CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA - lista de exercícios sobre transformadores antonioflavio@ieee.org

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1 1ª. Questão Considere as seguintes impedâncias e tensões de um transformador cuja potência nominal é S N. Z AT : impedância de dispersão, referida à alta tensão, em ohms; Z BT : impedância de dispersão, referida à baixa tensão, em ohms; V AT : tensão nominal da alta tensão; V BT : tensão nominal da baixa tensão. Sejam z AT e z BT os valores em por unidade das impedâncias de dispersão acima. Verifique qual a relação entre z AT e z BT e tire suas conclusões. Sugestão: para facilitar o equacionamento lembre-se de que Z BT = Z AT V V BT AT 2 2ª. Questão No estudo de um dado sistema, definimos os seguintes valores-base: V S b b = 10 kv = 1 MVA Desejamos exprimir em valores por unidade as seguintes tensões, correntes, potências, impedâncias e admitâncias: 1. V = 12,0 kv 2. V = 13,3 + j6,0 kv 3. I = j 203 A 4. S = j 300 kw e KVAr 5. S = 9,3 MVA 6. Z = 80 + j40 Ω 7. Y = 0,1 - j0,3 Siemens Respostas: 1,2 pu;1,33 + j 0,6 pu;5,13 + j 2,03 pu;0,2 + j 0,3 pu;9,3 pu;0,8 + j 0,4 pu;10,0 - j 30,0 pu 3ª. Questão Um transformador de 48 kva, 2400:240 V, 60 Hertz pode ser ligado como autotransformador, com o objetivo de se conseguir um aumento na potência aparente. Mostre como, a partir de um transformador de dois enrolamentos, isso pode ser conseguido. 4ª. Questão Os valores rateados ou nominais de um transformador são 25 kva, 1200:120 volts. A amplitude da componente fundamental da corrente de excitação, medida no lado de baixa tensão, é 2.0 ampères. A impedância equivalente referida ao lado de alta é 1,5 + j 2,0 ohms. Use os valores nominais do transformador como bases. i) Expresse a aproximação que se dispõe para a corrente de excitação em valores p.u., nos lados de baixa e alta tensão; ii) Expresse a impedância de dispersão em p.u., nos lados de baixa e alta tensão. 5ª. Questão Um transformador de distribuição de 20 kva, 1200:120 V, 60 Hertz, possui os seguintes parâmetros: Z AT(Ω) =0,4+j0,9 Ω Z BT(Ω) =0,0030+j0,0060 Ω A admitância de excitação é (0,3-j2,0)x10-2 siemens no lado de baixa tensão. Adote os valores nominais do transformador como bases. Desenhar o circuito equivalente referido ao lado de alta tensão; Desenhar o circuito equivalente referido ao lado de baixa tensão; O valor eficaz verdadeiro (true rms) da corrente de excitação, medida no lado de baixa tensão, é 5,41 amperes. Expresse essa corrente em p.u.

2 Calcule a corrente de excitação referida ao lado de alta tensão em ampères. Em seguida, calcule seu valor em p.u. Comente os resultados obtidos. 6ª Questão Um transformador monofásico de 5 kva, 60 Hz, 440:110 V e que pode ser considerado ideal está consumindo uma corrente primária de 10 A com fator de potência de 0,9 em avanço. Determine a impedância do circuito de carga conectado aos terminais de baixa tensão. Dica: calcule a impedância vista pelo primário 7ª Questão Seja um transformador monofásico de 2 enrolamentos. Sua potência nominal é de 100 kva e suas tensões nominais de 1000:200 V. Calcule as correntes nominais dos enrolamentos de alta e baixa tensão; Seria possível esse transformador alimentar, sem sobrecarregar seu isolamento uma carga de 200 kva? Considere a conexão como autotransformador com tensão de saída de 1000 V alimentando uma carga de 590 kva. Quais as correntes que fluem nos enrolamentos de alta e baixa tensão, respectivamente? Ainda com a conexão como autotransformador com saída no enrolamento de 1000 V, considere que ocorre um curto-circuito no secundário de 1000 V. Qual será, agora, a tensão sobre os enrolamentos de alta e baixa tensão, respectivamente? 8ª Questão (adaptada do problema 3.4 do Slemon) Em solda elétrica, uma tensão na faixa de 50 a 70 volts geralmente se faz necessária para estabelecer um arco elétrico. Depois que esse arco é estabelecido, deseja-se uma fonte de corrente essencialmente constante, o que pode ser conseguido através de uma indutância elevada no circuito que alimenta a carga. A figura acima mostra um transformador de dois enrolamentos projetado para uso em um soldador elétrico. Para limitar a corrente de carga, o núcleo magnético inclui uma trajetória de baixa relutância (pequeno entreferro) para os fluxos dispersos de primário e secundário. Apresente o circuito equivalente do transformador com valores referidos ao circuito da fonte; Determine a relutância do entreferro e, a partir da relação L=N 2 /R, os valores da indutância L 1g e reatância indutiva X 1g referidos ao circuito primário; Para uma tensão de 60 volts eficazes no enrolamento secundário, determine a tensão da fonte; Para uma tensão da fonte de 100 volts eficazes, 60 hertz, determine a corrente secundária de curto-circuito; 9ª Questão Um transformador de dois enrolamentos cuja potência nominal é S N e cuja relação de espiras é N1/N2=a, quando usado na configuração de autotransformado tem sua potência aumentada para (a+1)*s N ou [(a+1)/a]*s N.. Considere um transformador de dois enrolamentos, 200 kva, 220:110 Volts e que precisa ser utilizado para alimentar cargas cujos valores ultrapassam os kva nominais do mesmo. Deve-se usar a configuração de autotransformador para evitar a sobrecarga. Supondo que a tensão de suprimento da carga é 220 Volts e que a carga representa 70% da capacidade máxima de potência dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte;

3 Supondo que a tensão de suprimento da carga é 110 volts e que a carga consome a potência máxima dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte. Sobre a eficiência de transformadores A eficiência de qualquer sistema é a relação entre a potência de saída e a potência de entrada. O cálculo da eficiência η pode ser feito a partir dos valores médios das energias de saída e entrada, considerando meio período da onda. Mais fácil ainda é observar que a potência de saída é igual à potência de entrada menos as perdas internas, isto é, Psaída η =. P + P + P saída dissipada( Cu) dissipada( ferro) Quando a magnitude e frequência da tensão de suprimento são constantes, o fluxo mútuo no núcleo é senoidal e de amplitude constante. Por isso, as perdas no núcleo são praticamente independentes da corrente de carga. As perdas no cobre, por outro lado, são proporcionais à corrente de carga I 2, ou seja, 2 P cobre = ( I 2 ) R. No transformador mostrado na figura abaixo, a potência de saída é P saída = V I cos( ), 2 2 ϕ onde cos(ϕ) é uma medida da defasagem entre os fasores V 2 e I 2, comumente chamada de fator de potência da carga. Da mesma forma que a regulação de tensão, a eficiência depende do fator de potência. A eficiência é máxima quando o fator de potência é unitário. 10ª Questão (G.R. Slemon, problema 2.20, Electric Machines, p. 169) Um transformador tem uma impedância equivalente de 0,01+j0,05 p.u. A perda na operação em vazio é igual a 0,01 p.u. As bases para as diversas grandezas são os próprios valores nominais ou de placa. (a) Determine a eficiência do transformador quando o mesmo está alimentando a carga nominal, na tensão nominal e com cos(ϕ) igual a 0,8 atrasado. (b) Determine a regulação do transformador para essa condição de operação. Relacione a perda no núcleo p n com a perda em vazio. p n =0,01 pu Para a carga nominal e as bases escolhidas no enunciado, tem-se s=1,0 pu e v=1,0 pu. Agora, calcule a corrente i e as perdas no cobre p c = i 2 r. p c =0,01pu Calcule a potência ativa consumida pela carga ou potência de saída: p=s[cos(ϕ))]

4 Psaída η( %) = x100 P + P + P entrada núcleo 0,8 η(%) = x100 = 97,6% 0,8 + 0,01+ 0,01 Para calcular a regulação, considere o circuito abaixo: cobre v v 2, VAZIO 2, CARGA = v 1 = v 1 v reg(%) = o = 1,0 0 pu o iz = 0,9626 2,02 pu 2, VAZIO v v 2, CARGA 2, CARGA x100 = 3,89%. 11ª Questão [Gray, problema 4.6] A impedância de dispersão de um transformador monofásico de 2000/200 V,10 kva é 8 + j150 Ω referida ao circuito primário. Calcule a variação da tensão nos terminais do secundário quando a corrente indutiva de carga com cos(ϕ)=0,8 é reduzida de seu valor rateado até zero. Considere que a tensão primária de suprimento é mantida constante. [48,2 V] Calcule o valor por unidade da impedância de dispersão do transformador. [z=0,02+j0,375 pu] Nesse transformador, 100 W são dissipados sob a forma de calor no núcleo quando o mesmo é alimentado com tensão e frequência nominais. Determine sua eficiência percentual quando o mesmo está alimentando as diferentes cargas especificadas nas tabelas abaixo. Tabela I Eficiência para carga com cos(ϕ)=1,0 Porcentagem da corrente nominal Eficiência (%) Tabela II Eficiência para carga com cos(ϕ)=0,8 em atraso Porcentagem da corrente nominal Eficiência (%) Partindo dos dados das tabelas I e II, utilize o mesmo par de eixos e esboce as duas curvas que representam a variação da eficiência com a percentagem da carga. 12ª Questão (Fitzgerald, problema 1-17) A alta tensão de um banco trifásico é alimentada em uma tensão de linha de 13,8 kv. No lado de baixa tensão existe uma carga trifásica cujos valores nominais são 1500 kva e tensão de linha de 2,3 kv. Especificar os valores

5 nominais de tensão, corrente e potência aparente de cada um dos transformadores monofásicos que constitui o banco considerando as diferentes formas de ligação elétrica do banco. Ligação da alta Y Y Ligação da baixa Y Y Tensões (kv) Correntes (A) Potência (kva) 8,0/2,3 62,5/ ,8/1,33 36,3/ ,0/1,33 62,5/ ,8/2,3 36,3/ ª. Questão (Slemon, problema 3.25) A figura abaixo mostra um arranjo de dois transformadores que podem ser usados para conexão entre uma carga trifásica e a fonte de alimentação, também trifásica. Suponha que a potência nominal de cada transformador é 10,0 MVA. Determine a carga que esse arranjo pode alimentar sem sobrecarregar qualquer um dos transformadores. Figura Ligação em delta aberto ou v-v. Considere que a carga é equilibrada e ligada em Y. Se a tensão de linha é E l e a tensão ao neutro E AN, tem-se El EAN = ; I AN = I 3 O valor especificado de 10,0 MVA é a potência aparente de cada unidade. No caso, EI = 10MVA. A potência aparente consumida pela fase A da carga é S = E A potência trifásica é, pois, A AN I AN S3φ = 3E AN I AN = 10 3MVA.

6 14ª. Questão (G.R. Slemon, problema 2.14) Um transformador monofásico possui os seguintes valores nominais: 1,5 kva; 220:110 V; 60 Hz. Os ensaios em laboratório produziram os seguintes resultados: i) Ensaio de circuito aberto, excitação no terminal de baixa tensão Vca= 110 V Ica=0,4 A Pca=25,0 W ii) Ensaio de curto-circuito, excitação no terminal de baixa tensão Vcc=8,25 V Icc=13,6 A Pcc=40,0 W iii) Resistência CC dos enrolamentos: R baixa =0,113 Ω R alta =0,413 Ω (a) Determine o circuito equivalente do transformador referido à baixa tensão; (b) Determine a eficiência em plena carga quando o transformador está suprindo uma carga com cos(ϕ)=0,8 indutivo na tensão de 110 V. 15ª. Questão Um gerador de corrente alternada, 60 Hz, pode ser modelado por uma fonte de tensão de 220 V eficazes em série com uma reatância indutiva de 8,0 Ω. Esse gerador alimenta uma carga resistiva de 0,5 Ω através de um transformador ideal. a. Qual deve ser a relação de espiras do transformador para se transferir a máxima potência para a carga? 16ª. Questão Um transformador de dois enrolamentos cuja potência nominal é S N e cuja relação de espiras é N1/N2=a quando usado na configuração de autotransformador, tem sua potência aumentada para (a+1)*s N ou [(a+1)/a]*s N. Considere um transformador de dois enrolamentos, 200 kva, 220:110 volts e que precisa ser utilizado para alimentar cargas cujos valores ultrapassam os kva nominais do mesmo. Deve-se usar a configuração de autotransformador para evitar a sobrecarga. Supondo que a tensão de suprimento da carga é 220 Volts e que a carga representa 80% da capacidade máxima de potência dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte; Supondo que a tensão de suprimento da carga é 110 Volts e que a carga consome a potência máxima dessa configuração como autotransformador, determine a corrente na carga e na fonte. Sobre os transformadores de corrente Os transformadores para medição de altas tensões, conhecidos como TP s, são similares aos transformadores de potência comumente utilizados nos sistemas de transmissão e distribuição de energia. Os transformadores de corrente, conhecidos como TC s, precisam de considerações especiais de projeto e manufatura. A corrente de excitação, por exemplo, deve ser minimizada, pois é a principal causa dos erros de relação e de fase de um TC. O

7 erro de fase de um TC é definido a partir do diagrama fasorial apresentado na Fig. 1. É o ângulo de defasagem β existente entre a corrente primária I 1 e o inverso da corrente secundária I 2. Figura 1 Erro de fase de um TC Os TC s são, na maioria das vezes, transformadores toroidais como o que aparece na Fig. 2. Os TC s de melhor desempenho possuem o núcleo formado por material magnético de alta qualidade. Nos últimos anos, muitos pesquisadores têm comparado o desempenho dos TC s em face da utilização de diferentes materiais no núcleo [1]. As características de dois materiais magnéticos empregados em núcleos de TC s aparecem na Tabela I: a liga nanocristalina, fabricada pela empresa japonesa Hitachi Metals Ltd., e o aço ao silício de grão orientado, fabricado pela empresa brasileira Acesita. TABELA I DADOS COMPARATIVOS MATERIAIS MAGNÉTICOS Composição Fe 73,5Cu 1Nb 3Si 13,5B 9 Nome comercial B s (T) (60 Hz) FINEMET FT-3M F6045G 0,90 Fe-3,2%Si Aço ao silício GO E-004 1,85 µ rmax (60 Hz) (3,0 A.m -1 ) (23,0 A.m -1 ) ρ (µω.m) 1,20 0,47 Figura 2 Protótipo de TC com núcleo toroidal Transformadores de corrente são utilizados para alimentar instrumentos de baixa impedância conectados ao seu secundário: (i) amperímetros; (ii) bobina de corrente de wattímetros; (iii) bobina de corrente de medidores de energia elétrica; (iv) relés de sobrecorrente.

8 A Fig. 3 mostra uma carga conectada à fonte. O primário do TC está em série com a carga; o secundário está conectado a um amperímetro. Figura 3 TC alimentando um amperímetro Se a corrente de carga I c não é conhecida, é possível determiná-la a partir da corrente medida, N2 Ic I m. (1) N1 Em TC s bem projetados, o erro na medição da corrente a partir da equação (1) é tipicamente menor que 1%. Na maioria das vezes, o primário do TC é conectado permanentemente ao circuito principal, onde a corrente pode ser muito alta. A corrente secundária é pequena, tipicamente da ordem de 5,0 A. A tensão secundária é também baixa porque a resistência do instrumento de medição é pequena. É prática comum conectar um dos terminais do instrumento de medição à terra, para aumentar a segurança de quem lida com seus terminais. Exemplo 1 [Electromechanics 2004 J D Edwards] Um transformador de corrente tem 10 espiras em seu primário e 200 espiras no secundário. O secundário é conectado a um amperímetro cuja resistência é de 0,5 Ω. A corrente secundária é 5,0 A. (a) Determine a corrente no primário e a tensão nos terminais do primário do TC. Utilize o modelo de transformador ideal; (b) Se o transformador tem o núcleo toroidal com uma seção transversal de 20 mm x 20 mm e opera na frequência de 50 Hz, determine a máxima densidade de fluxo no núcleo. Discussão (a) A tensão nos terminais secundários é V 2 = RI2 = 0,5 V. A corrente primária é N2 I 1 = I2 = 100A. N1 A tensão nos terminais primários é N1 V 1 = V2 = 125mV. N 2 (b) A densidade de fluxo máxima no núcleo é calculada a partir do valor de pico da tensão primária V 1m. Para a tensão primária, tem-se dφ v1 = N1 = N1ωΦ m cos( ωt) = V1 m cos( ωt). dt O valor máximo da tensão primária é V1 m = N1ω Φm = 2πfN 1ABm. O valor máximo da densidade de fluxo é V1 m Bm = = 0,141 T. π fn A 2 1 Operação com o secundário aberto A manutenção ou remoção do medidor ligado ao secundário do TC requer cuidados especiais. Considere o circuito da figura abaixo. A carga é puramente resistiva e a uma chave está substituindo o medidor.

9 Figura 4 Utilização de chave no secundário Com a chave aberta, a situação é complexa. Para uma tensão da fonte V f de 400 V, seria necessária uma densidade de fluxo de 451 T para se ter V 1 igual a V f. Como o material do núcleo satura em aproximadamente 1,6 T, essa situação não é possível de acontecer. Para desconectar o medidor ligado ao secundário do TC de uma maneira segura pode-se simplesmente colocar a chave liga-desliga em paralelo com o medidor, conforme mostrado na Fig. 5. A chave deve ser fechada antes de desconectar o medidor. Dessa forma, a corrente secundária I 2 continua a fluir através da chave e se evita uma sobretensão no equipamento. Figura 5 Chave em paralelo com o medidor 17ª QUESTÃO Considere um TC com núcleo toroidal. A seção transversal do núcleo é 20 mm x 20 mm e o diâmetro médio é 100 mm. Existem 10 espiras no primário, 200 espiras no secundário e a corrente primária é 89 A eficazes. A frequência de operação é 50 Hz. O material magnético é o aço ao silício, cuja característica de magnetização é apresentada a seguir. Figura 6 Curva B-H do aço ao silício (a) Calcule o valor máximo da intensidade de campo H e o período da forma da onda idealizada, que é alternada e senoidal.

10 (b) Esboce as curvas que representam os valores instantâneos da intensidade de campo H, densidade de fluxo B e da derivada db/dt. Referências [1] B.A. Luciano, R.C.S. Freire, W.B. de Castro, TC com núcleo toroidal, influência do material magnético sobre o ângulo de fase, Eletricidade Moderna, 373: , abril de [2] C.B. Gray, Electrical machines and drive systems, Longman Scientific & Technical, England, pp. 130, 1989.