Instituto de Física da Universidade de São Paulo

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1 Instituto de Físia da Universidade de São Paulo FEP Físia para Engenharia II Lista de exeríios 4 - Relatividade Exeríios de Cinemátia Relativístia 1 Um feixe de mésons, que se move om veloidade v = 3 2 em relação ao laboratório, passa diante de dois ontadores separados por uma distânia de 9 m no laboratório As partíulas não sofrem perda alguma, seja em veloidade ou em energia, ao passarem diante dos ontadores Observa-se que o primeiro ontador registra 1000 mésons e o segundo assinala somente 250 Admitindo-se que a diminuição no número dos mésons resulta da desintegração destes em vôo, pergunta-se: qual é a vida média dessas partíulas no seu sistema próprio? Admita que os mésons se desintegram segundo a lei N(t) = N 0 2 t /T, onde N 0 é o número de partíulas no instante t = 0 e T é a vida média dos mésons (não onfundir om a meia-vida, que é T/ log 2!) R: T 0 = 0, s 2 Uma régua tem o omprimento próprio de 1 m e se move ao longo do próprio eixo om uma veloidade V em relação a um observador O omprimento da régua medido por esse observador é 0, 914 m Qual a veloidade V? R: 0, Considere um universo em que a veloidade da luz é = 120 km/h Um Honda Civi orrendo a uma veloidade v relativa à estrada ultrapassa um Gol se movendo a uma veloidade de 2 em relação à estrada A veloidade do Civi é tal que seu omprimento é medido por um observador fixo na estrada omo sendo o mesmo que o do Gol Sabe-se que o omprimento próprio do Civi é o dobro do omprimento próprio do Gol Qual é a veloidade do Honda Civi? R: v = 108, 2 km/h 4 Um estudante vai realizar uma prova que deve durar 1 hora Seu professor está em viagem e passará (sem parar) pela Terra om veloidade onstante v = 0, 6 O aluno propõe que a prova iniie quando o professor passar pela Terra e, quando o professor, em seu próprio relógio, verifiar que se passou 1 hora do iníio da prova, ele deverá enviar um sinal luminoso à Terra O aluno terminaria a prova quando reebesse o sinal luminoso (a) Quanto tempo o aluno teria para realizar a prova, de aordo om seu relógio? (b) E quanto tempo o aluno teve para fazer a prova, de aordo om o relógio do professor? () Qual desses intervalos de tempo realmente importa? R: (a) 2 horas; (b) 2,5 horas; () O horário medido pelo aluno, laro! 5 Um evento oorre no sistema de referênia S em x = 40 m, y = z = 0, t = 10 8 s S é um sistema de referênia om uma veloidade de 0, 8 ao longo do eixo x positivo de S Ahe as oordenadas espaço-tempo do aonteimento em S se os eixos x, y, z de ambos os sistemas forem paralelos R: x = 61, 7 m, y = z = 0 e t = 1, s Nota: exeríios espeialmente desafiantes estão marados om um (*) 1

2 6 Uma barra de omprimento próprio l 0 move-se om veloidade onstante v relativamente a um sistema S Chame o referenial da barra (que está parado om respeito à barra, e para o qual a barra tem omprimento l 0 ) de S Suponha que a extremidade da frente da barra, A, passa pelo ponto A de S no instante de tempo t = t = 0, e que naquele instante é emitido de A um sinal de luz que viaja de A para B (a extremidade de trás da barra) (a) Em qual instante de tempo t 0, medido em S (o referenial em repouso om relação à barra), o sinal hega em B? (b) Em qual instante de tempo t 1, medido em S, o sinal alança B? () Em qual instante de tempo t 2, medido em S, a extremidade B da barra passa pelo ponto A? ( ) R: (a) t 0 = l0 (b) t 1 = l0 1 v 1+ () t v 2 = l0 γv 7 Quando visto de um sistema inerial S, um evento oorre no ponto x A sobre o eixo x, e 10 6 s mais tarde um outro evento oorre no ponto x B, tal que x A x B = 600 m, quando visto de S (a) Existe um outro sistema inerial S, movendo-se om uma veloidade menor do que e paralela ao eixo x, para o qual os dois eventos (A e B) são simultâneos? Se assim for, qual é o módulo e o sentido da veloidade de S om relação a S? (b) Repita a parte (a) para o aso em que A e B estão separados somente de 100 m quando vistos de S Ainda é possível enontrar esse referenial S para o qual os dois eventos são simultâneos? R: (a) Sim, v = 0, 5 î (b) v 3 (???) impossível! 8 Um astronauta observa duas espaçonaves viajando em direção a ele em sentidos opostos Uma das espaçonaves (S 1 ) se aproxima om uma veloidade esalar v 1 = 0, 6, enquanto a segunda (S 2 ) se aproxima om uma veloidade esalar v 2 = 0, 8 Com que veloidade esalar um observador em S 2 vê a espaçonave S 1 se aproximando? R: v = 0, 95 9 Duas naves espaiais, A e B, viajam na mesma direção em sentidos ontrários, om veloidades de magnitude 0, 8 em relação à Terra (v A = 0, 8 e v B = 0, 8 ) Cada nave tem omprimento próprio L 0 = 100 m (ou seja, L 0 é o omprimento medido no referenial em que a nave está em repouso) (a) Qual o omprimento de ada nave medido por um observador na Terra? (b) Qual o omprimento e a veloidade da nave B medidos por um observador na nave A? () Qual o omprimento e a veloidade da nave A medidos por um observador na nave B? (d) No instante de tempo t = 0 (relógio da Terra) as proas das naves estão alinhadas e elas omeçam a passar uma pela outra Em que instante de tempo (no relógio da Terra) estarão as popas alinhadas? R: (a) L A = L B = 60 m (b) L B = 19, 90 m e v B = 0, 98 () L A = 19, 90 m e v A = 0, 98 (d) t = 2, s 10 Dois eventos, um na posição (x A, y A, z A ), e outro na posição (x B, y B, z B ) oorrem no mesmo instante t 1 para um observador que está no sistema inerial de referênia 1 Esses eventos serão simultâneos para um observador que está no sistema inerial de referênia 2, que se move om veloidade v ao longo do eixo x em relação a 1? Se não, qual o intervalo de tempo entre a oorrênia destes eventos? Disuta a dependênia do intervalo de tempo om v e om a distânia entre os eventos R: Os dois eventos não são simultâneos no referenial 2 O intervalo de tempo medido naquele referenial será t (2) B t(2) A = γv 2 (x A x B ) 11 Uma nave espaial S é alançada por uma nave espaial S, om S passando por S om uma veloidade relativa v = 2 O apitão de S saúda o apitão de S pisando as luzes da proa e popa, simultaneamente do ponto de vista de S Quando medida por S, a distânia entre as luzes é de 100 m Qual a diferença entre os tempos de emissão dos sinais das luzes, quando medidos por S? R: t = 1, s 2

3 12 Um observador em S vê uma estrela om uma elevação angular θ em relação à horizontal Ox Um segundo observador S aminha na direção Ox om veloidade v relativa a S (a) Calule o ângulo de elevação θ da estrela, visto por S, em relação a O x, sem utilizar os resultados da Teoria da Relatividade Restrita (álulo lássio ) Esse efeito era onheido pelos astrônomos desde o Sé XVI omo aberração da luz (b) Calule novamente o ângulo θ, desta vez utilizando a Teoria da Relatividade Restrita () Compare os resultados dos itens anteriores quando v 1 R: (a) tan(θ ) = sen(θ) os(θ)+ (b) tan(θ ) = 1 sen(θ) v γ [os(θ)+ v ] () Se v 1 tem-se que γ 1 e o resultado relativístio será quase igual ao lássio 13 O maior omprimento de onda da luz emitida pelo hidrogênio (na hamada série de Balmer), tem o omprimento de onda λ 0 = 656 nm Na luz emitida por uma erta galáxia distante, este omprimento de onda é medido na Terra omo λ = 1458 nm Ahe a veloidade de reessão (afastamento) da galáxia em relação à Terra R: 0, Em um referenial S um observador vê duas partíulas idêntias (A e B) emergirem da origem do sistema de referênia, om veloidades iguais u = 0, 5, formando um ângulo de +30 e 30 om o eixo x (a) Determine as veloidades de A e B quando observadas no referenial do entro de massa das duas partíulas (ou seja, no referenial que permanee no eixo x, na linha que liga as partíulas) (b) Determine a veloidade da partíula A em relação à partíula B R: (a) v A = ĵ e v B = ĵ (b) v A = 13 7 ĵ 15 (*) Num sistema de referênia S, uma barra de omprimento L 0 se move na direção y, om veloidade (0, u, 0), mantendo-se sempre paralela ao eixo x Em t = 0 o entro da barra oinide om a origem do sistema de referênia e eventos 1 e 2 oorrem nas extremidades direita e esquerda da barra, respetivamente (a) Quais são as oordenadas espaço-temporais dos eventos 1 e 2, onforme um observador em S? (b) Determine as oordenadas espaço-temporais dos eventos 1 e 2 observadas num referenial S, que se move om veloidade (v, 0, 0) relativamente a S (Assuma, omo de praxe, que em t = t = 0 os dois sistemas de oordenadas se superpõem) () Determine a veloidade da barra no sistema S (d) Para um observador em S a barra estará inlinada de um ângulo θ em relação ao eixo x Determine esse ângulo R: (a) x 1 = L0 2, y 1 = z 1 = 0, t 1 = 0 e x 2 = L0 2, y 2 = z 2 = 0, t 2 = 0 (b) x 1 = γl0 2, y 1 = z 1 = 0, t 1 = γvl0 2 2 e x 2 = γl0 2, y 2 = z 2 = 0, t 2 = γvl0 2 () u 2 x = v, u y = u γ, u z = 0 (d) tan(θ ) = γuv 2 16 Duas espaçonaves, ada uma om omprimento próprio L 0, passam uma pela outra viajando em direções opostas Um astronauta na frente de uma das naves mede um intervalo de tempo T para que a outra passe totalmente por ele (a) Expresse a veloidade relativa entre as naves em termos de L 0, e T R: (a) v = L0 T r 1 1+ L2 0 T (Problema da P3 de 2007) Um trem de omprimento próprio L 0 move-se om veloidade v = 0, 8 em relação à estrada e dirige-se para uma ponte om extensão d, medido no referenial da estrada (S) No momento em que a dianteira do trem (A) passa pelo ponto O, no iníio da ponte, dois flashes de luz são disparados simultaneamente no referenial do trem (S ), nas extremidades do trem (A e B) Nesse instante, dois observadores, um em A e outro em O, sinronizam seus ronômetros em t = t = 0 om a origem dos sistemas de referênia S e S oinidentes 3

4 (a) No referenial da estrada, qual o intervalo de tempo t entre os flashes de luz emitidos em A e B? (b) No referenial da estrada, em que instante t 1 o flash emitido em A atinge o ponto B? () No referenial do trem, quanto tempo ele leva para perorrer ompletamente a ponte? R: (a) t = 4 L 0 3 (b) t 1 = 1 L 0 3 () δt = 5L0+3d 4 18 (Problema da P3 de 2007) Num referenial S duas espaçonaves A e B movem-se om veloidades de módulo u = 0, 5 na mesma direção, mas em sentidos opostos Cada espaçonave tem omprimento próprio igual a 100 m Quando a espaçonave A passa pela origem O, um feixe de luz é emitido partindo de O, formando um ângulo de θ = 60 o em relação ao eixo Ox (a) Determine a veloidade da espaçonave A em relação a B (b) Qual a inlinação θ do feixe de luz medido pelo observador na espaçonave B? () Os resultados obtidos nos itens anteriores são ompatíveis om os postulados da relatividade? Explique R: (a) u a = 0, 8 (b) θ = artan 3 4 () Sim, os resultados são ompatíveis: a veloidade esalar do raio de luz permanee sendo 19 (**) Enontre a matriz A que realiza a transformação de Lorentz entre os quadri-vetores (x, y, z, t) e (x, y, z, t ) dos sistemas S e S, respetivamente, em função da veloidade relativa entre os dois refereniais, dada por V = V (os θ ˆx + sin θ ŷ) Dia: omee enontrando a transformação de Lorentz para o quadri-vetor quando a veloidade é V = V ˆx, e depois faça uma rotação pelo ângulo θ no plano x-y R: A(θ, V ) = R z ( θ)a(θ = 0, V )R z (θ), onde: osh α 0 0 sinh α A(θ = 0, V ) = , om tanh α = V sinh α 0 0 osh α e R z (θ) = os θ sin θ 0 0 sin θ os θ

5 Exeríios de Dinâmia Relativístia 1 Um elétron, uja energia é 0, 511 MeV quando em repouso, tem uma veloidade u = 0, 8 quando observado num referenial S Ahar sua energia total, a sua energia inétia e o seu momento medidos no referenial S R: E = 0, 852 MeV, K = 0, 341 MeV e P = 0, 681 MeV/ 2 A vida média de mésons-µ em repouso é T 0 = 2, s Uma medida realizada no laboratório forneeu uma vida média T 0 = 6, s Responda às seguintes perguntas também onsiderando medidas realizadas no laboratório (a) Qual a veloidade do mésons? (b) A massa de repouso de um méson-µ é 207 vezes a massa de repouso do elétron (m e = 0, 511 MeV/ 2 ) Qual é a massa relativístia dos mésons riados no laboratório? () Qual é a energia inétia dos mésons? (d) Qual é o momento linear dos mésons? R: (a) v = 0, 95 (b) m = 332 MeV/ 2 () K = 227 MeV (d) p = 315 MeV/ 3 Uma aixa retangular em repouso tem arestas om omprimentos a, b, e A massa de repouso da aixa é m 0 e sua massa de repouso por unidade de volume é ρ 0 = m0 ab (a) Qual é o volume da aixa, visto por um observador que se move em relação à aixa om veloidade de magnitude v na direção da aresta a? (b) Qual é a massa relativístia da aixa medida por este observador? () Qual é a densidade da aixa, em termos de ρ 0, quando medida pelo observador? R: (a) V 0 = ab γ, (b) m = γm 0 e () ρ 0 = γ 2 ρ 0 4 Um núleo de 12 C é omposto de 6 prótons (p) e 6 nêutrons (n), mantidos em estreita assoiação por forças nuleares intensas As massas de repouso do núleo 12 C, do próton e do nêutron são, respetivamente, m C = 12, u, m p = 1, u e m n = 1, u, onde u = 931, 4815 MeV/ 2 Qual é a quantidade de energia que devemos forneer a um núleo de 12 C para separá-lo em seus prótons e nêutrons onstituintes? R: E = 92, 1608 MeV = 1, J 5 Para um avião supersônio voando a 2400 km/h, ahe o erro perentual feito no álulo da sua energia inétia, quando se utiliza a aproximação não relativístia R: K K = 3, = 3, % 6 Um próton om energia inétia E K = 437 MeV olide elastiamente om um próton em repouso e, após a olisão, os prótons emergem om energias inétias iguais Determine o ângulo entre as direções definidas pelas trajetórias dos prótons após a olisão R: θ = 84 7 Um orpo de massa de repouso m 0 aminhando iniialmente om uma veloidade de magnitude v = 0, 6 em relação ao referenial do laboratório, efetua uma olisão perfeitamente inelástia om um orpo idêntio, iniialmente em repouso no referenial do laboratório (a) Qual é a veloidade do orpo resultante? (b) Qual é a massa de repouso do orpo resultante? R: (a) v = 0, 33 (b) M 0 = 2, 15 m 0 8 Uma partíula de massa de repouso m 0 tem uma energia inétia K Prove que seu momento linear obedee a equação: p = 2m 0 K + K2 2 5

6 9 Um elétron e um pósitron (anti-elétron) movem-se juntos, formando um sistema ligado onheido omo positrônio, om veloidade v 0 = 0, 6 Num erto instante de tempo o pósitron e o elétron se aniquilam, riando dois fótons que se movem em direções que formam ângulos θ iguais em relação à direção definida pela trajetória do positrônio Fótons são partíulas de massa de repouso igual a zero As energias de repouso do elétron e do pósitron são iguais e valem 0, 5 MeV/ 2 Despreze a energia de ligação do positrônio (a) Qual a energia do positrônio? (b) Qual a energia e o momento linear de ada fóton? () Qual o valor do ângulo θ? R: (a) E p = 1, 25 MeV, (b) E f = 0, 625 MeV e p f = 0, 625 MeV/ e () θ = aros ( 3 5) 10 No referenial do laboratório, qual a mínima energia inétia que um próton deve ter para que ao olidir om outro próton de mesma energia, mas movendo-se em sentido ontrário, rie no estado final mais um próton e um antipróton? (No estado final haverá três prótons e um antipróton e a mínima energia orresponde à situação em que todas as partíulas estão em repouso em relação ao laboratório) Use para a massa de repouso do próton e do antipróton M 0 = 1 GeV/ 2 R: K = 1 GeV 11 Uma partíula é riada a 20 km aima do nível do mar om energia E = 1, MeV em relação à Terra, e passa a se desloar vertialmente para baixo No seu sistema próprio (sistema que se desloa om a mesma veloidade da partíula) ela se desintegra no intervalo de tempo t = 2, s após a sua riação A energia de repouso da partíula é E 0 = 140 MeV Determine, para um observador na Terra: (a) Quanto tempo demora para a partíula se desintegrar? (b) A que altura aima do nível do mar se dá a desintegração? R: (a) T = 1, s (b) h = 14, 2 km 12 Duas partíulas de mesma massa de repouso m 0 2 = 1 GeV aminham em sentidos opostos om veloidade de magnitudes v 1 = 0, 6 e v 2 = 0, 8 Num determinado instante de tempo elas olidem formando uma únia partíula de massa de repouso M 0 e veloidade de magnitude v (a) Determine o valor de M 0 (b) Determine o valor de v () Qual é a energia inétia da partíula formada na olisão? R: (a) M 0 = 5, kg = 2, 9 GeV/ 2 (b) v = 0, 20 () K = 58 MeV 13 Em relação a um referenial S uma partíula possui energia de 5 GeV e momento linear de 3 GeV/ (a) Qual é a massa de repouso da partíula? (b) Qual é a energia da partíula em um referenial S onde seu momento linear é igual a 4 GeV/? () Qual é a veloidade relativa dos dois refereniais S e S (S e S se movem em sentidos opostos)? R: (a) E = 32 GeV (b) m 0 = 4, 0 GeV/ 2 () u = 0, Uma partíula de massa de repouso M 0 estaionária, inde-se em duas partíulas ujas massas de repouso são m 0 e 2m 0 A veloidade da partíula de massa m 0 é 0, 8 (a) Determine a veloidade da partíula de massa 2m 0 (b) Obtenha a razão M0 m 0 R: v 2m0 = 2 13 (b) M0 m 0 = Uma partíula de massa em repouso 2 MeV/ 2 e energia inétia 3 MeV olide om uma partíula estaionária de massa de repouso 4 MeV/ 2 Depois da olisão, as duas partíulas fiam unidas Enontre: 6

7 (a) O momento iniial do sistema (b) A veloidade final do sistema de duas partíulas () A massa em repouso do sistema de duas partíulas R: (a) 4, 58 MeV/ (b) 0, 509 () 7, 75 MeV/ 2 16 Um elétron move-se livremente na direção x positiva no sistema inerial 1 om veloidade v = 0, 8 Qual o valor de seu momento e de sua energia neste sistema? Considere agora um outro sistema inerial 2 que se move para a direita om veloidade 0, 6 em relação ao sistema 1 Ahe o momento e a energia do elétron neste sistema Deixe suas respostas em termos da massa de repouso do elétron m 0 e da veloidade da luz R: No sistema 1: p 1 = 4 3 m 0 ˆx e E 1 = 5 3 m 0 2 No sistema 2: p 2 = 5 12 m 0 ˆx e E 2 = m (*) Considere a seguinte olisão elástia observada em um dado referenial S: uma partíula A tem massa de repouso m 0 e uma partíula B massa de repouso M 0 = 2m 0 Antes da olisão a partíula A move-se om veloidade v = 0, 6 î e a partíula B está em repouso Depois da olisão, a partíula A move-se ao longo da direção y, no sentido positivo, om veloidade de magnitude v A e a partíula B move-se segundo um ângulo θ em relação à direção x om veloidade de magnitude v B [Dia: use o fato de que γ 2 v 2 = (γ 2 1) 2 ] (a) Determine as magnitudes das veloidades v A e v B das partíulas A e B (b) Determine o ângulo θ R: (a) v A = 0, 37 e v B = 0, 39 (b) θ = 28, 1 18 (*) Considere a olisão de um fóton de energia hν om um elétron que está em repouso em um dado referenial Após a olisão, parte da energia é transferida ao elétron, e um outro fóton de energia menor hν é gerado, sendo que sua trajetória forma um ângulo θ om a direção de inidênia do fóton original Utilizando a onservação de energia e momento relativístios, determine a relação entre a energia do fóton espalhado e o ângulo de espalhamento hν (θ) Este proesso de espalhamento de fótons por elétrons é denominado Efeito Compton Sugestão: onsidere a onservação de energia total, e das omponentes x e y do momento linear total no plano do espalhamento (sendo x, por exemplo, a direção de inidênia do fóton original) R: hν (θ) = hν 1+ hν m 2 (1 osθ), onde m é a massa de repouso do elétron 19 (*) Em um aelerador de partíulas omo o Pelletron do IFUSP é feita uma olisão entre um núleo-feixe e um núleo-alvo Os dois núleos se fundem formando um outro núleo em estado exitado, que emerge om uma erta veloidade V no laboratório, na direção e sentido do feixe original Esse núleo resultante é instável e, portanto, ele eventualmente deai (o proesso de deaimento é uma transição entre estados quântios nuleares) Nesse deaimento, um erto raio gama (ou seja, um fóton, ou partíula de luz, de alta energia) é emitido, de tal modo que, no referenial do núleo instável, a energia desse raio gama é sempre a mesma, mas a direção em que ele é emitido é arbitrária No laboratório esse experimento é repetido muitas vezes, om detetores dispostos a 0 e 90 om relação à direção do feixe Sabendo que o detetor que está a 0 (ou seja, na linha de frente do feixe) sempre mede a energia do raio-gama omo sendo 1010 kev, e que o detetor a 90 sempre mede uma energia de 1000 kev, determine a veloidade de reuo V do núleo instável em termos da veloidade da luz e a energia do raio gama no referenial de repouso do núleo instável Note que a energia de um fóton é proporional à sua frequênia, E = hν (onde ν é a frequênia da radiação, e h é uma onstante, denominada onstante de Plank) R: V 001; E 1000 kev 7