SENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa, e assim o representamos: sen = e sen =.

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1 IFSP - EAD_- TRIGONOMETRIA RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO: No capítulo anterior foram aordadas as relações métricas no triângulo retângulo, e você deve ter perceido que em nenhuma delas havia referência aos valores dos ângulos internos. Por este motivo foram estaelecidos alguns conceitos que envolvem tais elementos, aos quais daremos os nomes de Seno, Cosseno e Tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo. ILUSTRAÇÃO: Seja o triângulo BAC retângulo no vértice A, conforme a figura: DEFINIÇÃO Para qualquer ângulo agudo deste triângulo, definimos: SENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a c medida da hipotenusa, e assim o representamos: sen = e sen =. a a

2 COSSENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto adjacente ao c ângulo e a da hipotenusa, e o representamos do seguinte modo: cos e cos. a a TANGENTE do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo c pela do cateto adjacente a ele, e a representamos assim: tg e tg. c PROPRIEDADE DOS ÂNGULOS COMPLEMENTARES: Dois ângulos são complementares se sua soma for um ângulo reto: Se e são ângulos agudos do triângulo retângulo, então sua soma será 90º, logo eles são complementares, e, de acordo com as definições de seno, cosseno e tangente, você deve ter perceido que: sen = cos, sen = cos e que tg =. tg Podemos então afirmar que valem as propriedades: sen = cos(90º- ), cos = sen(90º- ) e tg = tg(90º ) EXEMPLO: Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm. Otenha as razões trigonométricas de seus ângulos agudos. Resolução: Se = 6 cm e c = 8 cm, então o teorema de Pitágoras ficará: a 6 8. Então a 00 então a = 0 cm. e a = 00. Como a 0, por ser medida de um segmento, Logo as razões trigonométricas pedidas serão: 6 c 8 4 sen = cos, cos sen, a 0 a tg. Como tg, então tg c 8 4 tg

3 EXERCÍCIOS : ) Otenha as razões trigonométricas dos ângulos agudos dos triângulos retângulos onde : a) a = 8cm, = 6cm 7 7 (Resp.: sen cos / 4, cos sen 7 / 4, tg, tg = ) 7 ) a =, c = 9cm (Resp.:sen cos /, cos sen, tg, tg ) c) h = 4cm, a = 0cm (Resp.: sen cos, cos sen, tg, tg / ) d) m = cm, n = 6cm (Resp.: sen cos, cos sen /, tg, tg ) ) Calcule os valores de seno e cosseno dos ângulos I,II, III e IV das figuras : a) )

4 Resp::a) 6 ( seni cos I, senii,cos II, seniii /, cos III, seniv,cos IV ) Resp ) ( seni,cos I, senii,cos II, seniii cos III, seniv,cos IV ) ÂNGULOS NOTÁVEIS : Os ângulos de 0º, 4º e 60º são chamados ângulos notáveis pois, assim como os produtos notáveis da Álgera, são muito utilizados em cálculos trigonométricos, por serem divisores exatos do ângulo de 80º, e questões envolvendo estes ângulos são comuns na Matemática e na Física. Portanto é importante conhecer os valores de suas razões trigonométricas. Vejamos : Ângulo de 60º: Este ângulo, como você já sae, é o ângulo interno do triângulo equilátero de Lado. A figura nos mostra o triângulo equilátero BCD e sua altura h, que o divide em triângulos retângulos CAB e DAB congruentes. 4

5 Logo, CA =, e teremos, por Pitágoras: h ( ) h 4 h 4 h 4, como h 0, então h = de 60º :, e podemos calcular as razões trigonométricas sen 60º = h. cos 60º =. tg 60º = h =. Ângulo de 0º. Como 0º e 60º são ângulos complementares, pois sua soma é um ângulo reto, então 0º = 90º - 60º, e podemos concluir que : sen 0º = cos (90º -0º) = cos 60º = cos 0º = sen (90º - 0º) = sen 60º = tg 0º = tg(90º 0º ) = tg60º. Ângulo de 4º Se um dos ângulos agudos do triângulo retângulo mede 4º, então o outro terá a mesma medida, pois a soma de amos é 90º, e tal triângulo será isósceles. Ou seja, seus catetos serão iguais e de medida. O comprimento de sua hipotenusa será dado por Pitágoras :

6 a a a, como a 0,então a =, e assim teremos : sen4º = a. cos4º =sen(90º-4º)=sen4º = tg 4º = Seria conveniente memorizar os valores das razões trigonométricas que acaamos de oter. A taela a seguir engloa os valores que acaamos de deduzir para essas razões: Ângulo seno cosseno Tangente 0º 4º 60º EXERCÍCIOS: ) Calcule o valor das expressões: a) E = cos 60º sen0º tg 4º Resp.: ½ ) Y = tg 0º tg0º Resp.: 6 6

7 c) E = sen60ºcos60º - Resp.: - sen0º cos 60º d) E= cos 0º tg 4º Resp.: 4 9 e) E. sen70º.cos 0º.cos 0º sen40º Resp.: ) Ache os valores desconhecidos nas figuras : a) 7

8 ) Resp.: a) x = 8, y 6 6 :) x=, y 4,7, z,77, w 7, CONCEITUAÇÃO : Em um triângulo qualquer, os valores do seno e do cosseno de seus ângulos internos oedecem às propriedades que veremos a seguir, conhecidas como Lei dos Cossenos e Lei dos Senos : ) LEI DOS SENOS : ) LEI DOS COSSENOS : a a c c c.cos r sen sen sen onde é o ângulo oposto ao lado a. Logo, podemos onde r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. ter: c a c accos e a acos 8

9 DEMONSTRAÇÕES : ) LEI DOS COSSENOS : Seja o triângulo cuja altura h é perpendicular ao lado c, que fica por ela dividido em duas partes. Uma destas partes será simolizada por m, e assim, se aplicarmos o Teorema de Pitágoras aos triângulos AHC e BHC, retângulos em H, teremos : h m e a h ( c m) h c cm m Se sustituirmos convenientemente h e m por na ª igualdade, e nos lemrarmos de que, m de acordo com a definição de cosseno, cos, logo m = cos, então fica verdadeira a seguinte igualdade : a c ccos (cad.) As demais igualdades desta lei são otidas pela rotação dos lados e dos ângulos. ) LEI DOS SENOS : Seja o triângulo ABC qualquer e a circunferência que o circunscreve. Se traçarmos o diâmetro BD, ficará em D determinado o ângulo inscrito no arco determina- do na circunferência pelos pontos B e C, assim como o ângulo. Logo, e BCD é um triângulo retân- gulo, por estar inscrito em uma semicircunferência. a a Logo, sen, ou. r. Como, r sen a poderemos escrever r. Podemos demonstrar a mesma igualdade para os outros sen a c lados e respectivos ângulos opostos de modo análogo, e teremos : r. sen sen sen cqd 9

10 TABELA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS : Apresentamos a seguir uma taela que associa a cada ângulo entre 0º e 90º os valores de seus seno, cosseno e tangente, com aproximação até a 4ª casa após a vírgula (décimomilésimos) 0

11 De acordo com esta taela podemos ver que, por exemplo, sen º = 0,0, cos 9º = 0,0 e que tg 6º = 0,4877, tg 64º =,00, e se multiplicarmos uma pela outra oteremos tg 6º. tg 64º = 0,4877.,00 = 0,9999 que é aproximadamente igual a, pois 6º e 64º são ângulos complementares. PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS SUPLEMENTARES : Dois ângulos cuja soma é um ângulo raso são chamados suplementares. Ou seja, se e são suplementares, então 80 º ou que 80 º. 80º, e poderemos dizer que Emora ainda não possamos demonstrar, afirmamos que : sen ( 80º- ) = sen cos (80º -) cos, e tg(80º-) tg Estas propriedades serão demonstradas oportunamente. APLICAÇÃO : Se usarmos a taela das funções trigonométricas e as propriedades que acaamos de enunciar, poderemos calcular funções de ângulos que não constam dele Exemplos : a) sen 4º = sen (80º-8º) = sen 8º = 0,666 ) cos º = cos ( 80º-69º) = -cos 69º = -0,87 c) tg 7º = tg (80º - 7º) = -tg 7º = -0,78 EXERCICIOS : ) Otenha o valor das expressões : a) E = senº - 4cos98º + tg 79º (Resp-.:,77)

12 ) E = sen48º cos 9º tg44º (Resp.: -0,4067) ) Calcule, usando os ângulos notáveis, os valores a seguir, conforme o exemplo : a) senº = sen(80º-4º) = sen4º = ) cosº f) sen0º c) tgº g) cos 0º d) sen 0º h) tg 0º e) tg 0º Resp.: ( ) ; c) - ; d) ; e) ; f) ; g) - ; h) - ). EXEMPLOS : Otenha os lados desconhecidos dos triângulos : ) O ângulo desconhecido, que chamaremos de, é tal que sua soma com os outros ângulos internos do triângulo é 80º. Logo, = 0º. Se utilizarmos a Lei dos Senos, teremos: sen0º Então : x y x y Logo: sen4º sen0º sen7º sen4º sen0º x y. 0,969 0, , x y. 0,969 Destas proporções oteremos os seguintes valores aproximados ; x = 8,78cm e y =6,cm

13 ) Podemos agora utilizar a Lei dos Cossenos: x 0.0..cos 60º x , x 0 7 x= 7,como x R, então x= 7 ) Aqui tamém usaremos a Lei dos Cossenos : 4 x.. x.cos 60 6 = 4 + x -4.x.0, x x-=0 4 raízes são x =+ e x = - que é uma equação de º grau na variável x, cujas R. Logo, x = + 4) Novamente a Lei dos Cossenos : x cos 0º x 6 0.( cos 60º ) x 6 0.( ) EXERCÍCIOS : x 96 4 Como x é positivo, então x = 4 ) Otenha os valores de x, y e z nas figuras : a) ) Resp. a): (x=4, y 4, z 8) Resp. ): (x 9,78cm, y 4,7cm, z,7cm)

14 ) Um homem de,90m de altura oserva o topo de um prédio com um ângulo de elevação de 4. Se ele se aproximar 0m do prédio, esse ângulo passara a ser de 60. Calcule a altura do prédio. (Resp.: 8,49m) ) Uma pessoa de,70m de altura e à distância de 0m de uma árvore, oserva um falcão no seu topo, so ângulo de elevação de 4. Por sua vez, o falcão oserva uma lere no chão so ângulo de com a horizontal. Calcule a distância da lere à árvore. (Resp.: m) 4) Duas estradas retas se cruzam formando ângulo de 6. Os móveis A e B partem simultaneamente do cruzamento das estradas, cada um deles em uma delas, nos sentidos que formam o maior ângulo assim definido, amos com velocidades iguais e constantes. Passados 0 segundos da largada, qual será a distância entre eles em função da velocidade comum? (Resp: d 7v) ) A escada de pintor ao lado tem 8 degraus,,6m de comprimento e o ângulo entre suas pernas é 8. Se as distâncias entre os degraus são iguais à do mais aixo ao chão e à do mais alto ao vértice, ache a altura do terceiro degrau. (Resp.: h 9cm) 4

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