Série VIII Relativadade Restrita

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1 Meânia e Ondas, 0 Semestre , LEIC Série VIII Relativadade Restrita 1. Uma nave espaial que se dirige para a Lua passa pela Terra om uma veloidade v = 0.8. Sabendo que a distânia da Terra à Lua é de km, determine a) A duração da viagem da Terra à Lua para um observador na Terra; b) A duração da viagem para um passageiro da nave; ) A distânia da Terra à Lua para um passageiro da nave.. Um astronauta deseja ir a uma estrela afastada 5 anos-luz. a) Calule a veloidade do foguete relativa a Terra para que a duração da viagem, medida pelo relógio do astronauta, seja de 1 ano. b) Qual é a duração da viagem medida por um observador na Terra? 3. O muão é uma partíula instável uja vida média (no referenial próprio) é de s. a) Qual é a vida média do muão num referenial em que ele se move om veloidade 0.96? b) Qual é a distânia média perorrida por um muão desde a sua riação até ao seu deaimento num referenial em que ele se move om a veloidade referida na alínea anterior? 4. Duas réguas, ada uma das quais om omprimento próprio l 0 = 50 m, movem-se longitudinalmente ao longo do eixo dos XX em sentidos ontrários, uma om veloidade v 1 = 0.8 e outra om veloidade v = 0.9. a) Determinar a veloidade da primeira régua no referenial próprio da segunda régua. b) Determinar o omprimento da primeira réguas no referenial próprio da segunda régua. 5. A partir da transformação de Lorentz deduza a lei de transformação das aelerações entre dois refereniais ineriais e ompare om o aso lássio. 6. Uma nave espaial Klingon foge da Terra à veloidade v k = 0.6. Duas horas depois do iníio da fuga, a nave espaial Enterprise iniia a perseguição movendo-se om veloidade v e = 0.9 também em relação à Terra. a) Do ponto de vista da Terra, quanto tempo leva a Enterprise a apanhar a nave dos Klingons? b) Visto do posto de omando da Enterprise, a que veloidade foge a nave dos Klingons? ) Quanto tempo leva a Enterprise a apanhar a outra nave de aordo om o seu relógio de 1

2 bordo? 7. Uma nave espaial tem um omprimento próprio de 1000 m e desloa-se relativamente à Terra om veloidade 0.9. Num erto instante, dois fragmentos resultantes da explosão de um reator no ponto médio da nave saem disparados em direções opostas om a mesma veloidade de 0.6 no referenial da nave, um dirigindo-se para a extremidade da frente e outro para a extremidade de trás. a) Qual é o omprimento da nave medido por um observador em repouso na Terra? b) Do ponto de vista da nave, quanto tempo demora ada um dos fragmentos a atingir a extremidade para a qual se dirige? Verifique que os fragmentos atingem as extremidades simultaneamente. ) Do ponto de vista da Terra, qual é o intervalo de tempo que deorre entre a hegada de ada um dos fragmentos à extremidade para a qual se dirige? 8. Seja uma garagem de omprimento próprio l og = 10 m em uja extremidades se enontram as portas A e B. Um atleta orre em direção à garagem transportando onsigo uma tábua de omprimento próprio l ot = 0m ujas extremidades são C e D. a) Calule a veloidade om que o atleta deve orrer para que os observadores em repouso em relação à garagem vejam a tábua om um omprimento idêntio ao da garagem. b) Considere então que o atleta orre om a veloidade determinada em a). Para os observadores solidários om a garagem, os aonteimentos passagem da extremidade C pela porta A e passagem da extremidade D pela porta B são simultâneos. Mostre que os mesmos aonteimentos não são simultâneos do ponto de vista do atleta e determine o intervalo de tempo que os separa. ) Admita que a porta A (a que se enontra mais afastada da tábua quando o atleta orre para a garagem) se enontra fehada e é feita de um material infinitamente rígido. Quer a forma final quer a ompressão máxima da tábua dependem das propriedades do material de que é feita. No entanto, é possível determinar a distânia da extremidade de trás da tábua à porta A no instante em que essa extremidade omeça a ser travada. Calule essa distânia em função da veloidade e do omprimento próprio da tábua. 9. Mostre que se dois aonteimentos oorrem no mesmo ponto do espaço de um erto referenial inerial a sua sequênia temporal é a mesma em todos os refereniais ineriais. 10. Mostre que a quantidade ( s) ( t) ( x) ( y) ( z) é invariante num mudança de referenial inerial.

3 Transformações Relativistas Transformação de Lorentz entre os refereniais S e S : (1) x = γ(x v t) () y = y (3) z = z (4) t = γ ( t v x ) Fórmulas inversas das anteriores: (5) x = γ (x + vt ) (6) y = y (7) z = z (8) t = γ ( t + v x ) Considerando agora as fórmulas (1), (4), (5) e (8) para dois aonteimentos, A e B, e efetuando a subtração de ada fórmula para o aonteimento A pela fórmula orrespondente para o aonteimento B, obtem-se (9) γ 1 x = x v t (10) y = y (11) z = z (1) γ 1 t = t v x bem omo (13) γ 1 x = x + v t (14) y = y (15) z = z (16) γ 1 t = t + v x om x = x A x B e definições análogas para as outras quantidades. A quantidade γ é dada por (17) γ = 1 1 β = 1 Fórmula da adição das veloidades (para veloidades segundo o eixo dos XX) (18) u x = u x v 1 u xv 3

4 Resoluções 1. a) Sendo d = km a distânia da Terra à Lua para um observador fixo na Terra, tem-se t = d 0.8 = 1.6 s. b) Se t representar a duração da viagem para o viajante, então t = t = 0.96 s. ) A distânia da Terra à Lua para o viajante, l, é dada por l = d = km.. [S] - Ref. Terra ; [S ] - Referenial da nave x = 5 (1 ano) t = (1 ano) a) Para um observador na nave, quando iniia a viagem (está na Terra, instante t 1 ) e quando termina (está junto da estrela, instante t ). Nesse referenial, a posição da Terra, no instante t 1 é a mesma que a posição da estrela no instante t, logo, x = 0. Usando a transformação de Lorentz: x = x +v t 1 om x = 0 x = v t v 1 v = v t x 1 v = v ( t ) ( x) fazendo a ontas, obtem-se: ou seja, = (1 + ( t ) ( x) ) v = (1 + (1 ano) 5 (1 ano) ) v = 6 5 v v = 5 6 = 0.98 b) Usando a expressão que relaiona os intervalos de tempo: t = t + v 1 x om x = 0 t = t v logo, t = t = 6 anos. 3. a) Para v = 0.96 tem-se γ = Então, o tempo de vida do muão no referenial em que o muão se move om aquela veloidade, t, relaiona-se om a sua vida média no referenial próprio, τ, por t = γτ 4

5 pelo que t = s. b) s = v t = 75 m. 4. a) A veloidade da régua 1 relativamente à régua é dada por v () 1 = v 1 v 1 v 1 v = b) Tendo em onta que para a régua, a veloidade de 1 é 0.998, então vê 1 om omprimento l = = 7.6 m. 5. Vamos apenas onsiderar o aso em que tanto v, veloidade relativa entre os refereniais S e S e u, veloidade da partíula no referenial S, estão dirigidos segundo a direção XX. Comeemos por difereniar (18) e (4): du = du 1 v (1 uv ) dt = γ(v) ( dt v dx ) Dividindo a primeira equação pela segunda vem, após algumas simplifiações, a = a 1 γ 3 (v)(1 uv ) 3. O aso lássio, a = a, pode ser obtido do resultado anterior fazendo v/ 1 e u/ a) O movimento das naves do ponto de vista da Terra é desrito pelas equações x k (t) = 0.6t x e (t) = 0.9(t ) om o tempo medido em horas. O enontro dá-se quando x k = x e, ou seja, em t = 6 h. A perseguição da Enterprise leva pois 4 h. b) Apliando a fórmula da adição das veloidades (18) om u x = v k, v = v e, u x = v(e) k vem v (e) k = 0.65 pelo que a Enterprise vê a outra nave a aproximar-se om veloiadade ) Se para a Terra a perseguição durou 4 h, então para a Entreprise durou t e = = 1.74 h. 7. a) l = l o 1 v l =

6 logo l = 436 m b) logo ) l 1 = v t = t 1 t 1 = s t = t + v x omo hegam no mesmo instante ( t = 0): v t = x 1 v t = t = s 8. a) Da ondição l t = l 0g vem l 0g = l 0t 1 β, e daqui resulta β = 3/. b) Primeiro passa a porta A pela extremidade C da tábua. Do ponto de vista do atleta, a garagem mede apenas 5m pelo que, nesse instante, apenas 1/4 da tábua está dentro da garagem. A porta B tem que perorrer 3/4 da tábua até hegar à extremidade traseira D da tábua. Assim, o intervalo de tempo que deorre entre os dois aonteimentos referidos é dado por t = ( 3 4 l ) ( 3 ) 0t / donde resulta t = 3 l 0t. ) Vamos fazer as ontas do ponto de vista da garagem. No instante em que a extremidade C bate na porta A propaga-se uma onda de hoque através da tábua om uma veloidade que vamos admitir ser. Tomando omo origem do referenial o ponto onde se enontra a porta A, a equação do movimento da onda de hoque é x o = t. Entretanto, a extremidade de trás da tábua ontinua a mover-se para a frente (enquanto a onda de hoque não a atingiu) om uma posição que varia no tempo de aordo om 6

7 x D = l t + v t. O ponto D omeça a ser travado quando a onda de hoque la hega, o que aontee no instante t dado pela ondição x o = x B. Tal aontee em t = 10/( + v), o que orresponde a x D = 5.3 m 9. Se dois aonteimentos oorrem no mesmo ponto do espaço de um erto referenial inerial, tem-se, obviamente, x = 0, pelo que a fórmula (4) se simplifia para t = γ t. Como γ é sempre positivo, onlui-se que se t > 0 então será t > A partir das fórmulas (1)-(4), obtem-se, através de álulos muito simples, ( t ) ( x ) = ( t) ( x), o que mostra a invariânia da quantidade ( s). 7