Correntes de Foucault: Aspectos Básicos.

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1 Universidade de São Paulo Bibliotea Digital da Produção Inteletual - BDPI Departamento de Físia Apliada - IF/FAP Artigos e Materiais de Revistas Científias - IF/FAP Correntes de Fouault: Aspetos Básios. Publiação do Instituto de Físia, São Paulo, n.1681, p.1-16, Downloaded from: Bibliotea Digital da Produção Inteletual - BDPI, Universidade de São Paulo

2 Correntes de Fouault: Aspetos Básios Instituto de Físia, Universidade de São Paulo, CP , São Paulo, SP, Brasil M.Cattani e A.Vannui Publiação IF /1/013

3 Correntes de Fouault: Aspetos Básios M.Cattani (1) e A.Vannui () Instituto de Físia, Universidade de São Paulo, , São Paulo, SP, Brasil (1) mattani@if.usp.br () vannui@if.usp.br/ Resumo Este artigo foi esrito para mostrar aos alunos de graduação em Físia e Engenharia omo estimar as orrentes de Fouault. Iniialmente fazemos uma breve análise das ondições de ontorno entre dois meios om diferentes parâmetros ε, μ e σ, que devem ser obedeidas tanto por ampos eletromagnétios estátios quanto dependentes do tempo. Em seguida, usando as equações de Maxwell alulamos as orrentes de Fouault, ou eddy urrents, que surgem em um ondutor plano metálio (paramagnétio ou diamagnétio) quando sobre ele é apliado um ampo magnétio Bt () variável no tempo, gerado por um solenoide longo de seção reta irular. Palavras-have: Fouault, Eddy Current, Freio Magnétio, Levitação Magnétia Abstrat This paper was written to show to undergraduate students of Physis and Engineering how to estimate the Fouault or eddy urrents, in ondutors. We begin with a brief disussion about the boundary onditions at the interfae of two different medias with respetive parameters ε, μ and σ, whih must be satisfied by both stati and time dependent eletromagneti fields. Afterwards, using the Maxwell equations we alulate the eddy urrents whih are indued in a plane metalli ondutor (either paramagneti or diamagneti) when a time variable magneti field Bt () produed by a long solenoid of irular ross setion is applied upon it. Keywords: Fouault, Eddy Current, Magneti Brake, Magneti Levitation. I - Introdução. Um tópio onstantemente abordado em ursos de eletromagnetismo é o movimento de argas no váuo e em ondutores sob a ação de ampos elétrio Et () e magnétio Bt. () 1,6 No presente trabalho pretendemos mostrar omo reagem as argas livres existentes em um plano ondutor, em resposta à atuação de um ampo magnétio que varia no tempo. Na Seção II estudamos as ondições de ontorno que devem ser obedeidas pelos ampos eletromagnétios, dependentes do tempo e estátios, na 1

4 interfae entre dois meios om diferentes parâmetros ε, μ e σ. Na Seção III alulamos, usando as equações de Maxwell, as orrentes de Fouault que são riadas em um bom ondutor plano (paramagnétio ou diamagnétio) quando sobre ele é apliado um ampo magnétio Bt () variável no tempo. Na Seção IV alulamos a força exerida pelas orrentes de Fouault sobre um solenoide que gera o ampo magnétio externo, além da potênia dissipada pelas referidas orrentes, por efeito Joule, no ondutor. Como este artigo foi esrito visando os alunos de graduação, das áreas de físia e engenharia, fizemos os álulos de modo mais elementar possível. A obtenção exata dos ampos magnétios resultantes, interno e externo ao ondutor, é extremamente difíil, de forma que neste artigo aproximações foram realizadas (dentro de um quadro simplifiado, mas realístio) sem perder o devido rigor matemátio. II - Condições de Contorno para os Campos Elétrio e Magnétio. Como sabemos, na superfíie de separação entre dois meios (1 e ) os ampos E, D, B e H obedeem às seguintes ondições gerais de ontorno: 3,7 1 ˆn D D (1.1) 1 ˆn H H (1.) 1 nˆ B B 0 (1.3) 1 nˆ E E 0 (1.4) onde ˆn é um versor normal à superfíie de separação entre os meios (aqui onsiderados lineares, homogêneos e isotrópios), a densidade superfiial de orrente e Σ a densidade superfiial de argas existentes na interfae entre os meios. A ondutividade elétria será indiada por σ. Lembremos também que B He D E. Iniialmente onsideraremos que os ampos E e B, de alguma forma, foram gerados em um meio não ondutor (meio ) e são apliados sobre um material ondutor (meio 1). Vamos assumir que a dependênia temporal dos ampos apliados são da i t forma: E() t e i t e B() t e ; e o meio ondutor pode ser diamagnétio ou paramagnétio [3-5]. Além disso, levaremos em onta que os ampos onseguem penetrar no meio ondutor somente até uma distânia δ denominada skindepth (ou distânia de penetração ), dada por δ = (/μσω) 1/ [3-7]. Pode-se mostrar que, devido à variação temporal dos ampos, orrentes apareem no interior do ondutor em uma amada om espessura da ordem de δ [3-5,7]. De modo geral, dependendo do valor de δ, assumem-se as seguintes aproximações [3-7]:

5 (a) 0 quando δ = 0 (ondutor perfeito). (b) 0 quando δ << 1 (bom ondutor e frequênias altas). () = 0 quando δ >> d, onde d é a espessura da plaa ondutora. Este último aso pode, inlusive, ser tratado usando a magnetostátia. II.1 - Condutor perfeito (δ = 0). Analisemos, iniialmente, o aso no qual o meio é não-ondutor, o meio 1 é um ondutor perfeito (σ e δ 0) e o versor ˆn, normal à superfíie de separação entre ambos, é dirigido de 1 para. Convenionemos que os parâmetros do ondutor serão indiados por um índie e os do meio não-ondutor não terão índies. As argas no interior de um ondutor perfeito serão, por hipótese, tão móveis que se desloam instantaneamente em resposta às modifiações dos ampos, por mais rápidas que estas sejam, e riam sempre uma densidade superfiial de argas Σ as quais se aumulam na superfíie do ondutor de modo a anular o ampo ( D = 0) no interior do ondutor perfeito. Assim, de (1.1) obtemos: ˆn D (1.5) Analogamente, no aso de ampos magnétios externos variáveis no tempo, as argas superfiiais do ondutor sempre se movem de forma a riar uma orrente superfiial adequada, dada por: ˆnH (1.6) que, por sua vez, gera um ampo magnétio H 0 no interior do ondutor perfeito. Desse modo a equação (1.) é substituída pela (1.6). Quanto às outras duas ondições de ontorno (1.3) e (1.4), elas podem ser esritas na forma, n ˆ B B 0 (1.7) n ˆ E E 0 (1.8) onde, novamente, a ausênia de índie india o meio não ondutor e o índie se refere ao meio ondutor. 3

6 Fazendo B E 0 em (1.7) e (1.8) verifiamos que na superfíie de um ondutor perfeito temos nb ˆ 0 e nˆ E 0. Isto implia que poderia existir um ampo magnétio tangenial e um ampo elétrio normal não nulos na parte externa do ondutor. Assim, esse elétrio normal E (perpendiular) e esse ampo magnétio tangenial H (paralelo) se anulariam abruptamente, tornando-se zero no interior do ondutor. II. - Bom ondutor e ampos om frequênias ω relativamente altas. Um determinado meio é onsiderado um bom ondutor quando a sua ondutividade for bastante elevada, σ >> ε. Nessas ondições, para frequênias ω relativamente altas, teremos δ 0. Ou seja, omo os ampos penetram pouo em um ondutor, então o omportamento dos mesmos pode ser onsiderado aproximadamente análogo ao que temos no aso de um ondutor perfeito. Para tratarmos este aso vamos usar um esquema de aproximações suessivas. 5 Admitamos, em uma primeira aproximação, que imediatamente do lado de fora do ondutor exista apenas um ampo elétrio normal E e um ampo magnétio tangenial H, omo no aso do ondutor perfeito. Porém, assumindo que 0 é possível onsiderar que existirá um ampo não nulo no interior do ondutor, já que de (1.) resulta: n ˆ H H 0 (1.9) Desta última equação vemos que na superfíie temos H H, ou seja, no ondutor haverá um ampo paralelo à superfíie igual ao ampo externo H. Da mesma forma, de (1.4) obtemos B B. Para meios dia ou paramagnétios, sendo μ 1 μ μ o e levando em onta que H H, B B e B H, podemos esrever que na superfíie de separação H H. Assumindo agora, numa primeira aproximação, que a omponente normal do ampo magnétio H 0, teremos simplesmente H H. Na Figura 1 mostramos os ampos na vizinhança de um meio bom ondutor, mas não perfeito. 5 4

7 Figura 1: Campos na vizinhança da superfíie de um bom ondutor, mas não perfeito. Para ξ > 0, sendo ξ a oordenada espaial normal à superfíie do ondutor, as urvas traejadas mostram a envoltória das osilações amorteidas de II.3 - Campo magnétio estátio. Quando o ampo magnétio apliado é estátio, não há orrente superfiial de argas. Assim, omo 0, as equações (1.) e (1.3) são dadas por ou ainda, respetivamente, por 1 H. nˆ B B 0 (1.10) 1 nˆ H H 0 (1.11) nˆ H nˆ H (1.1) 1 1 nˆ H nˆ H (1.13) 1 Ou seja, no aso estátio sempre temos H H1 e, para os ampos normais à superfíie, fia valendo a relação: H / a grande maioria dos materiais, temos então: H 1 1. Portanto, omo μ 1 μ μ 0 para H H (1.14) 1 5

8 II.4 - Frequênias baixas Agora estamos em ondições de analisar o aso orrespondente às frequênias baixas e, para isso, temos de levar em onta o skindepth δ = (/μσω) 1/. Para o obre (que é um bom ondutor om σ ~10 8 MKS), por exemplo, quando f = 60 Hz temos δ = 0,85 m; e quando f = 100 MHz temos δ = 7,1 x 10-4 m. Assim, para frequênias muito baixas, f 60 Hz, se a plaa de obre tiver mm de espessura os ampos a atravessariam pratiamente sem sofrer alteração. Desse modo poderíamos assumir, numa boa aproximação, uma situação magnetostátia (ω 0), pondo 0. Assim estaria satisfeita a ondição de ontorno (1.14), ou seja, H H1. Da mesma forma, se o ampo magnétio externo for perpendiular à plaa de obre, ele ontinuará sendo perpendiular à superfíie da plaa no interior do ondutor. Uma justifiativa matemátia desse fato pode ser vista no Apêndie A. III - Correntes de Fouault. Para uma desrição realístia de movimentos de elétrons em ondutores metálios gerados por ampos elétrios E ( r, t ) e magnétios B( r, t ) externos, temos de levar em onta que nos metais há uma densidade volumétria n = N/V muito grande de elétrons de ondução. 1, Eles não são exatamente livres ; estão na verdade interagindo entre si e olidindo aotiamente om os átomos da rede. Para o aso de bons ondutores metálios (diamagnétios ou paramagnétios) tais omo o Au, Pt, Cu, et..., que possuem n ~ 10 8 elétrons/m 3, o aminho livre médio dos elétrons é da ordem de l ~10 7 m, enquanto que o tempo livre médio entre duas olisões é τ ~ s. Como sabemos, o ampo E gera no meio ondutor uma orrente J nev, onde v d é a veloidade de arrastamento ou de drift, dada por v ee / m [1,]. O ampo B, por outro lado, gera uma força B d F sobre os elétrons da ordem de FB e vdb. Comparando o módulo desta força magnétia om o da força elétria F e = ee, temos F B /F e ~ (e/m) τ B. Para valores usuais de B, ou seja B 1T, e levando em onta que (e/m) = 1,76 x10 11 C/Kg, verifiamos que F B /F e ~ Ou seja, os efeitos do ampo B são muito pequenos omparados om os efeitos do ampo E. Desse modo, numa primeira aproximação, assumiremos que a orrente elétria pode ser desrita simplesmente pela lei de Ohm J E, onde a ondutividade σ pode ser estimada por σ = ne τ/m. 1, Vamos então investigar a formação de orrentes elétrias num ondutor desprezando os efeitos da força magnétia. Para desrever o sistema marosópio podemos utilizar as equações de Maxwell ou a equação de transporte de Boltzmann. 8,9 Analisemos o aso em que um ampo magnétio variável no tempo B( x, y, z, t ), gerado (no váuo) por um solenóide irular de raio R, é apliado sobre um ondutor plano metálio, onforme vemos na Figura. A plaa metália ondutora é marosópia, ou seja, tem dimensões onde efeitos quântios são desprezíveis, os quais surgem somente para sistemas om dimensões menores do que 10 nm. 10 d 6

9 Figura : Ilustração mostrando a formação das orrentes onêntrias de Fouault à medida que aproximamos o solenóide do ondutor plano (vide a e b). 11 São também mostradas as linhas de ampo magnétio geradas pelas orrentes de Fouault em oposição (vide ) ao ampo externo apliado, de aordo om a lei de Lenz. Consideremos a plaa estando num plano (x,y), passando por z = 0 e om o eixo z oinidindo om o eixo de simetria do solenóide, apontando positivamente para o meio ondutor. Numa primeira aproximação, para variações temporais dos ampos om frequênias ω relativamente elevadas, vamos onsiderar o metal omo sendo um ondutor perfeito. Nessas ondições, onforme a Seção 1, o ampo magnétio não penetra na plaa; ele se torna nulo no interior do metal de forma a só haver um ampo magnétio tangente à superfíie do metal. No Apêndie B mostramos omo estimar a onfiguração do ampo externo ao ondutor usando o método de imagens, na suposição de um ondutor perfeito. Numa segunda aproximação, assumiremos que a plaa é um bom ondutor, ou seja, que ela tem uma ondutividade muito grande, porém finita. Então, partindo das equações de Maxwell, mostraremos o meanismo pelo qual podem apareer ampos magnétios e elétrios dentro do ondutor. As orrentes elétrias J E, onde E é o ampo dentro do ondutor, são ilustradas em vermelho na Fig.. Elas são as orrentes de Fouault. As equações de Maxwell relevantes para a resolução deste problema são [3-5,7]: B E t (.1) B 0 (.) 7

10 B J E (.3) lembrando que a equação.3 (sem a derivada temporal do ampo elétrio) será sempre uma boa aproximação nas situações em que a variação temporal dos ampos for pequena omparada om o tempo livre médio dos elétrons no ondutor [7]. De (.1) e (.3) obtemos então: B B t (.4) Vamos assumir que o meio seja homogêneo om ondutividade σ e permeabilidade magnétia μ onstantes. Lembrando que B (.) obtemos que B H 0. Dessa maneira, omo: H e usando a equação e, levando-se em onta (.), temos: H H H ; H H t ; (.5) onde é o operador laplaiano. Muito longe do meio ondutor o ampo B( x, y, z, t ) do solenóide (onsiderado i t muito longo) é dado por B( x, y, z, t) B0 ( x, y, z) e, de forma que: B ( x, y, z) H ( x, y, z) Ao aproximarmos o solenóide da plaa ondutora o ampo é modifiado devido à interação om o material ondutor onde são geradas as orrentes de Fouault. i t Assumiremos que o ampo externo alterado seja agora dado por H ( x, y, z) e. No aso de um bom ondutor, dia ou paramagnétio, se onsiderarmos variações no tempo orrespondentes a frequênias ω relativamente elevadas (e levando em onta que μ μ o ), vemos, de aordo om a Seção II., que nas proximidades da superfíie da plaa ondutora são válidas as seguintes ondições de ontorno: (1) as omponentes normais H H z dos ampos internos e externos ao ondutor são nulas e () H H, onde H e H são os ampos paralelos à superfíie de separação dos meios no exterior e no interior do ondutor, respetivamente. 8

11 Devido à simetria plana do problema vamos assumir que o ampo H x, y, z, t nas vizinhanças da superfíie só deve depender de z e do tempo t, ou seja, Hz ( z, t) H Hz, t Assim, omo H 0 temos: 0. z Como Hz ( z 0, t ) 0 na superfíie do ondutor, a omponente H z será também sempre nula em qualquer parte do ondutor. Desta forma, onsiderando, i t H z t H z e no ondutor, temos de (.5): H() z H ( ) 0 z z, (.6) onde: i 1 i 0 0 Levando em onta que em z = 0 temos H ( z 0) H obtemos, integrando (.6): z z i( t) H ( z, t) H e e ; (.7) onde a distânia: 0 orresponde à profundidade de penetração ( skindepth ou penetration depth ) do ampo magnétio externo dentro do ondutor [3-5,7]. Levando em onta a equação (.3) temos ainda: E H (.8) Considerando ˆn omo sendo o versor normal à superfíie externa do ondutor, e lembrando que o operador rotaional pode, neste aso, ser esrito omo ˆn, a z (.8) fia: E 1 H nˆ z (.9) 9

12 Como H H e e z z i( t), a equação aima fia então sendo dada por: z z 1 i( t) ( 1 ) ˆ (.10) E i n H e e Pegando a parte real de (.10) e levando em onta que ˆn H H ˆ, onde ˆ é o versor tangente definido no sistema de oordenadas polares ilíndrias, 5 temos: 1 z e sin( ) ˆ (.11) E H t Na Figura o versor ˆ é tangente às irunferênias desenhadas no plano paralelo à superfíie do ondutor. Assim, as densidades de orrente de Fouault J no plano ondutor são dadas, usando (.11), por 1 z e sin( ) ˆ (.1) J E H t de onde onstata-se que as orrentes de Fouault são induzidas no interior do ondutor em uma amada metália de espessura ~ δ, e que elas irulam em torno do eixo de simetria do solenóide em irunferênias onêntrias om raios ρ (vide Figura ). IV - Força do plano ondutor sobre um solenóide Supondo agora que a base do solenóide (vide Figura ) esteja a uma altura h da superfíie metália, o ampo H gerado pela orrente que irula por ele, num ponto ρ distante do eixo z de simetria do solenoide, será representado por H (.1) fia esrita omo:, h. Assim, a 1 z, e sin( ) ˆ (.13) J E H h t Como o álulo exato de H estimamos H,, h é extremamente ompliado, no Apêndie C h supondo que ele seja riado por uma espira muito distante de um ondutor perfeito. Da equação (.13) verifia-se que as orrentes de Fouault são induzidas no interior do ondutor, em uma amada metália de espessura da ordem de δ; e que elas irulam em torno do eixo de simetria do solenóide em irunferênias onêntrias om raios ρ (vide Figura ). As orrentes I(t) no solenóide e no ondutor 10

13 irulam em sentidos opostos, segundo a lei de indução de Faraday, gerando uma força de repulsão F z entre o solenóide e a plaa ondutora. De (.1) onstata-se que as orrentes de Fouault diminuem exponenialmente de intensidade à medida que os ampos penetram no ondutor, de aordo om o termo exp( z/δ). Isto é ilustrado nas Figuras 3 e 4 [11]. Figuras 3 e 4: Esquemas [11] mostrando a diminuição exponenial exp( z/δ) da intensidade da orrente de Fouault ou eddy urrents à medida que a profundidade z rese. A distânia δ = (/μσω) 1/ é hamada de depth penetration, ou simplemente skin depth. 3 A densidade de orrente J está onfinada numa região delgada de espessura δ sob a superfíie do ondutor, que é equivalente a uma orrente superfiial efiaz ef. ˆ (.14) 0 ef J dz n H Vemos então que um bom ondutor, para frequênias altas, se omporta pratiamente omo um ondutor perfeito, om a densidade superfiial de orrente substituída por uma orrente superfiial equivalente que está, na realidade, distribuída em uma amada muito delgada, mas finita, sob a superfíie. 1,13 As orrentes de Fouault ausam dissipação de energia do ampo eletromagnétio, em forma de alor, pelo efeito Joule. O valor médio da potênia Joule dissipada é dada por: 1 ef (.15) P J E dv E dv 11

14 onde os símbolos lógios <... > indiam uma média no tempo. A equação (.15) mostra que a grandeza 1/δσ tem o papel de uma resistênia superfiial do meio ondutor. A força F z entre a plaa e o solenóide pode ser estimada por [4,14]: 1 F B ( h, ) ds, (.16) z ( S ) onde B (h,ρ) = μ H (h,ρ) e a integral é sobre uma superfíie (S) da plaa; lembrando ainda que a força por unidade de área é igual à densidade de energia magnétia. Mais detalhes sobre eddy urrents e skindepth para ondutores bons e pobres (não metais) podem ser vistos nas referênias 14 e 15, além de apliações prátias tais omo, por exemplo, levitação magnétia, 15 frenagem e deteção de metais Agradeimento: Os autores agradeem a biblioteária Virginia de Paiva por sua valiosa ajuda na obtenção de textos que foram utilizados omo referênia neste artigo. (.5): onde H Apêndie A - Aproximação Magnetostátia. Conforme a Seção II, e supondo μ μ o, no aso geral H ( r, t ) obedee à equação H ih H 0 i0h ; (A.1) t é o operador laplaiano. De aordo om a Seção II o ampo magnétio ( z, t ) dentro da plaa ondutora é dado por: H z t H e e z z i( t) (, ) S, (A.) onde H H ( z 0) é o ampo na superfíie da plaa. De aordo om (A.), quando a S S espessura da plaa d for tal que δ >> d, o módulo do ampo no interior da plaa permanee pratiamente onstante. Isto oorre, por exemplo, para ampos estátios quando ω 0, pois δ = (/μσω) 1/. Nessas ondições, o efeito da movimentação de argas livres no ondutor pode ser desprezado. Assim, ab initio, poderíamos assumir que 0, que seria semelhante (pelo menos para as ondições de ontorno) a um aso magnetostátio (vide Seção 1). Landau & Lifshitz hegam a essas mesmas onlusões oloando δ em (A.1) e resolvendo a equação H 0. 6 Essa aproximação magnetostátia é levada em onta em artigos onde orrentes de Fouault são riadas em pelíulas de metal liquido de Ga In Sn. 16,17 1

15 Apêndie B - Campo magnétio gerado pelas orrentes de Fouault. As orrentes de Fouault se distribuem sobre a plaa ondutora de aordo om equação (.10), ou seja, 1 z J E H h, e sin( t) ˆ (B.1) Como elas estão ontidas numa profundidade δ e distribuídas em anéis infinitesimais onêntrios om raio ρ, os elementos de orrente di(ρ,t) nesses anéis (espiras de raio ρ) são dadas por (omitindo a parte temporal): di( h, ) J d H ( h, ) d (B.) Esses elementos de orrentes di geram uma ontribuição dh para o ampo magnétio no entro da espira externa, que está a uma altura h da plaa, dado por: 18 1 dh ( h, ) di( h, ) h 3/ (B.3) Assim, levando em onta (B.3), no entro da espira externa há um ampo H(h) gerado pelas orrentes de Fouault: Como, de aordo om (C.4): teremos, usando (B.4): 1 H ( h) dh ( h, ) di( h, ) 3/ h H m ( h, ) H ( h, ) d 3/ h 5/ h h h, (B.4) m d m H( h) h 4 h (B.5) Agora, omo o ampo H(R) no entro da espira externa que tem raio R é H(R) = (m/πr 3 ), 19 vemos que a razão H(h)/H(R) é dada por: 3 3 H( h) R 1 R 3 H( R) 4h 4 h (B.6) De aordo om (B.6), quando h > R o ampo devido às orrentes de Fouault é muito pequeno omparado om o ampo da bobina externa. Assim, o ampo irá provoar na bobina apenas uma pequena alteração de sua orrente I(t). 13

16 Apêndie C - Campo H (h,ρ) riado por uma espira próxima de um ondutor perfeito plano. Consideremos uma espira isolada om N fios perorrida por uma orrente I. Se a área de sua seção reta é A Akˆ, o seu momento de dipolo magnétio será m NIA. 1,6 O ampo magnétio gerado por essa espira num ponto P muito longe do seu entro é dado, numa aproximação dipolar, por: 3,5 0m os Hr ( r, ) 3 r (C.1) 0m sin H ( r, ) 3 4 r Os ampos são alulados em um sistema de oordenadas om origem do entro O da seção reta da espira, sendo r a distânia de P ao entro O. O momento de dipolo magnétio m está orientado ao longo do eixo z perpendiular ao plano da espira e o ângulo θ é formado entre r e o eixo z. As equações (C.1) valem somente para distânias muito maiores que o diâmetro da espira. Supondo que essa espira esteja próxima de um ondutor perfeito plano, estimaremos, numa primeira aproximação, o ampo H (h,ρ) usando o método de imagens. No aso geral, sendo I a orrente elétria real no váuo, a orrente I im imagem riada num meio om permeabilidade magnétia μ, pode ser expressa por: 15,0 Iim 1 I 1 (C.) Assumindo que um ondutor perfeito se assemelha a um material diamagnétio perfeito, omo um superondutor [15], podemos fazer μ 0 em (C.) resultando I im = I. Obtemos assim o dipolo magnétio imagem mim m. Na figura (C1) vemos a onfiguração dos ampos magnétios dos dipolos m e m im. Figura (C1): Campos resultantes no interior e no exterior do ondutor perfeito devido à superposição dos ampos magnétios dipolares 18 riados pelos dipolos m e m im 14

17 Note na Figura (C1) o ampo magnétio normal à superfíie H 0, na interfae entre os dois meios. Levando em onta que no nosso aso m está apontado perpendiularmente para baixo e o m im perpendiularmente para ima, o ampo tangenial H é dado, usando a equação (C.1), por 0m ossin H ( r, ) H ( r, )os (C.3) 3 r Suponhamos agora que a base do solenóide esteja a uma altura h da superfíie metália. Nesta situação, ampo H gerado por ele num ponto om oordenadas (h,ρ) na superfíie do metal, onde ρ é a distânia do ponto ao eixo de simetria do solenóide, é dado por 0m h H ( h, ), (C.4) 5/ h onsiderando em (C.3) que r = (h + ρ ) 1/, sinθ = ρ/r e osθ = h/r. REFERÊNCIAS 1) D. Halliday e R. Resnik. Físia 3. Ed. Livros Ténios e Científios (1978). ) R. A. Serway. Físia 3,Ed. Livros Ténios e Científios (199). 3) J. R. Reitz, F. J. Milfordand e R. W. Christy. Fundamentos da Teoria Eletromagnétia, Ed. Campus (198). 4) J. A. Stratton. Eletromagneti Theory, Ed. MGraw-Hill (1941). 5) J. D. Jakson. Eletrodinâmia Clássia Ed. Guanabara Dois (1983). 6) L. D. Landau and E. M. Lifhitz. Théorie du Champ. Éditions de La Paix (1963). 7) L. D. Landau, E. M. Lifhitz and L. P. Pitaevskii. Eletrodynamis of Continuous Media, Ed. Elsevier (1984). 8) K. Huang. Statistial Mehanis.John Wiley & Sons (1963). 9) M. Cattani. (09maio1). Boltzmann Transport Equation and the Eletrial and Thermal Condutivities of Metalli Bulks. 10) M. Cattani. (18maio1). Eletrial Condutivity of Very Thin Metalli Films. 11) Google eddy urrents: ver imagens. 1) 13) 14) B. Novak and S. Pekarek. Rev. Si. Instrum. 41 (1970) ) M. D. Simon, L. O. Heflinger and A. K. Geim. Am. J. Phys. 69 (001) ) P. Hammond. The Institution of Eletrial Engineers. Monograph No.379 (1960). 17) 18) F. W. Sears. Físia, Tomo II, Ed. Livro Ténio e Científio (1956). 19) J. Burguette and A.M. Miranda. Magnetohydrodynamis 48 (01) 69. 0) Y. Fautrelle and A. D. Sneyd. Eur. J. Meh. B Fluids 4 (005)