Cálculo IV EP1 Aluno
|
|
- Carlos Custódio da Fonseca
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Fundação Centro de Ciênias e Eduação Superior a istânia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Eduação Superior a istânia do Estado do Rio de Janeiro Cálulo IV EP Aluno Objetivos Aula Integrais uplas Compreender a noção de integral dupla; Estudar algumas propriedades; Estudar o Teorema de Fubini para retângulos. No Cálulo II, voê aprendeu as integrais definidas. Agora, no Cálulo IV, pretendemos estender essa idéia para integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis. Então onsideremos uma função f : R R, onde é um onjunto fehado e limitado (também onheido omo onjunto ompato). Como é limitado, então eiste um retângulo R = a,b],d], tal que R. d = n R Δ j j R ij f ( i, j ) = R a = i i b = n Δ Vamos dividir o retângulo R em subretângulos R ij da seguinte maneira: dividimos os intervalos a,b] e,d] em n subintervalos de mesmo omprimento Δ = b a e Δ = d, respetivamente; n n traçamos ( ) retas vertiais e horizontais pelas etremidades desses subintervalos. Vamos esolher i,j Rij e formemos a soma S n = n n f ( ) n i, j ΔΔ = f ( i j), ΔA j= i= i,j= onde f ( i, j) = se ( i, j) /. Esta soma é dita soma de Riemann de f. Se eistir o lim S n = L, dizemos que f é integrável n e o número L é dito integral de f sobre e é indiado por f(,)dd ou f(,)da
2 Cálulo IV EP Aluno ou f da. Assim, f(,)dd = lim n i,j= n f ( i j), ΔΔ. OBS.:. Prova-se que se f é ontínua em, então f é integrável.. Se f(,) é ontínua em, então o gráfio de f (G f ) está aima do plano. Então o volume do sólido W que está abaio de G f e aima de é dado por V(W) = f(,)dd. Logo, para ahar o volume do sólido W, integramos f(,) (o teto ) sobre (o piso ). z G f : z = f(,) ( teto ) W ( piso ) ( i, j) R ij 3. Se f(,) = em então dd = dd = A() = área de. Consório CEERJ
3 Cálulo IV EP Aluno 3 4. Propriedades (i) (f +g)da = (ii) kf da = k (iii) = f da+ gda f da, k R f da = f da+ f da Um Método Prátio para Calular Integrais uplas Teorema de Fubini: Se f(,) é ontínua no retângulo = a,b],d], então ou f(,)dd = b a d b d ] f(,)d d = d b d b a ] f(,)d d f(,)dd = f(,)dd= f(,)dd a a }{{} integrais iteradas ou repetidas Eemplo Calule Solução: dd, sendo =,],]. Temos dd = dd. Primeiro alulamos a integral interna. Logo: dd = ] 3 3 = 3 ( )]d = 3 d = 3 ] =. 6 Consório CEERJ
4 Cálulo IV EP Aluno 4 Aula Cálulo de Integrais uplas em Regiões mais Gerais Objetivos Estudar uma versão mais geral do Teorema de Fubini; Calular área e volume. Suponhamos agora, que seja diferente do retângulo a,b],d]. Então vamos definir dois tipos de região. efinição izemos que é uma região do tipo I ou uma região simples vertial se for limitada à esquerda pela reta vertial = a, à direita pela reta vertial = b, inferiormente pela urva de equação = g () e superiormente pela urva = g (), onde g e g são ontínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo I: = g () = g () = g () (,) (,) (,) = g () = g () = g () a b a b a b Logo, = {(,) R a b e g () g ()}. Prova-se que: f(,)dd = b g () a g () f(,)dd. efinição izemos que é uma região do tipo II ou uma região simples horizontal se for limitada inferiormente e superiormente por retas horizontais = e = d, respetivamente, pela esquerda pela urva = h () e pela direita pela urva = h (), onde h e h são ontínuas. Consório CEERJ
5 Cálulo IV EP Aluno 5 d = h () = h () d = h () = h () d = h () = h () As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo II: Logo, = {(,) R d e h () h ()}. Prova-se que: d h () f(,)dd = f(,)dd. h () Eemplo Calule por dois métodos a integral de f(,) = sobre a região limitada pelas urvas = e =. Solução: As urvas se intereptam quando = ou ( ) =, logo = ou =. Assim, os pontos de interseção são (,) e (,). Logo, o esboço de é: = (,) = Método Enquadrando omo tipo I, temos = {(,) R e }. Então: ] dd = dd = d = ( 4 ) d = ( 3 5 ) d ] = ( 4 6) = 6 = 4. Consório CEERJ
6 Cálulo IV EP Aluno 6 Método = = Enquadrando omo tipo II, temos = { (,) R e }. Então: dd = dd = ] d = ( ) d = = = = 4. ( 3 ) d ( 3 4) ] Eemplo Calule, por integral dupla, a área da região plana limitada pelas urvas = 3 e =. Solução: O esboço de é: = / = 3 = = / = 3 Podemos desrever por : { 3 / Consório CEERJ
7 Cálulo IV EP Aluno 7 Então: A() = dd = / 3 dd = ( / 3) d = ] 3 3/ 4 = = 5 u.a Eemplo 3 Calule o volume do tetraedo W om faes nos planos oordenados e no plano + +z = 3. Solução: O plano + + z = 3 passa pelos pontos A = (3,,), B = (,3,) e C = (,,3). Assim, o esboço de W é: z C teto de W 3 + = 3 W = 3 A (piso) B 3 = Observemos que o teto de W é a porção do plano + +z = 3 ou z = 3 = f(,) e o piso de W é o triângulo. Então: V(W) = f(,)dd = = = = = = (3 )dd = 9 u.v. (3 )dd 3 ] 3 d 3(3 ) (3 ) (3 ) (9 6+ )d ] 3 ] d Consório CEERJ
8 Cálulo IV EP Aluno 8 Eeríio : Calule as integrais iteradas. a) e dd b) dd Eeríio : Esboe a região de integração e alule as integrais: a) 3 dd, = {(,) R, }; b) f(,)dd, = {(,) R π/, os}, f(,) = sen. Eeríio 3: Esboe a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: a) b) f(,) dd ) f(,) dd d) 3 f(,) dd f(,) dd Eeríio 4: Calule Eeríio 5: Calule 4e dd. 5 5 ln dd. Eeríio 6: Use a integral dupla para alular a área da região limitada pelas urvas = 4 e =. Eeríio 7: Enontre o volume do sólido W limitado pelos planos =, z = = 4 e pelo ilindro parabólio z = 4. Eeríio 8: Enontre o volume do sólido W limitado pelas superfíies z =, z, =, z = e =. Consório CEERJ
Cálculo III-A Módulo 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Prezado aluno, Cálculo III-A Módulo Seja bem-vindo à nossa disciplina. Este teto possui - salvo
Leia maisCálculo III-A Módulo 1 Tutor
Eercício : Calcule as integrais iteradas: Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor a) e dd b) dd Solução: a) Temos:
Leia maisCálculo IV EP4. Aula 7 Integrais Triplas. Na aula 1, você aprendeu a noção de integral dupla. agora, você verá o conceito de integral tripla.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo
Leia maisCálculo III-A Lista 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Lista Eercício : Calcule as seguintes integrais duplas: a) b) c) dd, sendo [,] [,].
Leia maisUniversidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo 3A Lista Eercício : Calcule as seguintes integrais duplas: a) b) c) dd, sendo [,] [,]. +
Leia maisIntegrais Múltiplas. Integrais duplas sobre retângulos
Integrais Múltiplas Integrais duplas sobre retângulos Vamos estender a noção de integral definida para funções de duas, ou mais, variáveis. Da mesma maneira que a integral definida para uma variável, nos
Leia maisCálculo III-A Módulo 4
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo Compreender a noção de integral tripla.
Leia maisCurso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS
Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante
Leia mais3. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: 4., onde R é a região delimitada por y x +1, y x
Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos / Cálculo IV Profa: Ilka Freire ª Lista de Eercícios: Integrais Múltiplas 9., sendo:. Calcule f, da a) f, e ; =,
Leia maisDistâncias inacessíveis
U UL L esse: http://fuvestibular.om.br/ Distânias inaessíveis Introdução Na ula 20 aprendemos a alular distânias que não podiam ser medidas diretamente. Nessa aula, os oneitos utilizados foram a semelhança
Leia maisUniversidade do Estado do Rio de Janeiro. Cálculo I e Cálculo Diferencial I - Professora: Mariana G. Villapouca Aula 5 - Aplicações da derivada
Universidade do Estado do Rio de Janeiro Cálulo I e Cálulo Diferenial I - Professora: Mariana G. Villapoua Aula 5 - Apliações da derivada Regra de L Hôspital: Suponha que f e g sejam deriváveis e que g
Leia maisCálculo IV EP3. Aula 5 Aplicações da Integrais Duplas. Estudar algumas aplicações físicas como massa, centro de massa e momento de inércia.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP3 Aula Aplicações da Integrais uplas
Leia maisCálculo IV EP2 Tutor
Eercício : Calcule + e +. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor da
Leia maisINTEGRAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis.
INTEGAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis INTEGAIS DUPLAS Consideremos o problema de determinar o volume V do sólido compreendido entre
Leia maisPrimeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I
Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 27 de Março de 26 Questão [8 pontos] Determine, quando eistir, cada um dos limites abaio. Caso não eista, eplique por quê. 5 2 + 3 c ) lim 2 ( 2) 2 2 e ) lim 5
Leia maisCálculo 3A Lista 4. Exercício 1: Seja a integral iterada. I = 1 0 y 2
Eercício : Seja a integral iterada Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo A Lista 4 I = ddd. a) Esboce o sólido cujo volume é
Leia maisComplementos de Análise Matemática
EOLA UPERIOR DE TENOLOGIA DE VIEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIA Engenharia de Ambiente omplementos de Análise Matemátia (005/006) Eeríios de elementos de análise vetorial 1. Em ada uma das alíneas, esboe um
Leia maisIntegral de funções de uma variável
Integrais Múltiplas Integral de funções de uma variável x = b a n a b f x dx = lim m m i=1 f(x i ) x Integral Dupla Seja f uma função de duas variáveis definida no retângulo fechado. R = a, b x c, d =
Leia maisRevisão de integrais simples. Definimos a soma S n = f(t i ) x i. chamada como soma. de Riemann de f sobre [a, b] i=1
Revisão de integrais simples Definimos a soma S n = n i=1 f(t i ) x i chamada como soma de Riemann de f sobre [a, b] 1 Definição: Se a sequencia {S n } das somas de Riemann da função f converge quando
Leia maisIntegral Definida. a b x. a=x 0 c 1 x 1 c 2 x 2. x n-1 c n x n =b x
Integral definida Cálculo de área Teorema Fundamental do cálculo A integral definida origina-se do problema para determinação de áreas. Historicamente, como descrito na anteriormente, constitui-se no método
Leia maisCapítulo 5 Integrais Múltiplas
Capítulo 5 Integrais Múltiplas 1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida Definição: Uma função será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função num intervalo I se
Leia maisCálculo III-A Módulo 1
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Prezado aluno, álculo III-A Módulo 1 eja bem-vindo à nossa disciplina. Este teto possui - salvo
Leia maisPrimeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I
Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal I 28 de Março de 23 Questão [2,5 pontos] Calcule os limites abaio quando eistirem: 3 a) lim 2 3 + 2 b) lim 2 2 4 + 4 3 3 2 + 4 Questão 2 [3,75 pontos] Considere
Leia maisCálculo III-A Módulo 3
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 3 Aula 5 Aplicações da Integrais uplas Objetivo Estudar algumas aplicações
Leia maisIntegrais duplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 24. Assunto: Integrais Duplas
Assunto: Integris Dupls UNIVESIDADE FEDEAL DO PAÁ CÁLCULO II - POJETO NEWTON AULA 24 Plvrs-hves: integris dupls,soms de iemnn, teorem de Fubini Integris dupls Sej o retângulo do plno rtesino ddo por {(x,
Leia maisOs Teoremas de Cavalieri 1. 2 Os Princípios de Cavalieri para áreas e volumes
Os Teoremas de Cavalieri 1 Roerto Rieiro Paterlini 1 Introdução O estudo de volumes de sólidos no ensino médio tem omo ase o Prinípio de Cavalieri Esse prinípio tamém pode ser usado para áreas de regiões
Leia maisCálculo III-A Módulo 2 Tutor
Eercício : Calcule Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor + e +. + da onde é a região compreendida pelas retas,,
Leia maisCálculo III-A Módulo 7
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 7 Aula 13 Aplicações da Integral de Linha de ampo Escalar Objetivo Apresentar
Leia mais1 Distância entre dois pontos do plano
Noções Topológicas do Plano Americo Cunha André Zaccur Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Distância entre dois pontos do plano
Leia maisDescobrindo medidas desconhecidas (II)
A UU L AL A Desobrindo medidas desonheidas (II) Q uem trabalha no ramo da meânia sabe que existem empresas espeializadas em reforma de máquinas. As pessoas que mantêm esse tipo de atividade preisam ter
Leia maisCapítulo 1 Números Reais
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {
Leia maisCálculo III-A Módulo 9
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Aula 17 Teorema de Green Objetivo Estudar um teorema que estabelece uma ligação
Leia maisNotas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +
Leia maisAplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução
Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico
Leia maisMAT Cálculo I - POLI Gabarito da P2 - A
MAT 45 - Cálculo I - POLI - 006 Gabarito da P - A Questão A) Calcule (.0) (a) lim ( cos() ) / (.0) (b) 0 ( ( π ) ) cos + e d (a) Tem-se, ( π/4, π/4) \ {0}: (cos ) / = ep( ln(cos )). Pondo f() =. ln(cos
Leia maisCálculo IV EP10 Tutor
Fundação entro de iências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro entro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro álculo IV EP Tutor Eercício : alcule a integral de
Leia maisCapítulo 5 Integral. Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: ( )= ( ), para todo I.
Capítulo 5 Integral 1. Integral Indefinida Em estudos anteriores resolvemos o problema: Dada uma função, determinar a função derivada. Desejamos agora estudar o problema inverso: Dada uma função, determinar
Leia maisCálculo III-A Módulo 9 Tutor
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Tutor Eercício : alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisExercícios Referentes à 1ª Avaliação
UNIVESIDADE FEDEAL DO PAÁ CUSO DE LICENCIATUA EM MATEMÁTICA PLANO NACIONAL DE FOMAÇÃO DE DOCENTES DA EDUCAÇÃO BÁSICA - PAFO Docente: Município: Discente: 5ª Etapa: Janeiro -fevereiro - ) Calcule as integrais
Leia mais9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis
9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis Professora: Michelle Pierri Exercício 1 Encontre o volume do sólido limitado
Leia maisINTEGRAIS MÚLTIPLAS. [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j ) i = 0,..., n, j = i=1
Teoria INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integral Dupla: Seja o retângulo R = {(x, y) R a x b, c y d} e a = x 0 < x 1
Leia maisLISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h)
1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y 1 2 2 x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 +
Leia maisAcadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites
Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores
Leia maisS o l u ç ã o d o s i m u l a d o 01
S o l u ç ã o d o s i m u l a d o 01 Questão 1 160% 100% 160. 6000 60% 6000 7,5% 160 esposta: Letra e UT SLUÇÃ 160% 100% 6,5% 100% % redução é 100-6,5 7,5% Questão Vamos usar a Média ritmétia 1 + Média
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em 007. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a+ a, >, e a) f (
Leia maisLimites: Noção intuitiva e geométrica
Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com
Leia maisx lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = )
Leia mais(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos
LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número
Leia maisx 3 x3 dx = 1 + x2 u = 1 + x 2 5u 1 (u + 1)(u 1) du = A x ln xdx = x2 2 (ln x)2 x2 x2
Questão -A. (, pontos) Calcule a) arctg d = arctg() 1 d = 1 + arctg() 1 u 1 6 u du = u = arctg() du = 1 dv = d v = 1+ d u = 1 + du = d = arctg() 1 1 + [u ln u ] + k = arctg() + ln(1 + ) + k. 6 6 6 b) 5e
Leia maisIntegrais triplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 28. Assunto: Integrais Triplas
Assunto: Integrais Triplas UNIVRSIDAD FDRAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJTO NWTON AULA 8 Palavras-chaves: integração, integrais triplas, volume, teorema de Fubini, soma de Riemann Integrais triplas Assim como
Leia maisUniversidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 7.
Eercício : ada a integral dupla I Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo 3A Lista 7 f,)dd + f,)dd. a) Esboce a região. b) Inverta
Leia maisCálculo IV EP13. Aula 23 Integral de Superfície de um Campo Vetorial
Fundação Centro de Ciências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP1 Aula Integral de uperfície de um Campo
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras
Leia maisCálculo III-A Módulo 14
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 4 Aula 25 Teorema de tokes Objetivo Estudar um teorema famoso que generalia
Leia maisy ds, onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o
Integral de Linha As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas iências Eatas, como por eemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a
Leia maisMAT146 - Cálculo I - Cálculo de Áreas
Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Anteriormente, definimos a área de uma região plana como sendo o limite de uma soma de Riemann e que tal limite é uma integral definida.
Leia maisMAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández
MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández Lista 3: Introdução à Derivada, Limites e continuidade. Ano 207. Determine a função derivada e seu domínio para a função
Leia maisA integral definida Problema:
A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y
Leia maisCAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS
CAPÍTULO 16 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS 161 Introdução Esta aula está baseada no Capítulo 16 do segundo volume do livro de Cálculo do Guidorii Nesta aula, estamos
Leia maisProposta de Teste Intermédio Matemática A 12.º ano
GRUPO I. Se f 0,, então f é estritamente crescente em. Se f é estritamente crescente em e se (0) 0 f, então 0, Se f 0,, então f é estritamente crescente em Logo, f f Resposta: (C). f... e f f e Resposta:
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II
Tarefa Intermédia nº 6 1. No referencial da figura está representada graficamente uma função h, de domínio IR, e as assímptotas do gráfico. Dê eemplo de uma sucessão ( u n ) tal que: 1.1. lim( h( un 1..
Leia maisCálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005
Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR, 17 de Abril de 008 - provas005.te TOME CUIDADO COM OS GRÁFICOS E DETALHES DA SUBSTITUIÇÃO UTILIZADA.....................................................................................................
Leia maisAplicações de. Integração
Aplicações de Capítulo 6 Integração APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO Neste capítulo exploraremos algumas das aplicações da integral definida, utilizando-a para calcular áreas entre curvas, volumes de sólidos e
Leia maisIntegrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d)
Integrais uplas Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas epartamento de Matemática Sexta Lista de Exercícios MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III - 7/I Em cada caso,
Leia mais2.1. Integrais Duplos (definição de integral duplo)
Análise Mtemáti II- no letivo 6/7.. Integris uplos (efinição e integrl uplo) Pr melhor ompreener efinição e integrl uplo vmos omeçr por olor o seguinte esfio: Tene eterminr o volume o sólio que está im
Leia maisCÁLCULO II: VOLUME II
CÁLCULO II: VOLUME II MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA epartamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3
Leia maisIntegrais Múltiplos. Slide 1. c 2000, 1998 Maria Antónia Carravilla FEUP
Integrais Múltiplos Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 2 c 2000, 1998 Integrais Múltiplos 1 Integrais Duplos Generalização do conceito de integral a subconjuntos limitados
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC. 1 a Avaliação escrita de Cálculo IV Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/2008
1 a Avaliação escrita de Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/008 1. Seja R a região do plano delimitada pelos gráficos de y = x, y = 3x 18 e y = 0. Se f é continua em R, exprima f ( x, y) da em termos
Leia maisDistâncias inacessíveis
U UL L Distânias inaessíveis Introdução Na ula 20 aprendemos a alular distânias que não podiam ser medidas diretamente. Nessa aula, os oneitos utilizados foram a semelhança de triângulos e o Teorema de
Leia maisCálculo IV EP5. Aula 9 Mudança de Variáveis na Integral Tripla. Aprender a fazer mudança de variáveis em integrais triplas. W uvw.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP5 Aula 9 Mudança de Variáveis na
Leia maisCálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas)
Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 014.1 Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 01 1 de fevereiro (quarta) Aula 0 17 de fevereiro (segunda) Aula 0 19 de fevereiro (quarta) Referências:
Leia maisResolução da Prova 735 (Matemática B)
Resolução da Prova 75 (Matemátia B) 1. 1.1 Proposta da Isabel: margaridas rosas violetas 7 arranjos tipo A 11 8 56 7 arranjos tipo B 56 56 56 Total de flores neessárias 168 84 11 Proposta do Dinis: margaridas
Leia maisLista de Exercícios 2 1
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Eercícios Mostre, utilizando a definição formal, que os ites abaio eistem e são iguais ao valor
Leia maisCÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial
Leia maisIntegrais Múltiplas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 23 de outubro de 2014
Cálculo 2 ECT1212 Integrais Múltiplas Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de outubro de 2014 Cálculo de áreas e Soma de Riemann Vamos primeiro revisar os conceitos da integral de uma função de uma variável.
Leia maisFundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios
Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof Dr Maurício Zahn Lista 01 de Eercícios 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada
Leia mais6.3. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6.3 Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas Nesta seção aprenderemos como aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume de um sólido. VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS
Leia maisUniversidade Federal da Bahia
Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 0. Áreas de figuras planas em coordenadas cartesianas [] Determine a área
Leia maisLISTA DE PRÉ-CÁLCULO
LISTA DE PRÉ-CÁLCULO Instituto de Matemática - UFRJ Prof. Nei Rocha Rio de Janeiro 2018-2 Eercício 1 Resolva: (a) 1 = + 1 (b) 6 3 1 = 3 (1 + 2 2 ) (c) 8 < 3 4 (d) 2 2 + 10 12 < 0 (e) 1 2 + 2 3 4 (f) +
Leia maisIntegral definida. Prof Luis Carlos Fabricação 2º sem
Integral definida Prof Luis Carlos Fabricação 2º sem Cálculo de Áreas Para calcular esta área, aproximamos a região por retângulos e fazemos o número de retângulos se tornar muito grande. A área exata
Leia maisUniversidade Federal da Bahia
Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 00. Áreas de figuras planas em coordenadas cartesianas [] Determine a área
Leia mais2. Tipos de funções. Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eixo y, isto é, f( x) = f(x).
1. Algumas funções básicas 2. Tipos de funções Funções pares e ímpares Uma função f é par se é simétrica em relação ao eio y, isto é, f( ) = f(). Eemplos: A função f() = n onde n inteiro positivo é par?
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
INTEGAÇÃO MÚLTIPLA TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II. Introdução. Integrais Duplas.3 Propriedades das Integrais Duplas.4 Cálculo de Integrais Duplas.5 Integrais duplas em regiões
Leia maisPrimitivas e a integral de Riemann Aula 26
Primitivas e a integral de Riemann Aula 26 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 13 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Leia maisAtividades Práticas Supervisionadas (APS)
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba epartamento Acadêmico de Matemática Prof: Lauro César Galvão Cálculo II Entrega: junto com a a parcial ATA E ENTREGA: dia da a PROVA (em sala
Leia maisA Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função
A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO II INTEGRAL DEFINIDA E SUAS APLICAÇÕES
008 LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO II INTEGRAL DEFINIDA E SUAS APLICAÇÕES. Calcular a soma superior e inferir de f ( =. sen( no intervalo [0,] com divisões.,86 u.a. e,6 u.a.. Esboce o gráfico e aproime com
Leia maisPARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia
PARTE 5 LIMITE 5.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar,
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial
Prova Escrita de MATEMÁTIA A - o Ano 006 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Estudando a variação de sinal de f e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de f, vem: 6 ) + + +
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:
Leia maisCapítulo I Geometria no Plano e no Espaço
Resumo Té CaPítulo ICddf º ANO MATEMÁTICA RESUMO TEÓRICO Capítulo I Geometria no Plano e no Espaço (A) REVISÕES TEOREMA DE PITÁGORAS a e b são atetos é a hipotenusa Num triângulo retângulo verifia-se sempre
Leia maisUniversidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 13. rot F n ds.
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo 3A Lista 3 Eercício : Verifique o Teorema de tokes, calculando as duas integrais do enunciado,
Leia maisCONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal
Leia maisCálculo 1 Fuja do Nabo. Resumo e Exercícios P2
Cálculo 1 Fuja do Nabo Resumo e Exercícios P2 Fórmulas e Resumo Teórico Limites Exponenciais e Logarítmicos lim $ &' 1 + 1 x $ = e ou lim $ 0 1 + h 2 3 = e a $ 1 lim $ 0 x = ln a, a > 0 Derivadas Exponenciais
Leia mais1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016
1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas
Leia maisIntrodução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares.
Leia mais