W = Q Q Q F. 1 ε = 1 1 re γ. 1 r c. r e

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1 66 APÍTULO 3. ENTROPIA E 2a LEI DA TERMODINÂMIA e também, W = Q Q Q F e eliminando W entre as duas equações, segue que: Q Q Q F = Q Q Q F ou ainda, Q Q Q Q = Q F Q F = Q e de aordo om a desigualdade dada pela expressão 3.8, Q > 0. A equação aima nos india que o efeito do refrigerador de arnot e da máquina X trabalhando em onjunto é equivalente a um refrigerador ideal retirando alor de uma fonte fria para uma fonte quente sem a neessidade de um trabalho externo. Isto equivale a um refrigerador perfeito que já vimos não ser possível desde que viola a 2 a lei da termodinâmia. Exemplos. O ilo Diesel, representado ma Fig. 3.7, onde A e D são adiabátias, esquematiza o que oorre num motor Diesel de 4 tempos. A diferença em relação ao ilo de Otto problema 35 da lista é que a taxa de ompressão = /V adiabátia é maior, aqueendo mais o a permitindo que ele inflame o ombustível injetado sem a neessidade de uma entelha de ignição: isto oorre a pressão onstante, durante o treho ; a taxa de expansão adiabátia assoiada a D é = /V. a Mostre que a efiiênia do ilo Diesel é dado por: ε = re r O ilo funiona da seguinte forma: no proesso A temos uma ompressão adiabátia que eleva a pressão do sistema para o valor p A e um volume. Neste aso, omo nenhum alor é troado om o ambiente, todo o trabalho realizado é onvertido em um aumento da temperatura do sistema. A seguir, temos uma expansão a pressão onstante e um alor Q deve ser adiionado ao sistema para ompensar a perda de energia interna devido à expansão do gás até o volume V. Uma vez que o ponto é

2 3.6. EFIIÊNIA DE MÁQUINAS TÉRMIAS REAIS 67 Expansão a pressão onstante Expansão adiabátia ompressão adiabátia D A Resfriamento a volume onstante Figura 3.7: Veja exemplo. atingido, oorre mais uma expansão adiabátia que leva o sistema do ponto ao ponto D. Neste aso, a temperatura do sitema é reduzida desde que não há troas de alor neste proesso. Finalmente, temos uma redução da pressão do sistema a volume onstante que leva o sistema do ponto D ao ponto A, onde o ilo é reiniiado. Note que neste proesso DA, o sistema libera uma quantidade de alor Q DA para garantir que oorra uma redução de pressão desde que o volume é fixo. A efiiênia da máquina Diesel é portanto, dada por: ε = W Q onde W é trabalho útil obtido durante o ilo e Q A é o alor adiionado na etapa de expansão a pressão onstante. De aordo om o enuniado do problema, temos as seguintes relações: = V 3.9 = V 3.0 omo objetivamos determinar a efiiênia preisamos alular o trabalho e o alor injetado. Vamos

3 68 APÍTULO 3. ENTROPIA E 2a LEI DA TERMODINÂMIA omeçaom o álulo do trabalho. Este é dado pela soma: W = W A + W + W D Vamos alulaada termo separadamente. omeemos om W A : W A = V Agora preisamos da relação entre a pressão e o volume. Lembrando que o proesso é adiabátio, então podemos esrever: p dv p A V A = pv p = p AV A V assim, W A = p A V A V dv V = p AV A V V A e usando a Eq. 3.9, podemos eliminar o volume = V da equação aima: W A = p V V V onde usamos também a igualdade p A V A = p V. Após alguma álgebra podemos esrever: W A = p V e omo p V = nrt, podemos esrever ainda W A = nrt 3. Vamos agora determinar o trabalho no proesso. Neste aso temos um proesso a volume onstante, assim, é bastante simples alular a integração: V W = p V V = p V V mas a razão no parênteses pode sesrita em termos das Eqs. 3.0 e 3.0 V V = V V = e usando a lei dos gases ideais, segue que: W = nrt 3.2

4 3.6. EFIIÊNIA DE MÁQUINAS TÉRMIAS REAIS 69 Finalmente, vamos determinar o trabalho realizado no proesso DA que é uma ompressão adiabátia. omo o álulo é similar ao proesso A: e omo W D = p V VD V dv V = p V V D V V D = podemos esrever: mas = V, logo: ou seja, W D = p V W D = p V V A r e V V V re W D = p V Para uniformizar a fórmula, esrevemos: o que nos permite esrever: W D = p V re p V = p V = nrt V V = nrt W D = nrt [ ] re 3.3 O trabalho líquido pode agora ser determinado somando as três ontribuições dadas pelas Eqs. 3., 3.2 e 3.3: W = W A + W + W D W = nrt + nrt + nrt [ ] re

5 70 APÍTULO 3. ENTROPIA E 2a LEI DA TERMODINÂMIA W = nrt + nrt r + nrt [ ] re W = nrt r re W = nrt + r re W = nrt r + r re 3.4 Vamos agora determinar o alo injetado no proesso. Para isso, notamos que a injeção de alor oorre em um proesso a pressão onstante. temperatura do sistema, então esrevemos: Desde que a injeção de alor provoa uma variação da Q = n P T T omo sabemos a razão entre os alores espeífios: = P V e, P = V + R então podemos esrever o alospeífio a pressão onstante na forma: P = P + R P = R om isso, podemos esrever Q = nrt T T Agora preisamos a razão T /T, para isso usamos a lei dos gases ideais: p V p V = nrt nrt T T = V V =

6 3.6. EFIIÊNIA DE MÁQUINAS TÉRMIAS REAIS 7 e assim, a expressão para o alor toma a forma: Q = nrt 3.5 Agora podemos substituir as Eqs. 3.4 e 3.5 na equação para efiiênia da máquina Diesel: ε = W Q = + re ε = + r e r e ε = + ε = r e re ε = re r r No método de Rühhardt para medir = P / V do ar, usa-se um grande fraso om um gargalo ilíndrio estreito de raio a, aberto para a atmosfera p 0 =pressão atmosféria, no qual se ajusta uma bolinha metália de raio a e massa m. Na posição de equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no fraso V 0 Fig.??. alule a força restauradora sobre a bolinha quando ela é empurrada de uma distânia z para baixo a partir do equilíbrio, o movimento sendo sufiientemente rápido para que o proesso seja adiabátio. Mostre que a bolinha exeuta um movimento harmônio simples e alule o período T em função de a, m, V 0, p 0 e. Vamos apliar a segunda lei de Newton à esfera onsiderando que a pressão é onstante sobre a superfíie da esfera. Neste aso, estamos desprezando a variação da pressão om a altura da esfera, o