2ª LEI, ENTROPIA E FORMALISMO TERMODINÂMICO. 1) Um gás perfeito de capacidades térmicas constantes. , ocupando inicialmente o volume V 0,

Transcrição

1 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 ª LEI, ENROIA E FORMALISMO ERMODINÂMIO ) Um gás perfeito de capacidades térmicas constantes p =, ocupando inicialmente o volume 0, expande-se adiabaticamente até atingir o volume 0. Em seguida, à pressão 0, o volume diminuiu até 0. O ciclo, diatérmico, fecha com uma transformação a volume constante (fig. ). a) rovar que o rendimento deste ciclo é dado por η = b) alcular, justificando, o rendimento máximo que é possível obter utilizando as mesmas fontes. R: b). ) Uma mole de um gás perfeito monoatómico é sujeita ao processo termodinâmico indicado na figura, em que a curva A representa uma transformação isotérmica à p 5 temperatura 0. omando = = : a) alcular o trabalho realizado no processo; b) Representar o ciclo no diagrama,; c) alcular o rendimento do processo descrito e compará-lo com o rendimento do ciclo de arnot funcionando entre as mesmas temperaturas extremas. R: a) ; c) 6,5%; 50%. Figura 0 Figura ) Um motor Diesel baseia-se num processo cíclico reversível constituído por duas transformações adiabáticas, uma isobárica e uma isocórica como está indicado no diagrama da figura. Suponha que a substância utilizada no motor é um gás ideal cujas capacidades térmicas molares são independentes da temperatura. erificar que o rendimento do motor em função da relação de conversão e da relação de expansão é = + η. Figura Departamento de Física da FU Folha 4 - /6

2 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 4) Determinar a variação da entropia de um gás perfeito nos seguintes tipos de transformações: a) isotérmica, quando o volume varia de 0 para ; b) isobárica, quando a temperatura varia de 0 para ; c) isocórica, quando a temperatura varia de 0 para ; d) adiabática. R: a) R ( / 0 ); b) n ( / 0 ); n ( / 0 ); 0. 5) Um sistema é submetido à transformação representada no diagrama entrópico da figura 4 pelo segmento de recta AB. Determinar a quantidade de calor trocada na interacção com o exterior. R: ( + )(S -S )/. 6) A entropia de certa substância incompressível e não dilatável é Figura 4 dada por S ( ) = A( 0 + ), em que 0 e A são constantes. Mostrar que a quantidade de calor que é necessário fornecer à substância a aquecer desde o zero absoluto até é dada por ' ' Q ( ) = A 0 arctg. ( ) 0 = u arc.tg u 0 + u 7) Um gás perfeito de capacidade térmica a volume constante, encontra-se num estado inicial definido por (, ) e sofre uma transformação isotérmica reversível até atingir um volume duplo do inicial; em seguida, uma expansão adiabática leva o gás até um volume ; o ciclo termina com uma transformação representável num diagrama (S,) por um segmento de recta. a) Representar o ciclo no diagrama S,; b) Determinar a temperatura correspondente ao estado final da transformação adiabática; c) rovar que o rendimento do ciclo é perfeitos. R: b). R, em que R é a constante dos gases 8) alcular o rendimento do seguinte ciclo realizado reversivelmente por um gás perfeito (fig. 5): a) ompressão isotérmica à temperatura 0, desde a pressão 0 até à pressão ; b) ransformação isobárica desde a temperatura 0 até que a entropia adquira o valor primitivo S 0 ; c) Expansão adiabática até ao estado primitivo. 0 R:. 0 Figura 5 9) Juntam-se dois corpos A e B, de massas m A e m B e capacidades térmicas mássicas a pressão constante c A e c B, num recipiente isolado. Inicialmente as suas temperaturas são Ai e Bi. Departamento de Física da FU Folha 4 - /6

3 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 Demonstrar, utilizando o º e º rincípios, que a temperatura final dos dois corpos é a mesma Af = Bf. 0) alcular a variação de entropia do sistema formado por kg de água a 7 º e kg de gelo fundente quando a água líquida e o gelo se põem em contacto dentro de um recipiente adiabático. O calor de fusão do gelo é l fus = 4,4 J/g e a capacidade térmica mássica da água é c a = 4,8 J/(gK). Qual é o aumento de entropia se se tiverem 0, kg de gelo em vez de kg? R:.4 JK - ; 7.4 JK -. ) Um sistema, com capacidade térmica, é aquecido a pressão constante de até por contacto térmico com um certo número (tão grande quanto se queira) de fontes de calor, a temperaturas entre e. O aquecimento é reversível. A seguir, o sistema arrefece até, mediante contacto térmico com uma só fonte à temperatura. alcular as variações de entropia, no aquecimento e no arrefecimento, do sistema, das fontes e do universo. R: Aquec. Sistema: ; Fonte:. Arref. Sistema: ; Fonte: ( ) ) Demonstrar que na expansão livre de um gás (não necessariamente perfeito) à temperatura e em contacto com uma fonte a essa temperatura, o aumento de entropia do universo é tal que f SU = W = d, i com W o trabalho reversível e isotérmico entre os mesmos estados inicial e final ( i e f são os volumes inicial e final). ) em-se mol de um gás perfeito, de capacidade térmica a volume constante = 0,0 (J/K) em equilíbrio, a 00 K, com uma fonte a essa temperatura. a) Qual é o trabalho mínimo que se deve realizar para elevar a temperatura do gás até 0 K se o seu volume permanecer constante? b) Qual é esse trabalho se, em vez do volume, a pressão for constante? R: a) J; b) 9,9 J 4) A partir da Equação Fundamental proposta por Gibbs para os gases perfeitos considerados como sistemas fechados, U nr S S0 ( ) = U, S = U 0 exp, 0 sendo n o número de moles, e U 0, 0, S 0, = nc e R constantes, extraia as equações de estado térmica, energética e entrópica correspondentes. nr = (, ) = ; U = U (, ) = ; nr R: ( ) S = S, = nr S0 U 0 0 Departamento de Física da FU Folha 4 - /6

4 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 5) A partir de du = ds d, utilizando os eoremas de Schwartz e da Reciprocidade e a Regra da Derivação em adeia, deduza as Relações de Maxwell. 6) A partir de du = ds d e utilizando uma das Relações de Maxwell deduza a equação U =. 7) Determine a relação entre e num processo adiabático reversível para um gás de equação de estado = nr, = nc, R e c constantes. Que acontece à temperatura se o gás se expandir? E se se tratar de uma expansão adiabática livre? te R: = ; diminui; mantém-se constante. 8) Determine a relação entre e num processo adiabático reversível para um gás de equação de estado = nr, = nc, R e c constantes. ( ) te R: =. 9) Suponha que um gás de van der Waals é utilizado numa máquina térmica que realiza um ciclo de arnot. artindo da equação térmica n a + ( nb) = nr, admitindo que é constante e utilizando o formalismo termodinâmico, determine: a) as equações energética e entrópica características deste tipo de gás; b) a variação da energia interna, da entropia, o calor trocado e o trabalho realizado no processo isotérmico à temperatura da fonte quente, variando o volume de para ; c) a variação da energia interna, da entropia, o calor trocado e o trabalho realizado no processo adiabático, quando a temperatura varia de para e o volume de para ; d) a variação da energia interna, da entropia, o calor trocado e o trabalho realizado no processo isotérmico à temperatura da fonte fria, variando o volume de para 4 ; e) a variação da energia interna, da entropia, o calor trocado e o trabalho realizado no processo adiabático, quando a temperatura varia de para e o volume de 4 para ; f) o rendimento do ciclo, verificando que se trata, de facto, do rendimento esperado para uma máquina de arnot. n a n a n a R: a) U = U 0 + ; S = S0 + + nr( nb) ; b) U = + ; nb S = nr ; Q = S ; W = U Q ; c) Q = S = 0 ; nb n a n a 4 nb W = U = ( ) n a ; d) U = + ; S = nr 4 ; nb Q = S ; W = U Q ; e) Q = S = 0 ; ( ) W = U = n a 4 0) erto autor afirmou que um sólido obedece à equação de estado térmica = 0 a + b, onde 0, a e b são constantes, e que obedece à equação de estado energética U = c b, com c constante. Demonstre que esta afirmação está errada pois as duas equações não podem descrever a mesma substância. Departamento de Física da FU Folha 4-4/6

5 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 ) Utilizando o ciclo de Mayer representado na figura 6 (três isotérmicas a temperaturas que diferem infinitesimalmente, entre as quais tem lugar um ciclo com um processo isocórico, um processo isobárico e uma expansão livre), e o carácter de função de estado da entropia, determine a variação entrópica de cada processo e obtenha a Relação de Mayer generalizada. Figura 6 R: ab db ds = ; ds = ( d d ); = d + ( d + d ) = κ α bc a b ds ca a a b ; ( ) a ) Uma mole de um gás de equação de estado b =, onde a e b são constantes, e cuja capacidade térmica a volume constante é = c, com c constante, realiza o seguinte ciclo: partindo do estado inicial (, ) ocorre um processo isocórico até ao valor superior de pressão ; segue-se um processo de expansão adiabática reversível até ao volume ; novo processo isocórico leva o sistema até uma pressão tal que um processo isotérmico o devolve, finalmente, ao estado inicial. a) Representar qualitativamente o ciclo em diagramas e S. b) Obter a condição que deve ser satisfeita pela temperatura no final do processo adiabático. c) Obter os trabalhos realizados e os calores trocados em cada um dos processos do ciclo. R: b) a = + c b b ( ) nr ) Um gás de equação de estado nσ = e capacidade térmica a volume constante = nc, onde σ, R e c são constantes, realiza o seguinte ciclo: a partir do estado inicial (, ) sofre um processo de expansão isotérmica reversível até alcançar o volume ; a seguir, e a volume constante, o gás arrefece até à temperatura em contacto com uma só fonte de calor à temperatura ; realiza depois um outro processo de compressão isotérmica reversível até alcançar o volume ; finalmente, um processo isocórico em que o gás aquece até à temperatura em contacto com uma só fonte a essa temperatura devolve o sistema ao seu estado inicial. a) Representar qualitativamente este ciclo nos diagramas e S. b) alcular o rendimento do ciclo. c) alcular a variação da entropia do universo no ciclo. nσ nr( ) n R: b) σ η = ; c) S nσ nr nc ( ) n + σ U nc = ( ) nc ( ) Departamento de Física da FU Folha 4-5/6

6 ermodinâmica Ano Lectivo 00/0 4) Um pedaço de cobre de 5000 kg é aquecido, reversível e isobaricamente, de 800K até 000K, à pressão constante de 0 7 a. O coeficiente de dilatação do cobre no domínio de temperaturas em causa é α =,5x0-6 K -, o coeficiente de compressibilidade isotérmica é κ = 7,x0 - a - e a capacidade térmica mássica a volume constante é c = 54 J.kg - K -. onsideram-se estes valores constantes ao longo do processo. A massa volúmica do cobre à temperatura e pressão iniciais é ρ = 8,9066x0 kg.m - e a 800K e 0a é ρ = 8,9000x0 kg.m -. alcular: a) As variações da energia interna e da entropia durante o aquecimento. b) A variação de volume do cobre, submetendo-o à mesma variação de temperatura mas comprimindo-o de forma reversível e adiabática. c) A variação de temperatura do cobre se, nas condições iniciais, a expansão pudesse ser considerada livre e adiabática. R: a) U = 4.4x0 J ; S = 4.9x0 9 JK - ; b) 6.5x0 - m ; c) raticamente não varia. 5) Dois corpos incompressíveis e não dilatáveis, dotados de capacidades térmicas iguais, encontram-se à temperatura e, respectivamente. onsiderando uma transferência reversível de calor de um corpo para o outro (através de ciclos de arnot infinitesimais) até se atingir igualdade de temperaturas, mostrar que a temperatura final dos corpos é dada por f = ( ) e que o trabalho realizado pelo agente auxiliar é W = ( + ) ( ). O sistema constituído pelos dois corpos e pela máquina térmica que realiza os ciclos de arnot está isolado do exterior. 6) Duas garrafas contêm o mesmo gás de massa molecular M à temperatura K. Os volumes das garrafas são e e as pressões a que se encontra o gás são e, respectivamente. Supondo que o gás se comporta como um gás perfeito, se não se realizar trabalho exterior sobre o gás e se as garrafas estão termicamente isoladas, demonstre que, ao pôr em comunicação as m + m R m p + m p duas garrafas, a variação de entropia é dada por S =, m m M m + m p p onde R é a constante dos gases perfeitos e m e m são as massas de gás contidas nas garrafas. 7) Um cilindro vedado em ambas as extremidades e dotado de paredes isoladoras é dividido por meio de um êmbolo em duas partes iguais cada uma das quais contendo mole de um gás perfeito de capacidade térmica a volume constante = c. Os volumes das duas partes do cilindro eram inicialmente iguais a e mas a temperatura tinha o mesmo valor K em todo o volume. O êmbolo foi lentamente deslocado até à posição média. ornou-se assim possível o estabelecimento do equilíbrio térmico através do êmbolo que era condutor. No entanto, a entropia total permanece constante visto que as paredes do cilindro são isoladoras. Mostre que a temperatura final é dada por f =. + R Departamento de Física da FU Folha 4-6/6