DATA DA APLICAÇÃO: 23/06/2017. Boa Prova!

Transcrição

1 ª OLIMPÍADA D MATMÁTIA DO DISTRITO FDRAL Primeira Fase - Nível (8º e 9º Anos) DATA DA APLIAÇÃO: /06/07 aro(a) aluno(a): a) A duração da prova é de horas. ) Você poderá, se necessário, solicitar papel para rascunho. c) Não é permitido o uso de calculadora, aparelhos eletrônicos ou quaisquer consultas a notas ou livros. d) ada prolema vale ponto. e) Ao terminar, entregue esta prova (com os rascunhos) e a folha de resposta ao (a) professor(a) aplicador(a). f) Lemre-se de que, ao participar da OMDF, o aluno se compromete a não divulgar conteúdo das questões até a pulicação do gaarito no site da OMDF. Questão. Se a = 85, = 6 e c = 67 oa Prova!, qual das seguintes desigualdades é verdadeira? a) a > > c. ) c > > a. c) > a > c. d) > c > a. e) c > a >. Oserve que a = 85 = 59, = 6 = 6 e c = 67 = 0, logo > a > c. Questão. Qual o valor de æ07 ö ç + çè ø -? 6 a) Alternativa A. ) 7 c) 5 d) e) æ07 ö æ07 + ö æö 6 + = = = ç è ø è ç 6 ø è ç 6 ø Questão. Amanda ganha mensalmente 6% a mais que ia. Se Amanda ganhar um aumento de 5% e ia continuar com o mesmo salário, quantos por cento Amanda ganhará a mais que ia? a) 5% ) % c) % d) 5% e) 5% Sejam a o salário de Amanda e o de ia. omo Amanda ganha 6% a mais que ia, temos a = ( + 6%) Þ a =,6 Se Amanda receer um aumento de 5%, seu salário será multiplicado por ( + 5%) =, 5. Assim, seu novo salário será Portanto, Amanda ganhará 5% a mais que ia., 5a =, 5,6 =, 5 Questão. Um arquiteto foi contratado para projetar a construção de um arco sore a ponte de sua cidade. Sae-se que a ponte (representada pelo segmento de reta A) possui 00 m de comprimento e que o arco a ser construído é representado pelo arco do círculo de centro, como descrito na figura aaixo. Dado que a distância do centro do círculo até a ponte é igual a 0 m (segmento D = 0 m), qual é a altura máxima do arco projetado a partir da ase da ponte? a) 5 m ) 8 m c) 0 m d) m e) 5 m ª Fase - de junho de 07 - Nível Página

2 A D O segmento de reta D representa a altura e a mediana do triângulo A. Dessa forma, AD é igual a 50 metros, metade de 00 metros, e o triângulo AD é retângulo (catetos AD = 50 e D = 0 ). Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AD, temos que o raio do círculo de centro é igual a 0 metros ( A = = = 0 metros). Dessa forma, D = - D = 0-0 = 0 metros Questão 5. Qual é o maior número primo que divide a soma ? a) ) 5 c) 7 d) e) Alternativa. Oserve que = 5 ( ) = 5 56 = 5. Questão 6. Um aquário completamente cheio de água pesa 8 kg. O mesmo aquário com metade da água pesa 6 kg. Quanto pesa o aquário sem água? a) kg ) kg c) 5 kg d) 6 kg e) 7 kg Alternativa. Oserve que metade da água pesa kg, logo o peso do aquário é igual 6 = kg. Questão 7. Ana queria comprar 8 livros, porém lhe faltavam R$ 7,00 então ela comprou 7 livros e ficou com R$ 8,00 de troco. Se todos os livros custam o mesmo valor, quanto custa cada livro? a) R$ 7,00 ) R$ 9,00 c) R$,00 d) R$,00 e) R$ 5,00 Alternativa. O preço de livro é igual ao R$ 8 reais de troco quando Ana comprou os 7 livros mais os R$ 7 que lhe faltavam para comprar 8 livros, ou seja, o preço de cada livro é igual a R$ 5,00. Questão 8. onsidere o retângulo AD e os pontos (ponto médio do segmento A ), F (ponto médio do segmento ), G (ponto médio do segmento D ) e H (ponto médio do segmento DA ), representados na figura aaixo. Qual é a área da parte somreada (cinza) da figura (composta pelos triângulos F, DFH e FG ) saendo que a área total do retângulo AD é 0? a) 6 ) 0 c) d) 5 e) 8 D G H F Alternativa. Seja A ª Fase - de junho de 07 - Nível Página A = e = h, ase e altura do retângulo AD. omo a área do retângulo é igual a 0, h = 0. omo,

3 F e G são pontos médios dos lados desse retângulo, as áreas dos triângulos F e FG valem h h =. omo H é 8 ponto médio de AD, a área do triângulo DFH é igual a h h h h h h =. Somando as áreas temos: + + =. 8 8 h omo h = 0, = 0. Questão 9. Há 5 pessoas em uma fila. ada uma delas é honesta, sempre dizendo a verdade ou é desonesta, sempre dizendo mentira. Todas elas, exceto a primeira pessoa da fila, dizem que a pessoa que está a sua frente é desonesta. A primeira pessoa da fila diz que todas as pessoas que estão atrás dela na fila são desonestas. Quantas pessoas desonestas há na fila? a) 0 ) c) d) e) 5 Se a primeira pessoa da fila fila é honesta, então a segunda é desonesta e dessa forma a terceira pessoa é mentirosa, o que é uma contradição. Se a primeira pessoa da fila é desonesta, a segunda é honesta e assim sucessivamente. Assim as pessoas nas posições pares são honestas e as pessoas nas posições ímpares são desonestas. Portanto há pessoas desonestas na fila. Questão 0. Sejam x e y números tais que x + y = 5 e xy =. Qual é o valor de x + y? a) 60 ) 65 c) 95 e) 00 e) 05 Temos que x + y = ( x + y) - xy( x + y) = 5-5 = 5-0 = 95. Questão. Qual é o valor do produto das soluções reais da equação ( x - a) =, sendo a e números reais com positivo? a) a - ) a + c) a - d) a + e) a - ( ) -a --a x - a = Þ x - a = Þx - a = ± Þ x = ou x =. O produto das raízes é, portanto, æ aöæ aö a - = ç è øè ç ø Questão. onsidere o trapézio AD da figura aaixo, onde os pontos e F são pontos médios dos lados AD e, respectivamente. onsidere tamém os pontos G (interseção de A e F ), H (interseção D e F ), I (interseção de A e D ) e J um ponto qualquer do segmento A, como mostrados na figura. Saendo que a razão entre os segmentos A e D é igual a ( A = ), qual é a razão entre área em destaque (composta pelos triângulos DI, D GHI e GHJ ) e a área total do trapézio AD? a) 0 ) 6 c) 5 d) e) ª Fase - de junho de 07 - Nível Página

4 D I G H F A J A Seja D = e A =, pela proporção definida no prolema =. omo os triângulos DA e DH são seme- D lhantes (F paralela à A e D), temos que A H = =, dado que é ponto médio de AD. Da mesma forma, os D triângulos AD e AG são semelhantes, então G = =. Assim, GH = H - G = - = = D. A área em h h h destaque é dada então por + + = ( h + h + h ), onde h, h e h são as alturas dos triângulos ID, IGH e JGH de ases, respectivamente. No entanto, h + h + h é igual à altura do trapézio h. Assim, a área total do trapézio é ( + ) h h = h e a área em destaque é ( h + h + h) =. Dividindo a segunda pela primeira, temos a razão. Questão. Um tauleiro de dimensões 07 é pintado em homenagem ao Distrito Federal. Inicialmente são feitas linhas tracejadas com a sigla DF e, em seguida, pintados de cinza alguns quadradinhos, seguindo o padrão da figura aaixo. Qual é a quantidade de quadradinhos pintados de cinza ao final do processo? a) 0 ) 0 c) 500 d) 50 e) 806 No retângulo x6 à esquerda, onde encontra-se pela primeira vez a sigla DF, há 5 quadrados cinzas. omo 07 = 6 6 +, há 6 retângulos completos com a sigla DF e mais uma coluna toda pintada de cinza, totalizando = 50 quadradinhos verdes. Questão. Os números inteiros de a 0 estão escritos na lousa de uma sala de aula. Qual é a menor quantidade de números que você deve apagar para oter dois conjuntos cujos produtos dos elementos são iguais? ª Fase - de junho de 07 - Nível Página

5 a) ) c) d) e) 5 Alternativa A. asta olhar para a decomposição em fatores primos de 8 0 = 5 7, se apagarmos da lousa o número 7 então podemos separar os números restantes em dois suconjuntos {,,,, 5, 6} e {8, 9, 0}. Questão 5. Qual é o conjunto de valores de m para os quais o produto x y das soluções ( x, y ) do sistema aaixo vale 5? ìï x - 7y = m ï í ïx + y = m ïî a) {- 5, 5} ) {- 9, 9} c) {5, 9} d) {5} e) {- 9, 5} Alternativa. ì x 7y m ì - = x - 7y = m ï m 5m í Þï í Þ 9y = m Þ y = Þ x = x + y = m x + y = m ïî ïî O produto das soluções é 5m xy = = 5 Þ m =± 9. 9 Questão 6. Na figura, os pontos,, D e pertencem a circunferência de centro A. O ângulo A ˆ tem medida igual a 0º e o segmento corresponde ao diâmetro da circunferência. Saendo que o arco D tem medida igual à do arco D, qual é a medida do ângulo AD ˆ? a) 5º ) 0º c) 0º d) 5º e) 60º D 0º A Alternativa. Saendo que A = 0º, que o segmento é diâmetro e que o ponto D divide o arco pela metade, temos que os arcos D = D = = 60º. Dessa forma, DA = 0º. omo o triângulo DA é isósceles ( AD = A = raio ), temos que AD = AD = 0º. Questão 7. Um aplicativo de celular permite a criação de grupos de a participantes, sendo o criador do grupo, necessariamente, um dos participantes. José decide criar diversos grupos, adicionando cada amigo em apenas um grupo, de tal forma que não haja grupos com a mesma quantidade de amigos. Para tal, ele lista os números naturais de a em papéis distintos, coloca-os em uma caixa e sorteia papel a papel, sem reposição, até que seja sorteado um papel com um número primo. Nesse momento o sorteio é encerrado. Para cada papel, incluindo o de número primo, José criará um grupo com aquele número de participantes. Qual é o menor número de amigos que José deverá ter, para que seja possível garantir que não faltarão amigos na criação dos grupos? a) ) 8 c) 77 d) 78 e) 57 ª Fase - de junho de 07 - Nível Página 5

6 Há números primos entre e,, 5, 7,,, 7, 9,, 9 e que, somados, totalizam 60. omo a soma de todos os naturais de a é igual a 57, então a soma de todos os números compostos de a é igual a 67 e existem 0 grupos cujo número de participantes é um número composto, todos eles incluindo José. Pelo PP, para que possamos garantir que José criará um ao menos um grupo com um número primo de participantes, ele deverá ter 7 amigos (caso ele retire, inicialmente, todos os papéis com números compostos) + 0 amigos (caso o primeiro papel primo que ele retire seja o ) = 77 amigos. Questão 8. onsidere N um inteiro positivo com exatamente dois divisores primos. Se N tem 5 divisores naturais, quantos divisores naturais tem N? a) 5 ) 50 c) 6 d) 70 e) 75 a a a a Seja n = p p o inteiro temos que n = p p e segue que (a + )(a + ) = 5 = 5 7 Þa = e a = Þ n = p p Portanto n tem (6 + )(9 + ) = 70 divisores naturais. 6 9 Questão 9. Seja x = (07 + ) (07 + ) (07 + )... (070 + ), em que os expoentes de 07 nesse produto são potências de. Qual das equações aaixo tem x como raiz? a) 07x + 0x = 0 ) 06x - 08x = 0 c) x x (06-07 ) = 0 d) x x (07 - ) = 0 e) x x 096 Alternativa ( - 07 ) = 0 x = (07 ) (07 ) (07 )... (070 ) - = (07 ) (07 ) (07 )... (07 0 ) = (07 ) (07 ) (07 )... (070 ) (07 ) (07 )... (07 = = - 06 (07 08 ) ) = (07 - ) (07 + ) 06 06x + = 07 Þ (06x + ) = 07 Þ 06 x + 0 x + ( - 07 ) = 0. Logo, Questão 0. onsidere o triângulo A de lados A e A de medidas iguais a 0 e 5, respectivamente. O ponto pertence à circunferência circunscrita ao triângulo A e a medida do segmento A é igual a 0. Dado o ponto D no segmento tal que o ângulo AD ˆ seja igual ao ângulo A ˆ, qual é a medida do segmento AD? a) 5 ) 6 c) 8 d) 9 e) 0 ª Fase - de junho de 07 - Nível Página 6

7 A D Alternativa A. Fazendo a construção do segmento de reta, podemos ver que os ângulos A e A são iguais à metade do arco A do círculo. Dessa forma, os triângulos AD e A são semelhantes já que possuem ângulos iguais. Logo, A = A, A AD 0 5 ou seja, =, logo AD = 5. 0 AD FIM DA PROVA! ª Fase - de junho de 07 - Nível Página 7