MATEMÁTICA. OS MELHORES GABARITOS DA INTERNET: (19) O ELITE RESOLVE IME 2011 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS

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2 OS MELHORES GAARITOS DA INTERNET: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO 0 A ase de um prisma reto ACA C é um triângulo om o lado A igual ao lado AC. O valor do segmento CD vale, onde D é o ponto médio da aresta lateral AA. Saendo que é o ângulo AC e é o ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de, e. Eis o prisma e os elementos desritos no enuniado: Chamando AA enontramos: C C h A D A H (altura do prisma) temos H AD. Prosseguindo H sen H sen Continuando, enontramos a altura h do Δ AC em relação a C, além do omprimento da própria aresta C : AC os h h os sen sen AC e C AC os C os os Como a área do prisma é dada por A L AC H + AC H + C H, asta agora sustituirmos os valores enontrados para ahar a área lateral do prisma: A H ( AC + C) A sen ( os+ os os ) L E, finalmente: AL L + sen os ( os ) AL + sen ( os ) QUESTÃO 0 Determine o valor da eentriidade da ônia dada pela equação 0 y + y Oservando a equação 0 y + y + 6 0, nota-se que ela representa uma ônia om entro na origem, uma vez que ela não apresenta os termos e y. É onveniente para os nossos álulos que o termo y de sua equação seja eliminado; isso pode ser feito a partir de uma rotação de eios de um ângulo de θ, que é definido a partir da igualdade tg( θ ), onde A, e C são, respetivamente, os oefiientes A C dos termos, y e y. Assim: 0 tg( θ ) tg( θ ) tg( θ ) θ 0 A C As equações de rotação de eios são, portanto, dadas por: osθ ysenθ y sen θ+ yos θ Como θ 0 : y y + y y + y y Sustituindo e y na equação da ônia, temos: 0 y + y y y y y Epandindo ada um dos termos: y + y + y y y y + y y + y 0 0 y+ 0y + y + y Multipliando amos os lados da igualdade por e agrupando termos semelhantes: y 6 + 6y Desse modo, a equação reduzida da ônia após a rotação de eios mostra que ela é uma hipérole om semi-eio real igual a e semieio imaginário igual a. Admitindo que a distânia foal seja, temos: Assim, a eentriidade dessa ônia é e. a QUESTÃO 0 Sejam z 0 + 6i e z + 6i, onde i é a unidade imaginária, e z um z z π número ompleo tal que arg, determine o módulo do z z número ompleo ( z 7 9 i). Os.: arg( w) é o argumento do número ompleo w. Seja z + y i, om e y. Então: z z ( + y i) (0+ 6 i) ( 0) + ( y 6) i z z ( + y i) (+ 6 i) ( ) + ( y 6) i Multipliando o numerador e o denominador pelo onjugado do denominador, vem que: z z ( 0) + ( y 6) i ( ) ( y 6) i z z ( ) + ( y 6) i ( ) ( y 6) i ( 0) ( ) + ( y 6) + [ ( 0) ( y 6) + ( y 6) ( ) ] i ( ) + ( y 6) ( y 6) 6y 6 i + ( ) + ( y 6) ( ) + ( y 6) z z π Como arg, então as partes real e imaginária desse z z número são iguais. Assim:

3 OS MELHORES GAARITOS DA INTERNET: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS z z z z Re Im z z z z ( y 6) 6y 6 ( ) + ( y 6) ( ) + ( y 6) y y + 6 6y 6 + y 8y Completando quadrados nessa epressão, vem que: y y Logo: + ( 7) ( y 9) 8 z 7 9 i ( + y i) (7+ 9 i) ( 7) + ( y 9) i ( 7) + ( y 9) 8 z 7 9i QUESTÃO 0 Os números m,.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progressão geométria resente om razão dada por q. Sae-se que: eistem, pelo menos, dois elementos entre m e.680; n é o seto termo dessa progressão geométria; n Determine os possíveis valores de m e n, saendo que m, n e q são números naturais positivos. Por hipótese, as possíveis progressões são: () ( ma,, a,680, a5, n) ; ( ) ( ma,, a, a,680, n) ; ( ) ( a, m, a, a,680, n). Usando o fato de que , e que m, n e q são naturais positivos e q >, uma vez que a progressão geométria é resente, analisando ada aso, temos: Caso : ( ma,, a,680, a5, Como q n n q, então, sendo q natural, temos: 680 q > < q 7,9 q, logo: m q 680 m m 85 Além disso, n 680 q n Caso : ( m, a, a, a,680, Como m q , então o únio valor que q pode assumir no aso é q, uma vez que este é o únio fator de 680 om epoente maior ou igual a e 680 m q. Sendo m inteiro, temos: m q m 5 7 m 5 7 m 80 Além disso: n 680 q n 6800 Caso : ( a, m, a, a,680, Como m q então, os possíveis valores para q são: q ( m 5 7) q, m 85 e n 680 q n 560 q ( m 5 7) q, m 80 e n 680 q n 6800 q 6( m 5 7) q 6, m 05 e n 680 q n 6080 Portanto, as possiilidades são: m n q QUESTÃO 05 Seja AC um triângulo onde, e são os ângulos internos dos vérties A, e C, respetivamente. Esse triângulo está insrito em um írulo de raio unitário. As issetrizes internas desses ângulos intereptam esse írulo nos pontos A, e C, respetivamente. Determine o valor da epressão C / A / / / / / AAos + os + CCos. sen+ sen+ sen A / / Teorema dos senos (irunferênia de raio unitário): AA + Δ AA : () AA sen (I) sen + + Δ A : () sen (II) sen + CC + Δ CCA : () CC sen (III) sen + Mas saemos pelo Δ AC que: ( ( a ) ) π sen sen π + sen sen + (IV) π os os π + + os sen (V) π π sen os (VI) Sustituindo (VI) em (III) temos: CC os (VII) Sustituindo (I), (II), (IV) e (VII) na epressão do enuniado, otemos: sen os sen os os sen + + E sen+ sen+ sen( +) Podemos apliar Prostaférese em ada uma das parelas do numerador da epressão E: + Para o termo sen os : p+ q + soma: p + p q diferença: q + Logo: sen os sen( + ) + sen + Analogamente, otemos sen os sen( + ) + sen C

4 OS MELHORES GAARITOS DA INTERNET: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS + e sen os sen+ sen Reesrevendo a epressão, temos: sen( + ) + sen+ sen( + ) + sen+ sen+ sen E sen+ sen+ sen( +) QUESTÃO 06 Resolva a equação [ ] [ sen+ sen+ sen( +) ] sen sen sen E ( z + ) E 9z z + 5, onde z pertene ao onjunto dos números ompleos. Admitindo que z (ondição de eistênia) temos, multipliando amos os lados da equação por (z + ) : 9z z + 5 z ( z+ ) + 9z 5 ( z+ ) z + z ( z + 6z+ 9) + 9z 5 ( z + 6z + 9) z + z + z + z z z z + 6z + z + 0z Reagrupando os termos da última equação, temos: z + 6z + z + 0z ( z + z + z ) + (5z + 5z + 5 z) + (5z + 5z + 5) 0 z ( z + z+ ) + 5 z( z + z+ ) + 5( z + z + ) 0 Coloando o termo (z + z + ) em evidênia, enontramos então: ( z + z+ )( z + 5z + 5) 0 Assim, temos então duas possiilidades: ± ± i z + z+ 0 z z 5± 5 5± i 5 z + 5z+ 5 0 z z Desse modo o onjunto solução dessa equação é dado por 5 ± i 5 ± i S ;. QUESTÃO 07 Seja um número inteiro positivo menor ou igual a Sae-se que é divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de. Oserve a seguinte taela om os restos das divisões por 7: º) Oserve que, para, os restos das divisões por 7 formam uma sequênia de ilos de termos:, que se repetem para,,,..., º) Oserve que, para, os restos das divisões por 7 formam uma sequênia de ilos de 7 termos: 0, que se repetem para,,,..., Logo, asta analisarmos em ilos de 7 termos as ongruênias 0 (mod 7), ou seja, quando os restos das divisões de e por 7 são iguais. A ada ilo de termos, temos 6 asos em que 0 (mod 7), onforme as élulas hahuradas da figura. Logo, de a 999 temos 95 ilos ompletos de termos, nos quais oorrem ongruênias do tipo 0 (mod 7). Para finalizar, as ongruênias 0 (mod 7) para 999 até 0000 são as mesmas enontradas para até 8, ontailizando. Portanto, o número de possíveis valores de, de a 0000, tais que é divisível por 7 é igual a QUESTÃO 08 Uma pessoa lança um dado n vezes. Determine, em função de n, a proailidade de que a sequênia de resultados otidos pelos lançamentos dos dados se iniie por e que, em todos eles, a partir do segundo, o resultado seja maior ou igual ao lançamento anterior. Espaço Amostral (E): total de resultados possíveis no lançamento de um dado n vezes. Nesse aso, temos: ne 6 n. Evento (S): total de resultados possíveis no qual o resultado do primeiro lançamento é e os demais ( n ) lançamentos são maiores ou iguais à jogada anterior. Sejam a o número de vezes que saiu a fae após a primeira jogada; o número de vezes que saiu a fae 5 após a primeira jogada; o número de vezes que saiu a fae 6 após a primeira jogada. Oserve que, omo a eigênia é que um lançamento sempre tenha resultado maior ou igual ao anterior, só devemos nos preoupar om a quantidade de vezes que saíram as faes, 5 ou 6, pois a ordem está determinada: todos os, depois todos os 5 e finalmente todos os 6. Assim, o total de maneiras de oorrer tal evento é o total de soluções inteiras não negativas da equação om oefiientes inteiros: a+ + n Esse total de soluções é dado por: ( n ) + ( ) n + ( n+ ) n n+ n Logo, ns, de modo que a proailidade pedida é: ns ( n+ ) n p p ne 6 n QUESTÃO 09 Sejam o polinômio p + e os onjuntos { / e 999 }, { / } e { / } A p k k k r + r C q + q. Sae-se que y n( A ) n( A C), onde ne é o número de elementos do onjunto E. Determine o valor de y. Os.: é o onjunto dos números naturais. 0,,,,, temos: Da definição dos onjuntos, sendo { } (I) ( A ) é o onjunto dos naturais tais que a imagem da função p() é um quadrado perfeito somado om. Logo: k k + r + k k + r k k + r Como r é um natural e ( k ) é quadrado perfeito para todo k, temos que k ou que k + deve ser um número ímpar quadrado perfeito e, assim, ( k + ) p, para p. Mas, por hipótese: 0 k 999 k p 999 Logo, o quadrado perfeito deve ser um natural entre e 999. Como e 6 096, segue que p 6. Além disso, p deve ser ímpar, já que k + é um natural ímpar. Entre ( ) e 6 ( ), temos números ímpares, logo, ontando tamém o aso partiular em que k (que não oorre na análise do quadrado perfeito): n A +

5 OS MELHORES GAARITOS DA INTERNET: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS é o onjunto dos naturais tais que a imagem da função p() é um quadrado perfeito somado om. Logo: k k + q + k k q k k q (II) ( A C) Como q é um natural e k é quadrado perfeito para todo k, temos que k 0 ou que k deve ser um número ímpar quadrado perfeito e, assim, ( k ) t, para t e k. Mas, por hipótese: k 999 k 995 t 995 Logo, o quadrado perfeito deve ser um natural entre e 995. Como e 6 096, segue que t 6. Além disso, t deve ser ímpar, já que k é um natural ímpar para k. Entre ( ) e 6 ( ), temos números ímpares, logo, ontando tamém o aso partiular em que k 0 (que não oorre na análise do quadrado perfeito): n A C + Portanto, y n( A ) n( A C) y 0. QUESTÃO 0 Mostre que o determinante aaio apresenta valor menor ou igual a 6 para todos valores de a, e, pertenentes ao onjunto dos números reais, que satisfazem a equação a + +. a+ + + a + a a a a+ De aordo om o teorema de Jaoi, a soma ou sutração entre filas paralelas do determinante não alteram o seu valor. Assim, podemos somar a primeira linha om as duas últimas e saemos que o valor do determinante ontinuará o mesmo: a+ + + a a+ + a+ + a+ + + a a+ + + a a a a+ + + a a+ Coloando o termo a + + em evidênia no determinante, temos então que a+ + + a + a a+ + ( a+ + ) + a a a a+ + + a a+ Calulando o segundo determinante a partir da regra de Chió, temos: a+ + + a ( a+ ) ( + a) ( + ) ( + a) + a a+ + ( a+ + ) ( + a) ( + ) ( a + ) ( + ) + + a a+ a+ + + a a + a a+ + ( a+ + ) a a + + a a+ a+ + + a + a a+ + ( a+ + )[( )( a ) ( a )( a)] + + a a+ a+ + + a + a a+ + a+ + a + + a a + + a a+ a+ + + a λ + a a+ + λ λ λ + + a a+ Queremos mostrar que mostrar que λ λ 6, o que é equivalente a λ λ 6 0 λ λ Apliando o teorema das raízes raionais no polinômio λ λ+ 6, enontramos que suas possíveis raízes raionais são números inteiros divisores de 6. A partir de um teste simples dos possíveis valores ±, ±, ±, ± 8 e ± 6 enontramos que tais raízes são, e -. Desse modo, ele pode ser fatorado omo ( λ ) ( λ+ ). Assim, nosso prolema se reduz a mostrar que ( λ ) ( λ+ ) 0. Como o fator ( λ ) é sempre não-negativo, temos então que a desigualdade só será válida se λ + 0, ou seja, se λ. Voltemos agora para a igualdade a + +. Note que, somando + a + + em amos os lados, temos a seguinte relação: a + a a+ + (a + ) + ( + ) + ( + ) 7 + (a + + ) Oserve que, independente dos valores de a, e, o lado esquerdo da igualdade é sempre não-negativo, uma vez que ele orresponde a uma soma de quadrados de números reais. Assim: 7+ (a+ + ) (a+ ) + (+ ) + (+ ) (a+ + ) 0 a+ + a+ + Como λ a+ + λ, de modo que o determinante é menor ou igual a 6. Equipe desta resolução Matemátia Rafael da Gama Cavallari Rodrigo do Carmo Silva Revisão Eliel arosa da Silva Faiano Gonçalves Lopes Marelo Duarte Rodrigues Cehino Zaani Vagner Figueira de Faria Digitação, Diagramação e Puliação Fáio Henrique Mendonça Chaim Lemrando que (a + + ) a (a + + a) e que a + +, temos, fazendo λ a+ + : (a + + ) a (a + + a) λ λ + (a + + a) a + a + Assim, o determinante pode ser reesrito omo