demonstrar a relatividade da simultaneidade dos eventos na Relatividade Restrita, mostre que na relatividade newtoniana resultam simultâneos nos dois referenciais. 2. Repita o exercício anterior para checar a relatividade do tempo na física newtoniana. 3. Repita o exercício anterior para checar a relatividade do espaço na física newtoniana. 4. O Sistema Solar dista da ordem de 8 (1 pc 3, ) do centro da Via Láctea, cujo diâmetro é da ordem de 50. (i) Poderia uma pessoa, em princípio, viajar até a periferia da Galáxia num tempo de vida normal? (ii) Que velocidade, constante, seria necessária para fazer a viagem em 30 anos? (iii) Qual será o tempo transcorrido na Terra ao retornar? 5. Dada meia vida de um méson em repouso, ₀= 2,3 10 ⁶, que distância média percorre no vácuo antes de decair, quando medidas em sistemas de referência em que 23

8 as suas velocidades são 0,60,0,90 0,99? Compare cada uma destas distâncias com as distâncias que o méson veria a si próprio percorrendo. Bibliografia 1. John J. Brehm e William J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3^{a.} edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958). 3. J. H. Smith, Introduction to Special Relativity, Ed. W. A. Benjamin, NY, R. Resnick, Introdução à Relatividade Especial, Ed. USP/Polígono, SP, Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY,