Electromagnetismo e Óptica 1º Semestre 2º Exame 29/01/ :00h

Transcrição

1 Lieniatura em Engenharia e Arquitetura Naval Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespaial Eletromagnetismo e Óptia º Semestre º Exame 9//3 5:h Duração do exame: :3h Leia o enuniado om atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova Problema Um ondensador plano, sujeito a uma diferença de potenial onstante (V) entre as plaas, om as dimensões indiadas na figura (altura h, largura a e distânia entre as plaas d) é utilizado para aspirar um líquido dielétrio de permtividade e massa volúmia a) Determine a expressão da apaidade do ondensador quando o líquido se enontra em equilíbrio a uma altura z, omo indiado na figura, e a energia eletrostátia do mesmo nessas ondições (em função dos dados referidos no enuniado). b) Determine a expressão da força eletrostátia que se exere sobre o dielétrio, indiando a respetiva direção e sentido e a altura z orrespondente à posição de equilíbrio da superfíie do líquido. Problema a) i) Determine a expressão da intensidade do ampo magnétio no interior e no exterior do solenoide toroidal representado na figura, em função da intensidade de orrente I, do número de espiras N e da distânia r, ao ponto entral do toro, O. Faça um esboço das respetivas linhas de ampo. Sugestão: utilize a lei de Ampère tendo em onta a simetria do problema e justifique as aproximações eventualmente utilizadas ii) Apresente uma expressão aproximada para o oefiiente de auto-indução L do solenóide toroidal em função dos raios a e b e do número de espiras, onsiderando o aso a >> b: ondição em que o ampo no interior do solenóide tem intensidade aproximadamente uniforme. b) Determine (em função dos dados do problema) a expressão do valor máximo possível da omponente da veloidade no plano transversal do toro (plano que ontém uma espira) de uma partíula de massa m e arga elétria q que permite que esta partíula tenha uma trajetória totalmente onfinada ao interior do solenoide. Problema 3 Uma barra ondutora de massa m desliza (om atrito meânio desprezável) sobre dois ondutores filiformes paralelos, separados por uma distânia d, inlinados de um ângulo, omo indiado na figura, formando um iruito elétrio fehado de resistênia onstante R (as

2 resistênias dos fios e da barra são desprezáveis). Este sistema está sujeito a um ampo magnétio vertial de módulo B. a) i) Determine a expressão do fluxo do ampo magnétio através do iruito quando a barra se enontra numa posição x omo indiado na figura; ii) Deduza as expressões da orrente induzida no iruito e da potênia dissipada no mesmo, por efeito de Joule, em função da veloidade da barra quando esta desliza sujeita ao seu próprio peso. b) i) Mostre que, ao air, a barra fia sujeita a uma força de travagem segundo a direção do plano inlinado de módulo dado pela expressão: ii) Verifique que a potênia meânia assoiada à travagem da barra pelo efeito desta força orresponde à potênia dissipada por efeito de Joule determinada na alínea a); iii).mostre que a veloidade limite da barra é dada por Problema 4 onsidere o iruito representado na figura: a) Mostre que no aso em que a força eletromotriz = (regime livre), a função I(t) que representa a orrente elétria indiada no iruito da figura obedee à seguinte equação diferenial: d I L L. I Mostre que representa uma solução para a orrente elétria no iruito em regime livre e determine o valor da frequênia f se os elementos do iruito tiverem os seguintes valores: L = mh, L = 3mH e = F. b) Determine o valor do parâmetro sabendo que a energia máxima aumulada instantaneamente no onjunto das duas bobinas do iruito é 5 J. Esreva a expressão para a tensão do ondensador nestas ondições e mostre que a energia total do iruito (energia elétria no ondensador mais energia magnétia nas bobinas é independente do tempo). Problema 5 Suponha que pretendia determinar a largura de uma fenda ujas dimensões não permitiam a respetiva medição utilizando métodos onvenionais. Em alternativa, tendo feito inidir sobre a fenda um feixe de luz om um omprimento de onda de 633 nm (no ar), obteve a seguinte figura de difração sobre um alvo oloado do lado oposta da fenda a,8 m de distânia da mesma. a) Determine a largura da fenda sabendo que a distânia y indiada na figura é de 4 m. b) O que é que poderia onluir sobre a largura da fenda se esta estivesse submersa em água (índie de refração,33) e tivesse obtido o resultado apresentado na figura, utilizando a mesma fonte de luz, estando o alvo à mesma distânia (igualmente submerso).

3 Soluções Problema a) (simetria ondensador plano ampo uniforme) As ondições do problema equivalem a dois ondensadores em paralelo: b) Problema a) No interior do solenoide (linhas de ampo irulares) No exterior do solenoide

4 b) A omponente de veloidade máxima no plano da espira orresponde ao raio máximo possível da omponente irular de uma trajetória no interior do solenoide. Logo: Problema 3 a) b) Veloidade limite Problema 4 Verifiação da solução:

5 b) Problema 5 a) Mínimos de difração por uma fenda (a = largura da fenda): Mínimos de ª ordem (m = ) : b)

6 E q n i rˆ i 4 i r i V A V B E dr AB J N. q. v J E I S J n ds R ; A Q V I dq V RI P VI LI di V L L Z L i.. L V I. Z i.. U V U L LI Idx F q. E v B F m I. d B v B e I e r a 4 r N r D B B D E H J t t S D n ds D E P P E e D E E Q int S H B n ds B M H B M d E d B H d I m m int d D 3. m 8 ms N m 7-4 NA 9 q e.69 m 3 e 9. kg R L L I I e t os t F F x Qte x V te U x U x f T vt T k n m n sin n sin m sin n tan n B n n d sin m d sin m asin m