PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. QUESTÃO 0. Uma geladeira é vendida em n parelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se ou parelas a menos, ainda sem juros, o valor de ada parela deve ser aresido de R$ 60,00 ou de R$,00, respetivamente. Com base nessas informações, onlui-se que o valor de n é igual a a) b) ) d) 6 e) 7 n é o número de parelas om valor x reais. Valor do produto: nx reais Caso se queira adquirir o produto, pagando-se parelas a menos, ainda sem juros, om o valor de ada parela aresido de R$ 60,00, o valor do produto ser: nx = (n )(x + 60). (I) Caso se queira adquirir o produto, pagando-se parelas a menos, ainda sem juros, om o valor de ada parela aresido de R$,00, o valor do produto ser: nx = (n )(x + ). (II) Da omparação entre as expressões (I) e (II), tem-se: (n )(x + 60) = (n )(x + ) 60n x 80 =n x 6 6n x = (III) De (I) e (III) tem-se o sistema: 6n x = (L;L 60n x = 80 9n 6x = ) (L 0n 6x = 60 L RESPOSTA: O valor de n é. (Alternativa a) 7n = 97 ) n = QUESTÃO. Sejam f(x) = x 9 e g(x) = x² + x +. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a a) b) ) 6 d) 7 e) 8 f(g(x)) = (x² + x + ) 9 = x² + 0x. Sendo f(g(x)) = g(x) x² + 0x = x² + x + x² + x 6 = 0

2 ± + x = x' = 6 e x'' =. Então a soma x ' + x'' = 6 + = 7. RESPOSTA: Alternativa d. QUESTÃO. No losango ABCD de lado, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN = /. Então, DM é igual a a) b) ) d) e) Apliando a Lei dos Cossenos ao triângulo MBN: 7 = + 8 = + osα osα osα = + 7 osα = os( 80 α ) =. Apliando agora a Lei dos Cossenos ao triângulo AMD: = α = MD =. ( MD) + os(80 ) ( MD) = + ( MD) RESPOSTA: Alternativa b.

3 QUESTÃO. Seja x > 0 tal que a sequênia a = log x, a = log (x), a = log 8 (8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmétia. Então, a + a + a é igual a a) b) 7 ) 9 d) log x a = log(x) = log + log x = + log x a = log8(8x) = log8 8 + log8 x = + Se a, a e a devem formar, nessa ordem, um progressão aritmétia: a = a + a log + x log = + + x log x. Como a = log x, tem-se: a + a = + + a a + a = a + + a = a = + = e a = + = e a + a + a = + + =. RESPOSTA: Alternativa b. QUESTÃO. Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale e) a) + b) + ) + d) + e) +

4 A área S do polígono DEFGHI é igual à soma: S ACDE + S ABC + S CDI S = + +. S = + sen0 = + RESPOSTA: Alternativa. + QUESTÃO. Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = /. Sabendo-se que sen (y x) = / o valor de tg y tg x é igual a, a) b) ) d) e) 8 x + y = x = y sen(y x) = sen(y + y) = sen(y ) = sen(y ) = sen(y) os os(y)sen = os(y) = os(y) = os y sen y = os y ( os y) = 6os y + = 0 6os y = os y = sen y = =. Sendo x = y senx = os y e osx = seny. sen y sen x tg y tg x = = = =. os y os x RESPOSTA: Alternativa a. QUESTÃO 6. A esfera ε, de entro 0 e raio r > O, é tangente ao plano α. O plano β é paralelo a α e ontém O. Nessas ondições, o volume da pirâmide que tem omo base um hexágono regular insrito na interseção de ε om β e, omo vértie, um ponto em α, é igual a a) r b) r 6 ) r 8 d) 7 r 6 e) r

5 A interseção de ε om β é um írulo máximo da esfera, portanto om entro no ponto 0 e raio r. O hexágono regular insrito nesse írulo tem lado r. A pirâmide que tem esse hexágono omo base e omo vértie um ponto P qualquer de α, tem omo altura r. O volume dessa pirâmide é então: base = 6 r V = S h = r RESPOSTA: Alternativa e. r QUESTÃO 7. Um dado úbio, não viiado, om faes numeradas de a 6, é lançado três vezes. Em ada lançamento, anota-se o número obtido na fae superior do dado, formando-se uma sequênia (a, b, ). Qual é a probabilidade de que b seja suessor de a ou que seja suessor de b? a) 7 b) 7 ) 7 0 d) 7 e) Em ada jogada pode oorrer qualquer um dos números de a 6. O espaço amostral E tem então 6³ = 6 elementos. As oorrênias em que b seja suessor de a, são: (a, a +, ), om a e 6. Total de possibilidades: 6 = 0. As oorrênias em que seja suessor de b, são: (a, b, b + ), om a 6 e b. Total de possibilidades: 6 = 0. As oorrênias em que b seja suessor de a, e seja suessor de b são: (a, a +, a + ), om a. Total de possibilidades: =. O total de oorrênias em que b seja suessor de a ou que seja suessor de b é então: = 6. Logo a probabilidade de que b seja suessor de a ou que seja suessor de b é: 6 : 8 7 =. 6 : 8 7 RESPOSTA: Alternativa.

6 xxxquestão 8. No plano artesiano, os pontos (0, ) e (, 0) pertenem à irunferênia C. Uma outra irunferênia, de entro em ( /, ), é tangente a C no ponto (0, ). Então, o raio de C vale a) 8 b) ) d) e) A reta que passa nos pontos A = (0, ) e B =(, 0) é: a(x 0) = y ax = y. Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto (, 0): a = a = x = y y = x +. O entro da irunferênia C pertene à reta perpendiular a reta y = x + e que passa pelo ponto médio do segmento AB : M = A equação dessa reta tem a forma:, y = x + b = + b b = = 6 =. y+ Sendo tangentes as duas irunferênias, os seus entros são alinhados e portanto pertenem à reta que passa pelos pontos C = ( /, ) e A = (0, ): a(x 0) = y ax = y. Nessa equação substituindo x e y pelas ordenadas do ponto C = a = a = a = x = y =. ( /,):O da C pertene ao mesmo tempo às retas ujas equações = e y = x + : sãoentro irunferênia y+ y = x + y = x + ponto O = (,). x + = x + x = x = e x + = 6x + 9 y = y+ Cálulo da medida do raio: r = OA = ( 0 ) + ( ) = + = RESPOSTA: Alternativa e.. O entro da irunferênia C é o

7 QUESTÃO 9. bx+ Seja f (x) = a +, em que a, b e são números reais. A imagem de f é a semirreta ], [ e o gráfio de f interepta os eixos oordenados nos pontos (, 0) e (0, /). Então, o produto ab vale a) b) ) 0 d) e) O gráfio de h(x) = bx + passa no ponto (0,) e tem omo imagem a semireta ]0, [, e sendo a semireta ], [ a imagem da função f (x) = + bx+ f (x) bx+ = a +, então a =, logo Como o gráfio de f interepta os eixos oordenados nos pontos (, 0) e (0, /), + + b+ = 0 = b+ RESPOSTA: Alternativa a. = b + = 0 = { a =, b =, = ab = = + = b = 0.