Semelhança de triângulos

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Juliana Branco Stachinski
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1 Semelhança de triângulos

5 As três proposições a seguir estabelecem as condições suficientes usuais para que dois triângulos sejam semelhantes. Por tal razão, as mesmas são conhecidas como os casos de semelhança de triângulos usuais.

14 O item (c) da proposição acima é o famoso teorema de Pitágoras.

15 O exemplo a seguir utiliza o item (d) da proposição para resolver geometricamente uma equação do segundo grau de raízes positivas.

17 Para terminar esta seção, estabelecemos a recíproca do teorema de Pitágoras.

21 Relações métricas em um triângulo qualquer

22 Dado um ângulo agudo XOY = toma-se um ponto P qualquer do lado OY e traça-se a perpendicular PA ao lado OX.

26 A Lei dos Cossenos A Lei dos Cossenos é uma relação muito útil que envolve os três lados do triângulo e o cosseno de um dos ângulos. A demonstração é bastante simples. Escolhemos inicialmente um dos ângulos do triângulo ABC. Seja A o ângulo escolhido. Caso A < 90 o Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Imaginando que o triângulo ABC não seja retângulo em C, a figura pode ser uma das seguintes:

28 Sejam AB = c, AC = b e BC = a. Como A < 90 o então D está na semirreta AC. Seja AD = x. Assim DC = b- x. No triângulo BDC o teorema de Pitágoras nos dá: a 2 = h 2 + b-x 2 = h 2 + b 2 + x 2-2bx. No triângulo BDA temos, pelo mesmo teorema, h 2 =x 2 -b 2. Substituindo ficamos com a 2 = c 2 - x 2 + b 2 + x 2-2bx a 2 = b 2 +c 2-2bx Entretanto, em qualquer uma das figuras tem-se x/c = cosa, ou seja, x = c cosa. Substituindo esse valor de x na última relação encontramos a 2 = b 2 +c 2-2bc cosa

29 Caso A > 90 o Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Neste caso, D está na semirreta oposta à semirreta AC como na figura a seguir.

30 Como no caso anterior seja AD = x e seja = A o ângulo externo de vértice A do triângulo. A aplicação do teorema de Pitágoras nos triângulos BDC e BDA fornecem as relações: a 2 = h 2 + b+x 2 = h 2 + b 2 + x 2 + 2bx, h 2 = c 2 -x 2 A substituição de h 2 na primeira relação dá a 2 = b 2 + c 2 + 2bx. Porém, neste caso, cos = x/c e, consequentemente, cosa =-x/c, ou seja, x =-c cosa. Substituindo na relação anterior ficamos com a 2 = b 2 + c 2 + 2b(-c cosa), ou seja, a 2 = b 2 +c 2-2bc cosa que coincide exatamente com a relação do caso anterior.

31 Esta é a Lei do Cosseno para o ângulo A (ou para o lado a). E o que ocorre se o ângulo A for reto? A relação a 2 = b 2 +c 2-2bc cosa continua válida porque, neste caso, cosa = 0 e o que resta é a 2 = b 2 +c 2, o teorema de Pitágoras. As outras versões desta relação são obtidas simplesmente trocando convenientemente os nomes das letras que representam os lados e os ângulos do triângulo. Elas são: b 2 = a 2 +c 2-2ac cosb c 2 = a 2 +b 2-2ab cosc

32 Determine o maior ângulo do triângulo cujos lados medem 5, 6 e 7. O maior ângulo do triângulo é oposto ao maior lado. Temos então a situação da figura a seguir: O ângulo que queremos calcular é oposto ao lado que mede 7. Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo temos: 7 2 = cos As contas fornecem cos = 1/5 e portanto = 78,5 o.

33 Determinação da natureza de um triângulo Um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo se seu maior ângulo for, respectivamente, agudo, reto ou obtuso. Decorre imediatamente da Lei dos Cossenos no triângulo ABC as seguintes e úteis relações: A < 90 o a 2 < b 2 + c 2 A = 90 o a 2 = b 2 + c 2 A > 90 o a 2 > b 2 + c 2 Em um triângulo de lados a, b e c, se a é o maior lado, a comparação de a 2 com b 2 + c 2 fornece a natureza desse triângulo.

34 A Lei dos Senos A Lei dos Senos resolverá, principalmente, o caso de obter outros elementos de um triângulo onde os ângulos são conhecidos e apenas um lado é conhecido. A Lei dos Senos possui também forte relacionamento com a circunferência circunscrita ao triângulo, como veremos a seguir. A figura a seguir mostra o triângulo ABC, com lados a, b e c, inscrito em uma circunferência de raio R.

36 Como de hábito, o ângulo BAC do triângulo será representado simplesmente por A. Traçamos o diâmetro BD. Assim, o ângulo BCD é reto e os ângulos BAC e BDC são iguais, pois subtendem o mesmo arco BC. O seno do ângulo BDC é igual a Então, ou seja,

37 Esta relação mostra que a razão entre um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita e, naturalmente, essa relação vale qualquer que seja o lado escolhido. A Lei dos Senos no triângulo ABC é escrita assim: onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

38 O teorema de Menelaus O teorema de Menelaus é uma relação bem diferente das anteriores. Ele não envolve ângulo algum, mas é uma especialista em calcular razões. O enunciado do teorema é o seguinte: Dado um triângulo ABC uma reta transversal corta as retas AB, BC, e CA nos pontos L, M e N, respectivamente. Então,

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