Prova da segunda fase

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1 Prova da segunda fase Instruções: 07/02/2004 O tempo de duração da prova é de 3 horas. A prova pode ser resolvida a lápis ou a tinta. É permitido o uso de calculadora. NOME: CÓDIGO: Pontuação: primeira questão segunda questão terceira questão quarta questão quinta questão TOTAL BOA PROVA!!! Organização: Depto. Matemática do Ibilce - Unesp São José de Rio Preto Canal Educacional do Interior Diretoria Regional de Ensino de São José de Rio Preto Secretaria Municipal de Educação de São José de Rio Preto

2 QUESTÃO 01 a) No estacionamento de um supermercado há automóveis e bicicletas num total de 27 veículos e 84 rodas. Determine o número de automóveis e o número de bicicletas nesse estacionamento. Justifique sua resposta. b) Leia com atenção a definição abaixo: Dois sistemas lineares (S 1 ) e (S 2 ) são equivalentes e denota-se (S 1 ) (S 2 ), se toda solução de (S 1 ) é solução de (S 2 ) e reciprocamente. Determine c e d de modo que sejam equivalentes os sistemas: R S x y = 0 e T x + y = 2 R S T c x+ dy = 1 d x - c y = 1 FOLHA 01

3 QUESTÃO 02 Leia com atenção as três asserções abaixo: i) A área de um triângulo pode ser obtida por A = a.b.c, sendo a, b e c as medidas dos lados do triângulos 4.R e R a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. A C b a R c B A = a. b. c 4.R ii) Um triângulo de lados a, b e c pode ser classificado quantos aos lados em: escaleno (três lados distintos), isósceles (dois lados congruentes) ou equilátero (três lados congruentes). iii) Um triângulo de lados a, b e c pode ser classificado quantos aos ângulos em: acutângulo (três ângulos entre zero e noventa graus), retângulo (um ângulo de noventa graus) ou obtusângulo (um ângulo entre noventa e cento e oitenta graus). Sabendo que a é o maior lado, temos que: Se a 2 < b 2 + c 2, então o triângulo é acutângulo; Se a 2 = b 2 + c 2, então o triângulo é retângulo; Se a 2 > b 2 + c 2, então o triângulo é obtusângulo. Sabendo que a área de um triângulo de vértices ABC, como na figura acima, é igual a 28m 2, o raio de sua circunferência circunscrita é igual a 5m e dois de seus lados são iguais a 8m e 10m, então: a) determine o terceiro lado do triângulo; b) classifique o triângulo quanto aos lados e aos ângulos. c) No ABC construímos a mediana AM, obtendo dois triângulos, AMC e AMB. No AMB construímos uma nova mediana AN, obtendo dois triângulos, ANM e ANB. No ANB construímos uma nova mediana AT, obtendo dois triângulos, ATB e ATN. Determine a razão entre as áreas dos ATN e ABC, nessa ordem. (observação: = triângulo) FOLHA 02

4 QUESTÃO 03 a) Leia com atenção a definição abaixo: Números perfeitos são aqueles cuja soma dos divisores naturais, menores que o próprio número, é igual a ele. Por exemplo, 6 é um número perfeito, pois seus divisores naturais menores que 6 (1, 2 e 3) somam 6 ( = 6). Verifique se os números 20, 28, 200 e 496 são números perfeitos. Justifique sua resposta. b) A descoberta dos números perfeitos interessou a muitos matemáticos, de épocas diferentes. O próprio Euclides (século III a. C.) elaborou uma regra para obtenção de números perfeitos. Ele calculava as somas parciais da série formada pelas potências de 2: ; se a soma obtida fosse um número primo, multiplicava-a pela última parcela, obtendo um número perfeito, por exemplo: = 3. Como 3 é primo, ele é multiplicado por 2 (última parcela), obtendo 6, que é o primeiro número perfeito = 7. Como 7 é primo, ele é multiplicado por 4 (última parcela), obtendo 28, que é o segundo número perfeito. Com o desenvolvimento simbólico da Álgebra, essa regra de Euclides foi generalizada, ou seja, um número N será perfeito se for do tipo: N = (2 n 1). 2 n 1 (*) Desde que o fator (2 n 1) seja um número primo e n um número natural. Por exemplo, se n = 3: 1) Verificando se (2 n 1) é primo para n = 3. (2 n 1) = (2 3 1) (2 n 1) = 7 Observe que 7 é um número primo. 2) Voltando a fórmula (*), temos que: N = N = N = 28. Portanto, 28 é um número perfeito. Aplicando a fórmula acima, encontre mais um número perfeito. FOLHA 03

5 QUESTÃO 04 Tabela 1 Sexo Altura(m) Massa (kg) 01 M 1, M 1, M 1, M 1, M 1,75 61 Tabela 2 Sexo Altura(m) Massa (kg) 06 F 1, F 1, F 1, F 1, F 1,56 41 Índice de Massa Corporal (IMC) IMC = M H 2 Tabela 3 Índice Classificação < 16 magreza de terceiro grau 16 a 16,99 magreza de segundo grau 17 a 18,99 magreza de primeiro grau 19 a 24,99 Normal 25 a 29,99 sobre peso de primeiro grau 30 a 39,99 sobre peso de segundo grau 40 sobre peso de terceiro grau (obsidade mórbida) As tabelas 1 e 2 representam os dados de 10 alunos que participaram da Primeira Semana Olímpica de São José do Rio Preto, em janeiro de 2004, no IBILCE - Unesp. A tabela 1 representa dados de cinco homens e a tabela 2, de cinco mulheres. A tabela 3, traz a classificação de uma pessoa segundo o Índice de Massa Corporal, dado acima. Em todos os cálculos seguintes considere apenas duas casas decimais, por exemplo 15,87956 = 15,87. a) Complete a tabela abaixo, determinando o IMC dos dez alunos e classificando-os segundo a tabela 3. (Atenção: Não é necessário mostrar os cálculos) b) Determine o índice médio das cinco mulheres e o dos cinco homens. c) Os homens ou as mulheres constituem um grupo mais regular? Justifique sua resposta. d) Segundo informações contidas no site o Índice de Massa Corporal ideal para os homens e igual a 22 e para as mulheres, 20,8. Determine qual a massa ideal para o Aluno 05. a) Aluno IMC Classificação (Fonte: FOLHA 04

6 QUESTÃO 05 a) Para determinar a distância que a separa de um edifício, uma pessoa coloca um lápis, verticalmente, diante de um de seus olhos e nota que o mesmo encobre 10 andares do edifício. Afastando o lápis 30 cm, mas conservando o vertical, a pessoa nota que o lápis agora encobre apenas 6 andares. O lápis tem 20 cm de comprimento e cada andar 3 m de altura. Qual é a distância desejada? Justifique sua resposta. b) Sabendo que (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 e usando o Teorema de Pitágoras resolva o problema a seguir: A figura abaixo ilustra a fachada de um galpão. A curva que representa seu teto é um arco de circunferência. Considerando que o maior vão entre a travessa AB e o teto equivale a 6m; que a altura AD do galpão é também de 6m e que a largura DC mede 24m, obtenha o raio da circunferência cujo arco descreve o teto. Justifique sua resposta. N A M B D C FOLHA 05