Macroeconomia Revisões de Derivadas para aplicação no cálculo de multiplicadores

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1 Maroeonomia 64 Revisões de Derivadas para apliação no álulo de multipliadores Nota introdutória: O que se segue é uma pequena revisão do oneito de derivada e algumas regras de derivação que são utilizadas na determinação dos multipliadores eonómios do modelo keynesiano. Este não pretende ser um texto de expliação aprofundada de toda a teoria relaionada om derivadas. Reomenda-se, para quem tiver maiores difiuldades, o estudo de Suessões, Limites e Derivadas num livro de Matemátia de º ano. Para a elaboração deste texto foi utilizado o livro Matemátia para Eonomistas de Alpha Chiang (edição da MGraw Hill). Definição matemátia: Seja y = f(x) uma função definida em ]a,b[ e seja x ]a,b[. Chama-se derivada da função f no ponto de abissa x ao limite, quando existe, da razão f (x h) f (x ), quando h tende para zero. h A derivada no ponto x representa-se por: f (x) ou df x ou y (x) E é dada por: f '(x f (x ) lim h h) f (x h ) Se esrevermos h = x-x, se h, então x e obtemos outra fórmula para f (x): fevereiro de 5 /3

2 f '(x f (x) f (x ) lim x x x ) Quando uma função tem derivada finita num ponto diz-se difereniável nesse ponto. Geometriamente, a derivada de uma função num ponto de abissa x é igual ao delive da reta tangente ao gráfio da função no ponto de abissa x. Taxa de variação e derivada Considerando a função y = f(x), quando a variável x muda do valor x para um novo valor x, a variação é medida pela diferença x-x. Utilizando a letra grega delta (que signifia diferença) para x-x podemos esrever = x-x, que se lê: variação de x igual a x menos x. Exemplo: Considerando f(x) = 5 + x, temos: f() = 5 + = 5 f() = 5 + = 6 f() = = 9 f(3) = = 4 f(4) = 5+6 = f(5) = = 3 ( ) Quando x varia de um valor iniial x para (x + ), o valor da função y = f(x) fia: f(x + ) A variação em y por unidade de variação em x, ou taxa média de variação, pode ser representado pelo quoiente diferenial: fevereiro de 5 /3

3 f (x ) f (x y ) Exemplo: Considerando f(x) = 5 + x, temos: f(x) = 5 + x f(x+) = 5 + (x+) O quoiente diferenial é: y 5 (x ) (5 x ) y 5 (x x ) 5 x y x y x x O quoiente diferenial pode ser alulado se nos forem dados os valores de x e de. Considerando que x = e.= 3, então o quoiente diferenial fia: y 3 = 7 Isto signifia que em média quando x varia de (ou seja, x) para 5 (ou seja x + ), a variação em y é de 7 unidades por variação unitária de x. fevereiro de 5 3/3

4 Normalmente estamos interessados na taxa de variação de y quando é muito y pequeno. Nesse aso podemos obter uma aproximação de eliminando todos os termos do quoiente diferenial que envolvam a expressão. Exemplo: O quoiente diferenial é: y x x Se é muito pequeno podemos onsiderar apenas o termo x omo aproximação de y. Quanto mais pequena for a variação de x, melhor será a aproximação ao y verdadeiro valor de. Matematiamente podemos dizer que quando tende para zero, ou seja, quando se aproxima ada vez mais de zero, ( x ) tende para x, e que, pela mesma razão, y também tende para x. Simboliamente podemos esrever desta forma: y lim lim x x tende para é igual a x., que se lê: limite do quoiente diferenial quando Se, quando tende para zero o limite do quoiente diferenial existe, esse limite é identifiado omo a derivada da função y=f(x). O subsrito x é utilizado apenas para hamar a atenção para o fato de a variação em x oorrer a partir de um valor espeífio de x. Podemos então eliminar o subsrito e fevereiro de 5 4/3

5 afirmar que a derivada é também uma função de x. E para ada valor de x existe um únio valor orrespondente da função derivada. A derivada de uma função y = f(x) pode representar-se por: dy f (x) ou ou y lim Exemplo: Considerando f(x) = 5 + x dy = x ou f (x)= x Exeríios:. Dada a função y = 3x +7 a. Determine o quoiente diferenial omo função de x e. dy b. Determine a derivada. Calule f (3) e f (4) Resolução a. y 3(x ) y 3x (3x 6x 3 7) 7 3x 7 7 y 6x 3 b. dy = 6x fevereiro de 5 5/3

6 . f (3) = 6 3 = 8 f (4) = 6 4 = 4. Determine a derivada das seguintes funções: a. 4x -6 y y 4(x ) 4x (4x 8x 4 6) 6 4x 6 6 y y 8x 4 8x 4 dy = 8x b. 9 + x y y 9 (x ) (9 x ) 9 x 4x 9 x y 9 x 4x 9 x y 4x y 4x dy = 4x. 5x 6 y y 5(x ) (5x 6) 6 5x 5 5x 6 6 fevereiro de 5 6/3

7 y 5 y 5 dy =5 d. 4-3x y 4 3(x ) (4 3x) y 4 3x 3 4 3x y 3 dy = -3 e. 5x y 5(x ) ( 5x ) y 5x x 5 5x y x 5 y x 5 dy = -x Regras de derivação Existem várias regras de derivação que nos permitem obter a derivada de uma função, sem passar pelo álulo do quoiente diferenial e de limites. Vamos apresentar de seguida as regras de derivação de alguns tipos de funções que iremos neessitar para o álulo dos multipliadores do modelo keynesiano. fevereiro de 5 7/3

8 .. Derivada de uma onstante A derivada de uma função onstante y = f(x) = k é zero. dy = ou f (x) = Exemplos: f(x) = 5 f (x) = f(x) = - f (x) =.. Derivada da função afim A derivada da função afim y = f(x) = ax + b é o valor que está a multipliar pela variável, ou seja, a derivada da função afim é a. dy = a ou f (x) = a Exemplos: f(x) = 3x+ f (x) = 3 f(x) = -4x f (x) = -4 f(x) = x 6 f (x) = fevereiro de 5 8/3

9 .3. Derivada de uma soma (diferença) de funções A derivada de uma soma (diferença) de duas funções é a soma (diferença) das derivadas das duas funções: d d d [f(x)±g(x)] = f(x) ± g(x) = f (x) ± g (x) Exemplos: f(x) = x+3 g(x) = 4x - f (x) = g (x) = 4 Derivada da função f(x) + g(x): f'(x) +g (x) = +4= 6 Derivada da função f(x) g(x): f'(x) g (x) = 4 = -.4. Derivada de um produto de funções A derivada do produto de duas funções é igual a: a primeira função vezes a derivada da segunda função, mais a segunda função vezes a derivada da primeira função: d d d [f(x) g(x)] = f(x). g(x) + g(x). f(x) = f(x).g (x) + g(x).f (x) fevereiro de 5 9/3

10 Exemplos: f(x) = x+3 g(x) = 4x - f (x) = g (x) = 4 Derivada da função produto d [f(x) g(x)]: f(x).g (x) + g(x).f (x) = (x+3) 4 + (4x-) = 8x++8x-4 = 6x Derivada de uma potênia de expoente natural A derivada de uma função potênia y = f(x) = x n é nx n- : d x n = nx n- ou f (x) = nx n- Generalização da regra de derivada da função potênia: Quando uma onstante aparee na função potênia, de modo que y = f(x) = x n, a sua derivada é: d x n = nx n- ou f (x) = nx n- Exemplos: f(x) = x 3 f (x) = 3x f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 = 8x 3 fevereiro de 5 /3

11 .6. Derivada do produto de uma onstante por uma função Quando temos o produto de uma onstante por uma função, de modo que y =.f(x), a sua derivada é: d d [.f(x)] =. f(x) ou [.f(x)] =.f (x) Exemplos: f(x) = 3. (x+6) f (x) = 3. = 6 f(x) = 4. (x 3 + 3x ) f (x) = 4. (6x +3) = 4x +.7. Derivada de um quoiente de funções A derivada do quoiente de duas funções f(x)/g(x) é: d f (x) = g(x) f '(x).g(x) g f (x).g' (x) x Exemplos: d x 3 (x ) (x 3).() 5 x (x ) (x ) d 5x 5(x x ) 5x.(x) 5.( x (x ) ) fevereiro de 5 /3

12 .8. Para lembrar y = f(x) = k ; f (x) = y = f(x) = ax + b; f (x) = a d d d [f(x)±g(x)] = f(x) ± g(x) = f (x) ± g (x) d d d [f(x) g(x)] = f(x). g(x) + g(x). f(x) = f(x).g (x) + g(x).f (x) d x n = nx n- ou f (x) = nx n- d d [.f(x)] =. f(x) ou [.f(x)] =.f (x) d f (x) = g(x) f '(x).g(x) g f (x).g' (x) x 3 Derivadas pariais No modelo keynesiano temos várias variáveis e parâmetros, o que nos leva à neessidade de ahar derivadas de funções om mais do que uma variável. Seja a função y = f (x, x,, xn), onde as variáveis xi (i =,,, n) são todas independentes umas das outras, de modo que ada uma pode variar sem afetar as restantes. Se a variável x sofre uma variação, enquanto todas as outras x,, xn permaneem inalteradas, oorre onsequentemente uma variação em y, ou seja y. O quoiente diferenial pode ser expresso omo: fevereiro de 5 /3

13 y f (x, x,...,x n ) f (x, x,..., x n ) O limite de y, quando é uma derivada. Esta derivada reebe o nome de x derivada parial de y em ordem a x, pois todas as outras variáveis se mantêm onstantes quando efetuamos esta derivação. São utilizados símbolos espeífios para representar as derivadas pariais: y x i y ou que se lê :a derivada parial de y em ordem a xi. x i Exemplo: Dada a função y = f (x, x) = 3x + xx+4x, determine as derivadas pariais. º Determinar a derivada parial de y em ordem a x. Vamos onsiderar x omo onstante, respeitando por isso as regras de derivação que envolvem onstantes. y y 3x 6x x x º Determinar a derivada parial de y em ordem a x. Vamos onsiderar x omo onstante: y x 4x y x 8x fevereiro de 5 3/3

14 4 Apliação no álulo de multipliadores Vamos omeçar om os multipliadores do modelo simples do Merado Real (páginas 5 a 55 do livro) O multipliador de uma variável estratégia numa dada variável objetivo mede as variações da variável objetivo quando a variável estratégia onsiderada varia de uma unidade (monetária ou perentual), mantendo onstantes as demais variáveis estratégias do modelo. No modelo em estudo, há somente uma variável objetivo (rendimento) e uma estratégia (investimento autónomo), pelo que só há um multipliador: é o multipliador do investimento autónomo (ver página 54 do livro) A forma reduzida do modelo em relação a Y é: C I Y Multipliador do Investimento em relação ao rendimento, no modelo simples Y I é a derivada parial de Y em ordem à variável I Quando determinamos a derivada parial em ordem a uma variável todas as outras variáveis são onsideradas onstantes. Assim, para esta derivada vamos onsiderar I omo variável mas C e são onsideradas onstantes. Vamos então omeçar a derivar C I Y,, Y C I = I, ou seja, a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das parelas. fevereiro de 5 4/3

15 Assim: a derivada de C é zero, porque a derivada de uma onstante é zero; e a derivada de onstante é essa onstante. I é porque a derivada de uma variável a multipliar por uma Para pereber melhor vamos desdobrar a expressão I desta forma: I = I, ou seja, temos a variável I a multipliar pela onstante, logo a derivada desta multipliação é a onstante. Y = + I (Atenção: é a derivada de C e é a derivada de I ) Y = I Y I porque estamos a derivar a função I onde I é a variável. Expliação da página 55 do livro A dedução da página 55 é importante em termos matemátios para pereber o oneito de multipliador, mas a dedução em si (e a equação que daí resulta) não é utilizada desta forma na resolução dos exeríios. fevereiro de 5 5/3

16 Podemos dar uma interpretação dinâmia (e intuitiva) ao oneito de multipliador. Vamos supor que há um aumento de investimento de I. Nesse período o aumento de rendimento resultante da produção de bens de investimento é exatamente igual a esse montante. Os que o reebem irão poupar uma parte e gastar a parte restante (e igual a I). Estes gastos adiionais representam rendimentos adiionais de outras pessoas, que por sua vez irão onsumir uma parte segundo a sua propensão marginal a onsumir, poupando a parte restante, et. Isto signifia que, ao aumentar o investimento, temos uma adeia infinita de arésimos no rendimento, pois o arésimo de investimento vai originar arésimo no rendimento que por sua vez irá ser utilizado em onsumo, o que irá levar a um aumento de produção, que por sua vez leva a aumento de onsumo que estimula novamente aumento de produção. Esta é uma adeia infinita de arésimos, mas om uma partiularidade, os arésimos são ada vez menores, hegando a um ponto em que são ínfimos. Em termos matemátios, onsiderando os arésimos por momentos, fia: º momento: Y = I º momento: Y = I + I 3º momento: Y = I + I + (I) ou Y = I + I + I 4º momento: Y = I + I + I + ( I) ou Y = I + I + I + 3 I 5º momento: Y = I + I + I + 3 I + 4 I Podemos estender isto até ao infinito: Y = I + I + I + 3 I + 4 I +... Coloando I em evidênia fia: Y = ( ) I Passando I para o primeiro membro fia: fevereiro de 5 6/3

17 ΔY = ΔI Em matemátia a expressão tem o nome de progressão geométria, pois temos um padrão relativamente às parelas (que aqui são hamadas de termos) que se vão somando suessivamente. Nós estamos aqui perante uma progressão geométria de primeiro termo e razão (porque os termos vão sendo sempre multipliados por ). A soma de todos os termos desta progressão é dada pela expressão: n. Daqui surge a equação: n ΔY = ΔI A partir desta equação podemos hegar à fórmula do multipliador, mas teremos de apliar onheimentos relativos a álulo de limites. Multipliadores do rendimento no modelo a 3 setores (páginas 66 e 67): O Multipliador do Investimento Partimos da forma reduzida do modelo da página 63 (por ser o mais utilizado, os restantes são asos partiulares deste): C T TR I G Y ( t) Y é a derivada parial de Y em ordem à variável I I fevereiro de 5 7/3

18 Quando determinamos a derivada parial em ordem a uma variável todas as outras variáveis são onsideradas omo se fossem onstantes. Assim, para esta derivada vamos onsiderar I omo variável e C, T, TR, G,, t são onsideradas onstantes. Y = I ( t) essa onstante. porque a derivada de uma variável a multipliar por uma onstante é O multipliador do onsumo, o multipliador do investimento e o multipliador dos gastos, são todos iguais. Vamos deduzir os multipliadores dos impostos e das transferênias: Y T ( t) variável. porque estamos a derivar a função T onde T é a ( t) Y TR ( t) variável. porque estamos a derivar a função TR onde TR é a ( t) O multipliador da taxa de imposto: Temos de deduzir a derivada parial de Y em ordem a t, ou seja, Y. Vamos reorrer à t C T TR I G equação: Y. Uma vez que a nossa variável está no ( t) denominador temos de reorrer às regras de derivação de frações (ou de um quoiente de funções). Apliando as regras temos fevereiro de 5 8/3

19 Y t Y t t C T TR I G ( t) Y ( t) C T TR I G = ( t) ( t) Multipliadores do Saldo Orçamental (página 69 e seguintes) Consideremos: SO = T G TR SO T ty G TR e C T TR I G Y ( t) C T TR I G SO T t G TR ( t) Multipliador dos gastos públios no saldo orçamental: SO G t ( t) Para hegar a este resultado temos de reorrer às regras de derivação, desta forma: G é a nossa variável C, T, TR, I,, t são onsideradas onstantes a derivada de G é (porque é a derivada da variável que estamos a onsiderar), e a derivada de C T TR I G t é ( t) t ( t) fevereiro de 5 9/3

20 Efetuando as operações matemátias temos: SO G t ( t) Este multipliador é negativo e assume valores entre (-) e zero. t t - + ( - t) - ( - t) - t - = = - - ( - t) - ( - t) - ( - t) Nesta fração, onsiderada em módulo, observa-se que o numerador é inferior ao denominador. Logo, a fração apresenta valores entre zero e um (em módulo). Vamos, agora, demonstrar que a fração assume valores negativos. - ( - t) - t ( - t) - ( - t) ( - t)( - ) - = - = - - ( - t) - ( - t) - ( - t) Repare-se que, quer o numerador, quer o denominador assumem valores positivos, pelo que a fração é positiva. Contudo, omo é anteedida por um sinal negativo, a fração é negativa. Multipliador dos impostos autónomos no saldo orçamental: Vamos deduzir a derivada parial do SO em ordem a T. C T TR I G Y ( t) C T TR I G SO T t G TR ( t) fevereiro de 5 /3

21 C T TR I G Reorrendo a esta equação SO T t G TR ( t) temos: SO t, para hegar a este resultado tem de reorrer às regras de T ( t) derivação, desta forma: a derivada de T é (porque é a derivada da variável que C T TR I G estamos a onsiderar), e a derivada de t é ( t) nesta derivada parial t funiona omo onstante. t, pois ( t) Efetuando as operações matemátias temos: SO T t = ( t) ( t) Este multipliador tem de ser sempre positivo, pois: << <t< logo: <-< ou seja, o numerador é positivo <-t< <(-t)< <-(-t)< ou seja, o denominador também é positivo Multipliador das transferênias autónomas no saldo orçamental: A dedução deste multipliador é idêntia à do multipliador dos impostos autónomos no saldo orçamental, apenas o resultado será simétrio: fevereiro de 5 /3

22 SO TR t ( t) ( t) Este multipliador é negativo, pois << <t< Se é inferior a então - terá de ser sempre negativo, ou seja, temos o numerador negativo e o denominador positivo o que irá dar omo resultado um valor negativo. Multipliador da taxa de imposto no saldo orçamental: Vamos deduzir a derivada parial do SO em ordem a t. Reorrendo a esta equação SO T ty G TR, o que nos interessa agora é apenas derivar a parela ty (pois a nossa derivada parial é em ordem a t), reorrendo às regras de derivação do produto: SO t Y t Y t Mas ainda temos de deduzir a derivada parial de Y em ordem a t, ou seja, Y. Vamos t reorrer à equação: C T TR I G Y, uma vez que a nossa variável está no denominador temos de ( t) reorrer às regras de derivação de frações (ou do quoiente de funções). Apliando as regras temos: fevereiro de 5 /3

23 Y t Y t t C T TR I G ( t) Y ( t) C T TR I G = ( t) ( t) Voltando ao álulo de SO vamos ter: t SO Y = t Y t ( t) Y = ( t ) Este multipliador tem de ser sempre positivo, pois: << <t< Conlusão A ompreensão da dedução dos multipliadores do modelo simples e do modelo a 3 setores, são esseniais para deduzir os multipliadores do modelo a 4 setores e do modelo IS-LM. Apenas exigem a apliação das regras de derivação. É muito importante que os alunos peram algum tempo a rever os oneitos matemátios e a teoria relativa a derivadas. Bibliografia Chiang, A. (98). Matemátia para Eonomistas. Editora MGraw-Hill do Brasil Sotomayor, Ana Maria e Marques, Ana Cristina. (7). Maroeonomia. Universidade Aberta. Lisboa. fevereiro de 5 3/3