Eletromagnetismo Potenciais Eletromagnéticos: a Solução Geral

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1 Eletromagnetismo Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral

2 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 1 Os Poteniais Vetor e Elétrio As leis dinâmias da físia são voltadas para a desrição da evolução no tempo, ou no espaço, das grandezas físias que araterizam um sistema físio. Na eletrodinâmia as grandezas físias fundamentais são os ampos. A rigor existem apenas dois ampos fundamentais no eletromagnetismo. Ambos são denominados ampos poteniais. Um deles é uma grandeza esalar (o potenial esalar e o outro tem um aráter vetorial. Eles serão designados por V = V r, t e A= A( r, t ( A partir desses dois ampos, podemos onstruir outros omo o ampos elétrios e magnétios. Isso, no entanto, só é possível para o váuo e para meios lineares e isotrópios. Tendo em vista a existênia de dois onjuntos de ampos na eletrodinâmia, temos duas alternativas para formular as leis físias: na primeira, esrevemos as equações para os ampos elétrio e magnétio; na segunda, tratamos de formular as leis que regem o omportamento dos poteniais elétrio e vetor. E isso será feito a seguir. ( 1 Campos Eletromagnétios e os Poteniais Elétrio e Magnétio Consideremos as seguintes equações de Maxwell B E = t B = 0 ( Da segunda equação segue que o ampo magnétio pode ser esrito omo o rotaional de um ampo vetorial, o qual identifiamos omo o potenial vetor Brt (, = Art (, ( 3 Figura 1: O ampo magnétio deriva de um ampo ujo rotaional é diferente de zero. Substituindo essa expressão em (000, obtemos

3 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral Da qual inferimos que o ampo elétrio pode ser esrito omo Art (, Ert (, + = Vrt (, Assim, os poteniais representam soluções das duas equações (000 e (000 em termos de dois novos ampos. A equação satisfeita pelos poteniais esalar e vetor serão derivadas oportunamente. A Esolha do Gauge A E + = 0 Quando desrevemos os fenômenos eletromagnétios por meio do uso dos poteniais A e V, devemos nos dar onta de que tais grandezas físias omportam erta arbitrariedade. Ou seja, se onsiderarmos uma solução para o potenial vetor, por exemplo: µ J ( r ' 0 ' Α ( r = dν ' π r r ( 4 ( 5 ( 6 Então, se adiionarmos a essa solução o vetor: Ou seja, o vetor Ar ( dado por: V r ( = Λ ( r ( = ( + Λ ( ' A r Ar r ( 7 ( 8 nos leva ao mesmo ampo magnétio, isto é: ' ( ( ' Β r =Β r = A = Α ( 9

4 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 3 Isso oorre porque: Λ = ( ( r 0 ( 10 Podemos verifiar, mais geralmente, que os ampos elétrio e magnétio são invariantes sob transformações dos poteniais sob a forma Α Α = Α + Λ ' ( rt, ( rt, ( rt, ( rt, Λ ( rt, (, (, = (, + V rt V rt V rt Tais transformações são designadas transformações de Gauge, e a invariânia dos ampos elétrio e magnétio sob tais transformações é denominada de invariânia de Gauge. Proura-se eliminar tal indeterminação dos ampos impondo ondições sobre as mesmas ' B = B ' E = E A primeira ondição se esreve om: ( 11 ( 1 Α=0 ( 13 Trata-se de uma esolha voltada para fixar o potenial vetor. Por exemplo, mediante uma transformação da forma (00, obtemos: ' Α= Α= Λ=0 ( 14 Ou seja, as funções Λ devem satisfazer = 0. A solução para todo o espaço, dessa equação, é: Λ = 0 ( 15

5 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 4 Consequentemente, a ondição (00, denominada esolha de Gauge transversal, elimina a arbitrariedade. Outra ondição, denominada esolha do Gauge de Lorentz, é: A seguir veremos sua utilidade. ν Α + εµ = 0 ( 16 Equações em Termos dos Poteniais Consideremos agora as outras duas equações: A equação que nos leva à lei de Gauss, quando estamos tratando de meios lineares e isotrópios, pode ser esrita omo: Figura : A invariânia de Gauge é a base das teorias dinâmias das partíulas. Por isso sua relevânia no nível mais fundamental possível. E = ρ ε ( 17 Em termos dos poteniais vetor e esalar, essa equação se esreve omo: A ρ ( V = ε ( 18

6 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 5 Ou ainda: ( A V + = Consideremos agora a equação de Maxwell-Ampère. Em termos dos poteniais, admitindo meios lineares e isotrópios, essa equação assume a forma: A ( A =µ J +εµ V Utilizando a identidade ρ ε = + ( A A ( A ( 19 ( 0 ( 1 a equação (000 pode ser esrita omo A+ ( A = µ J + εµ V A Fazendo um rearranjo dos termos, a equação de Maxwell-Ampère assume a forma A V A εµ A J + εµ = µ Assim, no Gauge de Coulomb, ou Gauge transversal, as equações são: ( ( 3 ρ V = ε A V A εµ εµ = µ J Uma vez que a segunda equação está aoplada à primeira, vemos que nesse Gauge apenas a equação (000 se simplifia. ( 4 ( 5

7 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 6 Consideremos agora o Gauge, ou ondição, de Lorentz espeifiado pela equação (000. Como vemos, nesse aso obtemos duas equações de segunda ordem para os poteniais, mas agora ambas estão desaopladas. Obtemos expliitamente: V( rt, ρ( rt, V( rt, εµ = ε ( 6 Art (, Art (, εµ = µ J( rt, Reduzimos, assim, as quatro equações de Maxwell de primeira ordem para duas equações de segunda ordem. Se pensarmos as omponentes dos ampos omo variáveis independentes, teremos, a rigor, oito equações de Maxwell para os ampos eletromagnétios, ao passo que para os poteniais temos 4 equações de segunda ordem. Isso porque temos três equações para os poteniais. Uma equação para ada omponente: A seguir, onsideraremos o meio omo sendo o váuo. A Solução Geral A( rt, A rt, Ji rt, i i( εµ = µ ( ( 7 A equação ( rt,, F rt, 1 Ψ Ψ( rt = É resolvida, em geral, a partir da seguinte forma: ( Ψ r t G r r t t F r t d rdt = 3 (, (,,, (, ( 8 ( 9

8 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 7 Em que G( rr,,, tt é a função de Green, a qual satisfaz a equação: 1 G( rr,,, tt 3 G( rr,,, tt = δ ( r r δ( t t As funções do tipo δ, na realidade distribuição, têm a peuliaridade de serem infinita, quando o argumento for igual a zero, e serem iguais a zero, quando o argumento for diferente de zero. Além disso, suas integrais, para todos os valores das varáveis, são iguais a 1. Assim, a função de Green é a solução assoiada à situação hipotétia na qual algo omo a arga elétria surge num determinado ponto apenas num determinado instante de tempo. Trata-se, portanto, de um artifíio matemátio. Pode-se mostrar, utilizando o artifíio das integrais de Fourier, que a função de Green é dada por: ( 30 r r δ( t t+ G( rr,,, tt = 4πε r r 0 ( 31 e Consequentemente, as soluções para os poteniais são: 1 ρ( r ( t r r ( t ϕ (, r t = d r dt δ( t t + 4 πε r r ( t ( r µ ρ ( t ut ( r r ( t A(, r t = d r dt δ( t t + 4 π r r ( t ( 3 ( 33 A integral sobre a variável tʹ pode ser efetuada lembrando-se da propriedade envolvendo integrais de uma função delta, quando temos na função delta uma função das variáveis de integração. O resultado é R Ht ( dt H ( t δ t t + = dr 1+ dt R t = t ( 34

9 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 8 Definindo o fator χ de aordo om a expressão, 1 dr R dr n u χ= 1+ = 1 1 dt R dt ( 35 onluímos que os poteniais para uma distribuição arbitrária de argas podem se esritos omo 1 3 ρ( r ( t ϕ (, rt = dr 4 πε χ r r ( t µ 0 3 ρ( r ( t ut ( Art (, = d r 4 π χ r r ( t 0 t = t R / t = t R / ( 36 Em que R = r r t r r t n = r r t dr v = dt ( ( ( ( 37 A determinação das soluções dos problemas do eletromagnetismo, no qual evitamos as ondições de ontorno, esbarra na determinação do tempo retardado. Esta determinação é possível no aso do movimento uniforme: Nesse aso, esrevemos Figura 3: Retarded potentials generated by a loalized urrent/harge distribution. R r r ( t = x ut + y + z ( ( 38 A ondição de retardo implia ( ( t t = x ut + y + z ( 39

10 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 9 Dessa última equação segue que a solução para o tempo retardado é uma das raízes da equação do segundo grau aima. Obtemos que o tempo retardado é dado por 1 ux 1 u t = t x ut + y + z u 1 ( 1 ( ( 40 No entanto, nos asos gerais, isso é tipiamente impossível. Em muitas situações, nas quais temos uma distribuição ontínua de arga, podemos fazer uso da aproximação: ' 1 ' t t r r 1 3 ρ( r ( t, t ϕ (, rt = dr 4 πε r r ( t Art (, 0 t = t R / µ ρ( r ( t, t ut ( 4 π r r ( t 0 3 = d r t = t R / ( 41 ( 4 ( 43 Outra aproximação, muitas vezes útil, é aquela na qual tomamos: v 1 n 1 ( 44 Ou seja, no limite não relativístio (00. Os ampos eletromagnétios são obtidos a partir das derivadas dos poteniais. Por exemplo, B x A y z = A y z ( 45

11 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 10 De um modo geral, devemos levar em onta três termos. Ou seja, devemos levar em onta derivadas da forma: 1 1 ρ n 1 r r ( t + ν R t = t R as quais requerem erto uidado ao serem efetuadas. ( ( r ( t i i i R t = t t = t ( 46 Caso simples Consideremos o aso de uma distribuição de argas loalizada na origem e que depende do tempo. Nesse aso, para determinarmos a solução, em quaisquer das situações, devemos enontrar soluções da equação: 3 1 V δ ( r V = qt ( ( 47 o Ou seja, r 1 V( rt, 3 1 V( rt, dr= qt o A partir da expressão geral (000, deduzimos que uma solução para esse aso é, (, V rt qt = ( r 4π o r ( ( 48 ( 49 Podemos entender essa solução analisando a equação (000. Fora da origem, a equação é da forma V( rt,, 0 1 V( rt = ( 50

12 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 11 Em oordenadas esférias, a equação (00 é da forma: 1 ( V rt, 1 V( rt, r = 0 r r r ( 51 Portanto, uma solução geral para essa equação é da forma: (, V rt = (, X rt r ( 5 Com X X = r ( 53 Portanto, a solução é uma onda esféria da forma X = f ( r t + g ( r + t ( 54 Consequentemente, se adotarmos apenas uma onda que parte da origem, a solução será qt f r = ( t ( r 4π o ( 55 E. portanto, a solução de (000, é aquela dada pela expressão, ou seja uma onda esféria que emana da origem. Figura 4

13 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 1 Poteniais de Liénard-Wihert Para uma arga elétria Q em movimento, om veloidade v, os poteniais esalar e vetor produzidos por essa arga no ponto ujo vetor posição é r, são dados, de aordo om (000, pelas expressões: Q 1 ϕ ( r = 4 v n 0R πε 1 t = t R ( 56 Em que r ( t µ 0 1 Qv Ar ( = 4 R π v n 1 é o vetor de posição da partíula no instante de tempo tʹ e as demais grandezas são dadas pelas expressões: No aso do movimento uniforme, Lembrando a definição de retardo, temos que: t = t R ( 57 u u ux u χr = R ( x ut = ( t t ( x ut = t 1 t ( 58 Utilizando a expressão (000, para tʹ, obtemos que: 1 γ ( u = χr γ u x ut + y + z Em que ( ( ( 1/ 1 ( u γ = 1 u ( 59 ( 60 Figura 5: O que aontee no ponto P, em um instante de tempo t, pode resultar do que aonteeu num instante de tempo anterior a este.

14 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 13 Consequentemente, o potenial esalar é dado pela expressão: q γ ( u ( ( ϕ (, rt = 4 πε 0 γ + + ( u x ut y z 1/ ( 61 Para o potenial vetor enontramos u Art (, = ϕ(, rt ( 6 Figura 6: Superfíies equipoteniais para uma arga em movimento.

15 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 14 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook ontém reursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses reursos, por favor aesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito versão 9.0 ou mais reente. Botões India pop-ups om mais informações. Sinaliza um reurso midiátio (animação, áudio et. que pode estar inluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página. Créditos de produção deste ebook. India que voê aessará um outro treho do material. Quando terminar a leitura, use o botão orrespondente ( para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

16 Eletromagnetismo» Poteniais Eletromagnétios: a Solução Geral 15 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Apliada (CEPA, Instituto de Físia da Universidade de São Paulo (USP. Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Ténia e Exeríios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfio e Editoração Eletrônia: Daniella de Romero Peora, Leandro de Oliveira e Prisila Pese Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Roha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Mauríio Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Mauríio Rheinlander Klein.