Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Cálculo I e Cálculo Diferencial I - Professora: Mariana G. Villapouca Aula 5 - Aplicações da derivada

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Cálulo I e Cálulo Diferenial I - Professora: Mariana G. Villapoua Aula 5 - Apliações da derivada Regra de L Hôspital: Suponha que f e g sejam deriváveis e que g (x) 0 em (a δ, a) (a, a + δ) para algum δ > 0. Se então f(x) = 0 e g(x) = 0 ou se o segundo ite existir ou for ±. f(x) = ± e g(x) = ± f(x) g(x) = f (x) g (x) Observação 1. Esta regra também é válida para x a +, x a, x + e x. Veremos a seguir omo tratar outros asos de indeterminação de maneira a airmos no aso 0 0 ou onde podemos usar a Regra de L Hôspital. Produto indeterminado: 0 Se f(a) e g(x) = ±, então podemos reesrever: f(x) f(x) g(x) = ( ) (estaremos no aso ) g(x) g(x) f(x) g(x) = ( ) (estaremos no aso 1 ) f(x) Diferença indeterminada: (em ada aso tentar transformar em um quoiente onde reai em 0 0 ou ). Potênias indeterminadas: 0 0, 0 e 1 Sejam f(x) > 0 e g(x) tais que [f(x)] g(x) está bem definida. f(x) = 0 e g(x) = 0 f(x) = e g(x) = 0 f(x) = 1 e g(x) = Usaremos um dos dois métodos abaixo para reairmos no aso 0 : Fazendo y = [f(x)] g(x) ln(y) = g(x) ln(f(x)), temos [f(x)]g(x) = e ln(y) g(x) ln(f(x)) = e 1

2 Fazendo [f(x)] g(x) = e g(x) ln(f(x)), temos Estudo da variação de funções Definição 1. Seja Dom(f). Então: [f(x)]g(x) = e g(x) ln(f(x)) g(x) ln(f(x)) = e 1. f() é o máximo global (absoluto) de f se f() f(x), x Dom(f). 2. f() é o mínimo global (absoluto) de f se f() f(x), x Dom(f). 3. f() é o máximo loal de f se f() f(x) para todo x em alguma vizinhança de. 4. f() é o mínimo loal de f se f() f(x) para todo x em alguma vizinhança de. Teorema 1 (de Fermat). Se f() é um valor máximo ou mínimo loal e existe f (), então f () = 0. demonstração: Caso 1: f() é máximo loal de f, isto é, f() f(x) para todo x numa vizinhança I de f(x) f() 0 para todo x I. Logo, Se x >, então Se x <, então f(x) f() x f(x) f() x 0, x I f +() 0 0, x I f () 0 Como, por hipótese, existe f () e aabamos de verifiar que f +() 0 e f () 0, então devemos ter que f () = 0. Caso 2: f() é mínimo loal de f é análogo. Definição 2. Um ponto é dito um ponto rítio de f se f () = 0 ou f () não existe. Observação 2. Os andidatos a máximo e mínimos: pontos rítios!!! 2

3 Método do Intervalo Fehado: Para enontrar o máximo e o mínimo absolutos de uma função ontínua em um intervalo fehado [a, b]: 1. Enontre os valores f() tais que é um ponto rítio de f, 2. Calule f(a) e f(b) 3. o maior das etapas 1 e 2 = máximo absoluto de f em [a, b] e o menor das etapas 1 e 2 = mínimo absoluto de f em [a, b] (isso segue do Teorema do valor extremo: Aula 2 pg 11) Teste do Cresimento / Deresimento: 1. Se f (x) > 0 em um intervalo I, então f é resente em I. 2. Se f (x) < 0 em um intervalo I, então f é deresente em I. Teste da primeira derivada: Sejam f ontínua em um intervalo I e I um ponto rítio de f. 1. Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em, então f tem um máximo loal em. f = 0 f > 0 f < 0 2. Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em, então f tem um mínimo loal em. f < 0 f = 0 f > 0 3

4 3. Se f não mudar de sinal em, então f não tem máximo e nem mínimo loais em. f = 0 f > 0 f < 0 f = 0 f > 0 f < 0 Teste da Conavidade: Seja f uma função duas vezes derivável em um intervalo I. 1. Se f (x) > 0, x I, então f é ônava para ima em I. 2. Se f (x) < 0, x I, então f é ônava para baixo em I. Definição 3 (ponto de inflexão). Um ponto é um ponto de inflexão de f se f é ontínua em e f muda de onavidade em. Teste da segunda derivada: Seja f ontínua numa vizinhança de um ponto tal que f () = Se f () > 0, então f tem um mínimo loal em. 2. Se f () < 0, então f tem um máximo loal em. 4

5 Esboço de funções Seja f uma função ontínua em seu domínio. 1. Enontrar o domínio de f. 2. Enontrar as interseções om os eixos oordenados: Interseção om o eixo x: Se y = f(x) = 0 qual é o valor de x? Interseção om o eixo y: Se x = 0 qual é o valor de y = f(0)? 3. Verifiar se existem simetrias: f é par, isto é, f( x) = f(x) (simétria em relação ao eixo y)? f é ímpar, isto é, f( x) = f(x) (simétria em relação à origem)? f é periódia, isto é, f(x+p) = f(x) para algum período p (a função se repete em intervalos de tamanho p)? 4. Verifiar se existem assíntotas horizontais, vertiais e oblíquas: Assíntotas horizontais: y = L onde Assíntotas vertiais: x = a onde Assíntotas oblíquas: y = mx + b onde m 0 e f(x) = L e/ou x + f(x) = ± e/ou + x + f(x) = L. x f(x) = ±. [f(x) (m x + b)] = Extremidades do domínio: Se a é um ponto extremo do domínio de f devemos alular f(x) e/ou f(x) (dependendo do aso) Intervalos de resimento/deresimento e valores máximos/mínimos: Usar o teste de resimento/deresimento para ahar os intervalos onde a função é resente (f (x) > 0) e os intervalos onde a função é deresente (f (x) < 0). Usar o teste da primeira derivada ou o teste da segunda derivada para verifiar os andidatos a máximos e mínimos loais de f (andidatos: f () = 0 ou f ()). Existem máximos e mínimos globais? 7. Análise da onavidade da função: Usar o teste da onavidade para enontrar os intervalos onde f é ônava para ima (f (x) > 0) e os intervalos onde f é ônava para baixo (f (x) < 0). Determinar os pontos de inflexão de f: sãos pontos onde a função é ontínua e muda de onavidade. 8. Esboçar a função. 5

6 Otimização: Vejamos alguns problemas onde queremos enontrar máximos e mínimos. Exemplos: 1. Uma aixa retangular de base quadrada, sem tampa, deve onter um volume de 4000 m 3. Quais são as dimensões que minimizarão o usto do metal para produzir a aixa. 2. Um fazendeiro tem 1200 m de era e quer erar um ampo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não preisa de era ao longo do rio. Quais são as dimensões do ampo que tem maior área? 3. Uma lata ilíndria é feita para reeber 1 litro de óleo. Enontre as dimensões que minimizarão o usto do metal para produzir a lata. Taxas Relaionadas: Equações que envolvem taxas de variação obtidas a partir de uma equação que depende apenas de uma variável. Exemplos: 1. Um balão esfério é enhido de gás a uma taxa de 0, 6m 3 /min. Quão depressa está aumentando o raio do balão no instante em que o raio é 0,3 m? 2. Os lados x e y de um retângulo estão variando segundo taxas onstantes de 0,2 m/s e 0,1 m/s, respetivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante que x =1 m e y =2 m? Aproximação Linear: Seja f : I R difereniável em x 0 I, então f (x 0 ) = x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f f(x) f(x 0) x 0 x assim podemos esrever f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + E(x x 0 ), onde x x 0 E(x x 0 ) x x 0 = 0 Observe que a reta tangente ao gráfio de f no ponto (x 0, f(x 0 )) se aproxima estreitamente do gráfio de f para valores de x bem próximos de x 0, isto é, f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) (Aproximação linear loal de f em x 0 ) Note que essa aproximação é ada vez melhor à medida que x x 0. 6

7 Observação 3. Essa é a melhor aproximação linear que podemos fazer de f. Polinômio de Taylor: Sejam f uma função e x 0 Dom(f). Reta tangente ao gráfio de f no ponto (x 0, f(x 0 )) é a melhor aproximação de primeiro grau de f próximo de x 0. Qual é a melhor aproximação de segundo grau P 2 (x) para f próximo de x 0? P 2 (x 0 ) = f(x 0 ) P 2 (x 0) = f (x 0 ) P 2 (x 0) = f (x 0 ) Assim, a aproximação quadrátia prourada é: P 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) 2 Assim, se queremos as aproximação de f próximo de x 0 por polinômio de grau n, P n (x) deve satisfazer: P n (x 0 ) = f(x 0 ) P (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ), k = 1,..., n. Logo, a aproximação prourada é denominada polinômio de Taylor de grau n de f entrado em x 0 e tem a seguinte forma: P n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + f (x 0 ) 3! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) n! Observação 4. Note que para que exista o polinômio de Taylor de grau n de f entrado em x 0 devemos ter a existênia da derivadas até a ordem n da função no ponto x 0. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio Teorema 2 (de Rolle). Se f é ontínua em [a, b], derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existe um (a, b) tal que f () = 0. (x x 0 ) n f f(a) = f(b) a b demonstração: Se f for onstante em [a, b], então f (x) = 0, x (a, b). 7

8 Suponhamos, então, que f não é onstante em [a, b]. Como f é ontínua em [a, b], pelo Teorema do Valor Extremo, existem x 1, x 2 [a, b] tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [a, b] isto é, f(x 1 ) e f(x 2 ) são, respetivamente, os valores mínimo e máximo globais de f em [a, b], logo, pelo Teorema de Fermat, f (x 1 ) = 0 e f (x 2 ) = 0. Agora, omo f não é onstante em [a, b], então f(x 1 ) f(x 2 ) e ainda omo, por hipótese, f(a) = f(b), então x 1 (a, b) ou x 2 (a, b). Portanto, existe um (a, b) (x 1 ou x 2 ) tal que f () = 0. Teorema 3 (do Valor Médio (T.V.M.)). Se f é ontínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe um (a, b) tal que f () =. reta tangente ao gráfio de f no ponto f reta de inlinação f(b) f(a) b a f(a) = f(b) a b demonstração: Defina h(x) = f(x) f(a) h é ontínua em [a, b] (pois f o é) (x a). Temos que h é derivável em (a, b) (pois f o é) h(a) = h(b) (pois h(a) = f(a) f(a) (a a) = 0 e h(b) = () = f(b) + f(a) = 0) Logo, pelo Teorema de Rolle, existe um (a, b) tal que h () = 0. Assim, omo h (x) = f (x), então 0 = h () = f () f () =. Proposição 1. Se f (x) = 0, x (a, b), então f é onstante em (a, b). demonstração: Sejam x 1 < x 2 em (a, b). Assim, omo [x 1, x 2 ] (a, b), então f é ontínua em [x 1, x 2 ] 8

9 f é derivável em (x 1, x 2 ) logo, pelo Teorema do Valor Médio, existe um (x 1, x 2 ) tal que f () = f(x 2) f(x 1 ). Por outro x 2 x 1 lado, por hipótese f () = 0, pois (a, b). Portanto, 0 = f () = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) = 0 f(x 2 ) = f(x 1 ). Como os pontos x 1 e x 2 foram tomados de maneira arbitrária, temos que f é onstante. Corolário 1. Se f (x) = g (x), x (a, b), então existe um K R onstante tal que f(x) = g(x) + K, x (a, b). demonstração: Seja h(x) = f(x) g(x). Temos que h (x) = f (x) g (x) = 0, x (a, b). Logo, pela Proposição aima, h é onstante em (a, b), isto é, existe um K R tal que h(x) = K, x (a, b), isto é, f(x) = g(x) + K, x (a, b). 9