Análise de algoritmos

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1 Análise de algoritmos Prova por indução Conteúdo O que é uma prova? Métodos de prova Prova por indução Ideia do funionamento Generalizações Exemplos Exeríios Referênias O que é uma prova? Uma prova é um argumento lógio onvinente de que um enuniado é verdadeiro. A únia maneira de determinar a veraidade ou falsidade de um enuniado matemátio é om uma prova matemátia. 3 / 0 Métodos de prova Prova direta Prova por onstrução Prova por ontradição Prova por exaustão Prova por indução 4 / 0

2 Uma prova por indução é um método avançado para mostrar que todos os elementos de um onjunto infinito têm uma propriedade espeifiada. Exemplo Expressões matemátias equivalentes. Corretude de um algoritmo. 5 / 0 Ideia do funionamento Vamos tomar o onjunto infinito N {1,, 3,... } e denominar a propriedade de P. Queremos provar que P(1), P(), P(3),... é verdadeiro. Toda prova por indução é onstituída de duas partes, o passo de indução e a base. Na base é provado que P(1) é verdadeiro. No passo de indução é mostrado que se i 1 e P(i) é verdadeiro, então P(i + 1) também é. Quando os dois itens são provados (a base e o passo de indução), segue o resultado desejado, ou seja, que P(i) é verdadeiro para todo i. Por quê? 6 / 0 Ideia do funionamento O aso P(1) é verdadeiro pois foi provado pela base. P() também é verdadeiro, porque o passo de indução prova que, se P(1) é verdadeiro, então P() também é, já sabemos que P(1) é verdadeiro. P(3) também é verdadeiro, porque o passo de indução prova que, se P() é verdadeiro, então P(3) também é, já sabemos que P() é verdadeiro. Este proesso ontinua para todos os números naturais, mostrando que P(4) é verdadeiro, P(5) é verdadeiro, e assim por diante. 7 / 0 Generalizações A base não preisa omeçar om 1; ela pode omeçar om qualquer valor a. Neste aso a prova por indução mostra que P(k) é verdadeiro para todo k b. No passo de indução, a suposição de que P(i) é verdadeiro é hamada de hipótese da indução. As vezes, queremos uma hipótese da indução mais forte, omo P(j) é verdadeira para todo j i. Neste aso a prova por indução ainda funiona, mas quando quisermos provar que P(i + 1) é verdadeiro, já teremos provado que P(j) é verdadeiro para todo j < i (pela hipótese de indução forte). 8 / 0

3 n(n + 1) Vamos mostrar usando indução que n. (Os omentários que aparaem entre parenteses não fazem parte da prova, mas tem o intuito de ajudar o leitor a ompreender o proesso.) Base 1(1 + 1) Vamos tomar omo base n 1, obtemos que 1 1. Logo a base é verdadeira. (Observe que o n foi substituído por 1 na igualdade que queremos mostrar e a igualdade foi onfirmada.) 9 / 0 Passo de indução Como hipótese de indução, vamos assumir que a equação é válida para n i, ou seja i. Temos que mostrar que a equação é válida para n i + 1, ou seja, (i + 1)(i + ) i + (i + 1). (Substituímos n por i e depois n por i + 1 na igualdade que queremos mostrar). (Neste momento, temos que partir da igualdade da hipótese de indução, que por hipótese é verdadeira, e onluir que a equação se mantém verdadeira quando n i + 1. O objetivo é mostrar que a equação é válida para n i + 1). 10 / 0 Partindo da hipótese de indução, vamos adiionar i + 1 a ambos os lados da igualdade, obtemos i (1) i + (i + 1) + (i + 1) () (i + 1) + (3) + (i + 1) (4) (i + 1)(i + ) (5) 11 / 0 (Na equação (3) a fração foi adiionada multipliando o termo (i + 1). Na equação (5) o termo omum (i + 1) foi posto em evidênia.) (i + 1)(i + ) Portanto, onluímos que i + (i + 1), que é a igualdade que queríamos provar quando n i + 1. Conlusão Como provamos a base e o passo de indução, onluímos a nossa n(n + 1) prova de que n. 1 / 0

4 Vamos mostrar usando indução que 3 k O(3 n ). Ou seja, 3 n, para alguma onstante, n 0 > 0 e para todo n n 0 (pela definição da notação O). Base Vamos tomar omo base n 0, obtemos que 0 3 k Logo se tomarmos 1, a base é verdadeira. (Observe que o n foi substituído por 0 na inequação que queremos mostrar e a desigualdade foi onfirmada.) 13 / 0 Passo de indução Como hipótese de indução, vamos assumir que a inequação é válida para n i, ou seja 3 i. Temos que mostrar que a inequação é válida para n i + 1, ou seja, 3 i+1. i+1 (Substituímos n por i e depois n por i + 1 na desigualdade que queremos mostrar). (Neste momento, temos que partir da desigualdade da hipótese de indução, que por hipótese é verdadeira, e onluir que a inequação se mantém verdadeira quando n i + 1. O objetivo é mostrar que a inequação é válida para n i + 1). 14 / 0 Partindo da hipótese de indução, vamos adiionar 3 i+1 a ambos os lados da desigualdade, obtemos 3 i (6) 3 k + 3 i+1 3 i + 3 i+1 (7) 3 i + 3 i+1 (8) 15 / 0 3 i i+1 (9) 3i i+1 (10) 3 i+1 (11) (Na inequação (8) os termos da direita de (7) foram agrupados. Em (11) o termo 3 i+1 foi posto em evidênia). 16 / 0

5 Baseado na hipótese de indução, obtemos que 3 i+1, mas nós queremos mostrar que 3 i+1. Juntando as duas desigualdades, temos 3 i+1 3 i+1. Se enontrarmos tal que ( 1 3 i+1 3 i+1 seja verdade, provamos o passo de indução. 17 / 0 Eliminando o termo 3 i+1, obtemos ) 1. Para que esta inequação seja verdade, basta tomar 3. Portanto, onluímos que existe onstante tal que 3 i+1, que é a desigualdade que queríamos provar quando n i + 1. Conlusão Como provamos a base e o passo de indução, onluímos a nossa prova de que 3 k O(3 n ). 18 / 0 Exeríios Mostre usando indução que: 1. k n(n + 1)(n + 1) 6. k 3 n (n + 1) 4 3. n! > n 1, para n i < 1, para n 1 i1 19 / 0 Referênias Mihael Sipser. Introdução a Teoria da Computação. Tradução da edição norte-ameriana. Editora Thomson. Thomas H. Cormen et al. Introdução a Algoritmos. a edição em português. Página / 0