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Daniel Aveiro Meneses
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1 CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA Lista de exeríios sobre histerese magnétia Problema 122 (GR Slemon) [adaptada do problema 122, Slemon] Um núleo magnétio toroidal tem uma araterístia de magnetização que inlui o efeito da histerese magnétia A araterístia pode ser aproximada por uma relação idealizada B-H om B r =1,5 T e H =20,0 A/m O núleo tem uma área da seção reta de 1,0 m 2 e um diâmetro médio de 6,0 m A densidade de fluxo magnétio pode ser onsiderada uniforme através do núleo (a) Esboe a araterístia idealizada B-H; (b) Se o núleo tem uma densidade de fluxo iniial B=1,5 T, quanta energia deve ser entregue ao núleo para produzir uma densidade de fluxo B=-1,5 T? A densidade volumétria de energia, w v, requerida para reverter o valor de B é representada pela área hahureada da figura aima Pode ser alulada por 3 w v = 2(1,5)20 = 60J / m Multipliando esse valor pelo volume do núleo, hegase a 3 W = (600) Al = 113(10 ) J (b) A orrente oeritiva é H l i = = 943mA N () O iruito elétrio equivalente é mostrado a seguir () Suponha que uma bobina om 400 espiras é enrolada em torno do núleo Que orrente é neessária nessa bobina para variar a densidade de fluxo de +1,5 T para -1,5 T? (d) Suponha que uma fonte de 1,0 V é onetada à bobina Se a resistênia da bobina é 25,0 Ω, quanto tempo leva para a densidade de fluxo variar de +1,5 T para -1,5 T? Disussão (a) Esse problema lida om a análise de núleos om araterístias B-H idealizadas A araterístia B-H é apresentada a seguir: A equação do iruito elétrio equivalente é dλ E = Ri + dt Quando B varia entre + 1,5 e 1,5 T, o fluxo enlaçado λ varia entre λ max e λ max, omo ilustra o gráfio abaixo

2 r r Ni H dl = 200 l + B g = ( ) µ o i = 01585A Note que quando B atingir 15 T, essa densidade de fluxo pode ser mantida mesmo que a orrente seja muito pequena 3 = E Ri = [1 (25)(9,43x10 )] = t A variação total do fluxo enlaçado é = 2NB max A = 0,12Wb Portanto, 0,12 = 0,764V t = = 0,157 s t 0,764 0,764V A partir desse instante, o fluxo no núleo permanee onstante O reator omporta-se omo um urtoiruito e somente a resistênia da bobina limita a orrente A orrente de regime permanente é pois E 1 i rp = = = 40,0mA R 25 (b) Quando i=0, tem-se B µ 0 + Hl = 0 Enquando B está reduzindo, H=-20,0 A/m Substituindo os valores de H, l e µ 0 na eq aima, hega-se a B=00945 T () No plano λ-i, o valor máximo do fluxo enlaçado é ˆ λ = Bˆ A = 0 06Weber Figura P123 Caraterístia orrente-fluxo enlaçado [adaptação do problema 123, Slemon] Um entreferro de 0,05 mm é inserido no núleo toroidal do problema anterior O espalhamento do fluxo em torno desse entreferro pode ser desprezado (a) Qual o valor da orrente na bobina neessária para produzir uma densidade de fluxo B=+1,5 T no entreferro? (b) Se a orrente do item (a) é reduzida a zero, qual será a densidade de fluxo no entreferro? () Trae uma urva da araterístia orrente x linhas de fluxo para a bobina Qual é o valor aproximado da indutânia da bobina? Uma vez que a densidade de fluxo B deve aumentar até 15 T, H núleo =20 A/m, H gap =B/µ o Considerando um perurso fehado através do núleo e entreferro, Para determinar a indutânia, aproximações diferentes podem ser onsideradas 1ª aproximação A inlinação média entre a origem (0,0) e o ponto de operação (0,06 ; 0,159) resulta em L=0,378 H 2ª aproximação A inlinação inremental dos lados da araterístia fluxo-orrente é 0401 henry, ou seja, 5 a 6% maior que o valor alulado aima [adaptação, Problema 221 Slemon] Uma tensão senoidal de 200 V efiazes, 500 Hz, é apliada a uma bobina om 80 espiras enrolada sobre um núleo toroidal de área de seção transversal de 10-3 m 2 e diâmetro médio de 0,1 m O material do núleo pode ser representado por uma araterístia idealizada om B r =1,6 T e H =20 A/m A resistênia da bobina é desprezível

3 (a) Determine a amplitude e forma de onda da orrente magnetizante; (b) Derive uma representação em série de Fourier para a orrente magnetizante Calule o valor efiaz da omponente de tereiro harmônio () Determine a relação entre o valor efiaz da omponente da frequênia fundamental e o valor efiaz da orrente magnetizante total Disussão Figura Laço de histerese E: tensão efiaz Ê: valor de pio da tensão efiaz O valor de pio da onda da densidade de fluxo b(t) é ˆ ˆ E 2E B = = = 1, 125T wna wna A partir do álulo aima, observa-se que: para essa tensão, o lugar geométrio é um retângulo de alturas T A densidade de fluxo no núleo não atinge 1,6 T e, portanto, não hega a saturar Figura Traçado das equipoteniais A orrente oeritiva pode ser alulada pela lei iruital de Ampère, ( πd ) 20π ( 01, ) = = 0, A H i = 0785 N 80 Em uma análise simplifiada, pode-se assumir que a orrente passa periodiamente do valor +i para -i, omo mostrado no gráfio a seguir Figura Ciruito elétrio equivalente Figura Variação da orrente

4 (b) A série de Fourier é i( t) = ( 0, 0785) sin( wt) sin( 3wt ) + sin( 5wt ) π 3 5, I& = = 0, 0235A 2 π 3 () 1 4 I& 1 = ( 0, 0785) ; I& rms = 0, 0785; 2 π 1 4 Taxa = = 0, 9 2 π [adaptação, problema 222, Slemon Um fabriante apresenta uma lista que ontém um material magnétio de grãos orientados em folhas que têm uma espessura de 0,3 mm A resistividade do material é dada omo 5x10-7 Ω-m A trajetória estátia B-H publiada para o material é retangular om H =12 A/m para valores de B na faixa de 0,8 a 1,6 T O valor espeifiado para a perda total no material é 1,2 W/kg para uma densidade de fluxo alternada na frequênia de 100 Hz expressa por b ( t) = 1,0sin( wt) T A densidade de massa do material, d m, é 7650 kg/m 3 (a) Calule as perdas totais Compare o valor obtido om o valor espeifiado Sugira as razões possíveis para os erros na previsão da perda Disussão 4H P = d m Bˆ histerese = 0,628W / kg A plot of the exiting urrent waveform for a partiular ase is shown in the above figure An asending flux density orresponding to point P on the hysteresis loop and to Q on the sinewave of time variation requires 8 units of magnetizing urrent Analysis of the exiting urrent waveform Proeeding in this way, the urrent waveform is seen to ontain harmonis, whih in this ase (in terms of a fundamental of 100 units) analyse to 100 sin(x + 18 )-39 sin(3x + 7 ) + 18 sin( 5 x + 9 )-8 sin(7x + 10 ) The displaement of the fundamental implies that it lags the voltage applied by (90-18)=71 o, and that there is onsequently an ative power omponent i r =100os(71 ) orresponding to the hysteresis loss (The eddy-urrent loss is additional to this) The example is for a peak density of 125 T, and there is a 40% 3rd harmoni ˆ 2 Fouault = P 2 w 2 B = 0,386W / kg 24ρd m As perdas aluladas, 1,014 W/kg, orrespondem a 84,5% da espeifiação As perdas por histerese e por orrentes parasitas, na verdade, não são separáveis A equação que representa as perdas por orrentes parasitas e envolve termos quadrátios 2, w 2 e B 2 é, na verdade, uma aproximação Estudos experimentais sugerem que o expoente de, w e B na equação deveria ser menor que 20 For the higher densities in large transformers the 3rd, 5th and 7th harmonis are onsiderably intensified However, on load the harmonis are negligible beause the magnetizing urrent is only 005 pu of full-load urrent, or thereabouts Exemplo 1 [Say, MG, Eletrial Mahines, pp 35-36,39-43] Composição do laço de histerese a partir dos dois sinais mostrados na figura do lado direito: 1 onda senoidal (traejada) da densidade de fluxo: B(wt) 2 onda distorida (sólida) da orrente de exitação: i φ (wt)

5 Exemplo 2 Distribuição de harmônias ímpares na onda da densidade de fluxo Figura (a): mostra a metade de um dente de uma máquina, o entreferro de omprimento l g e o estator liso Figura (): mostra o gráfio das senóides B1(θ), B3(θ), B5(θ) e B7(θ) Essas senóides ompõem o sinal distorido B(θ) As informações relativas à distribuição de B no entreferro médio de uma máquina são importantes para se alular a distribuição da força eletromotriz induzida e(t) nos terminais da máquina usando a lei da indução de Lenz Figura (b): ilustra o método de determinação das harmônias ímpares da urva distorida de B(θ); θ é o omprimento angular de um aro oloado bem no meio do entreferro

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