Limalhas de ferro sob ação de um campo magnético (Esquerda). Linhas de campo magnético da Terra (Direita)

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1 O ampo Magnético Os primeiros registros de campos magnéticos foram feitos pelos gregos quando descobriram a quase 6 anos A.. uma pedra que tinha a propriedade de atrair metais Esta pedra, mais precisamente um mineral (magnetita), é formada basicamente por ferro cuja fórmula é Fe 3 O 4. Porém, relatos atribuem aos chineses a descoberta do efeito de orientação natural dos ímãs. Uma das mais famosas aplicação deste efeito é a bússola que sempre aponta para o Norte Magnético. Limalhas de ferro sob ação de um campo magnético (Esquerda). Linhas de campo magnético da Terra (Direita) Links interessantes: (omo o HD funciona) 1 - A Força Exercida por um ampo Magnético A presença de um campo magnético (ou densidade de fluxo magnético ou vetor indução magnética) pode ser percebida através de uma bússola quando a agulha sofre uma deflexão caso ela esteja desalinhada com o campo magnético. Se estiver presente um ímã, então a agulha apontará na direção do campo magnético resultante naquele ponto. Se uma carga q estiver presente num campo magnético se movendo com uma velocidade v, então a força magnética F que atua sobre esta carga é dada por: F = qv. (1) A Eq. 1 é um produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético (um pouco de produto vetorial pode ser visto no final desta apostila). As propriedades do produto vetorial ajudam a descrever a força sobre a partícula, por exemplo, se a direção da velocidade for a mesma do campo, então nenhuma força atuará sobre a partícula e esta seguirá uma trajetória retilínea. Se a velocidade for perpendicular ao campo, então a força será máxima. Neste caso, a regra da mão direita, como mostrada na figura abaixo, ajuda a determinar a direção da força. Tente este ótimo link que mostra 1

2 várias situações para uma partícula dentro de um campo magnético A unidade de campo magnético no sistema S é o tesla, ou seja, N/ 1 T = 1 = 1N/A.m. m/s Outra unidade comumente utilizada é o gauss (G), cujo valor é 1x1-4 T, e o nanotesla, que equivale a 1 nt = 1x1-9 T Se a carga for negativa, então o sinal deve ser considerado. Fio condutor num campo magnético Se um fio condutor, conduzindo uma corrente, estiver dentro de um campo, então este fio poderá sofrer uma força magnética, pois, quem conduz corrente elétrica são cargas que estão sujeitas ao campo magnético. Suponha um fio de comprimento l com cargas se deslocando com velocidade v d. Se n for o número de cargas por unidade de volume, temos então que: Mas, = qnav d, então a Eq. fica: F = ( qnal) v. () d F = l. (3) O vetor l tem um módulo que é igual ao comprimento do fio cuja direção é paralela a qv d, a direção da corrente. A figura abaixo mostra que a regra da mão direita também é utilizada para visualizar os vetores relacionados com os parâmetros considerados anteriormente. aso estejamos considerando apenas um elemento de corrente ( dl), então: df = dl. (4) Podemos dizer que o dl é retilíneo, mesmo que o fio não o seja. Acesse este link para ver este vídeo:

3 3 Lei de Ampère Diferente de uma carga elétrica, não se pode ter um pólo isolado e assim a linha de campo magnético não tem fim nem começo. Somando-se a isso, num condutor conduzindo corrente, as linhas de campo sempre envolvem este condutor e por isso, a Lei de Ampère é útil no cálculo do campo quando o problema tem alta simetria que pode ser traduzida como sendo, digamos, constante ao longo da curva. Ela, a lei, é semelhante à Lei de Gauss para o campo elétrico. dl r A Lei de Ampère é: µ dl =. (5) A Eq. (5) é uma integral de linha fechada onde é a curva que limita a área por onde passa a corrente que deve formar um circuito fechado. Experimento de Oersted ( vale a pena ver este simples experimento que mostra o efeito de uma corrente elétrica num fio condutor próximo a uma bússola. Exemplo álculo de devido a um fio comprido com corrente. Sabemos que o campo magnético, neste caso, é sempre tangente a uma circunferência de raio r e a melhor curva para calcular o campo é um círculo. µ dl = µ cos( θ ) dl = dl = π r = µ =. π r (6) Exemplo álculo do campo de um fio condutor de raio a conduzindo uma corrente. Este problema é semelhante ao anterior, porém, uma observação importante deve ser feita. A corrente que passa fora do círculo de raio r não contribui com o campo magnético dentro deste círculo. Neste caso, devido ao alto grau de simetria, o uso da Lei de Ampère é conveniente para o cálculo de. r a onsiderando que a corrente está uniformemente distribuída no interior do fio (ver figura abaixo), podemos dizer que a corrente que passa dentro do círculo de raio r (r < a) é: 3

4 J = π a = π r = r a. Aplicando a Lei de Ampère com a corrente dada pela equação anterior, obtemos: r µ dl = µ π r = µ ( r) = a π a r. Para r > a, a solução é mesma da Eq. (6). O comportamento de para o interior e exterior do fio é mostrado ao lado. a r 4 - Torque sobre Espiras com orrentes e Momento Magnético Motor simples 1 ( Motor simples ( A figura abaixo mostra uma espira dentro de um campo magnético conduzindo uma corrente elétrica. A espira tem lados com comprimentos a e b. De acordo com a Eq. 3 ( F = l ) não existe força magnética onde a corrente é paralela ao campo e assim, a força resultante sobre a espira são aquelas representadas por F 1 e F. A direção e o sentido das forças estão de acordo com a regra de produto vetorial. Existe torque se o plano da espira está na posição vertical? Veja que o módulo da força é dado por: F 1 = F = a. (7) z F x y a b n F 1 O torque (módulo) sobre as espiras exercidas pelas forças é: τ = F 1.(b/) + F.(b/) = F 1.b = ab = A. (8) A é a area da espira. 4

5 Obs. Lembre-se que o torque é definido como sendo o produto vetorial entre o vetor braço do momento e a força ( τ = r F ). O torque representa uma força que tende a girar ou rodar um objeto. O vetor n é um vetor unitário que representa a orientação da espira e está sempre perpendicular a esta. O seu sentido é determinado pela regra da mão direita. Assim, podemos representar uma forma generalizada para calcular a força sobre uma espira, ou seja, τ = An. (9) Veja que nenhum torque existe quando a espira (vetor normal) é paralelo ao campo magnético, porém, a força ainda existe, mas, como estão na mesma linha de ação, não há torque. Se a espira tem N voltas, então a Eq. (9) deve ser multiplicado por N. n 5 Definição de momento magnético A Eq. (9) pode ser reescrita da seguinte maneira: τ = m. (1) Onde m representa o momento magnético que é sempre perpendicular à espira e é dado por: m = An. (11) Por que a agulha de uma bússula sempre aponta para o norte? Na realidade, uma agulha de uma bússula é um ímã e está livre para girar de acordo com o campo resultante sobre ela. A bússola sempre aponta para o norte magnético porque o ímã tem um momento magnético permanente e, como já vimos, isto pode criar um torque na presença de um campo e assim girar a agulha. Vimos no ensino médio, pólos de sinais contrários se atraem e, no caso da bússola, o que vemos como sendo pólo norte da Terra, na verdade é o pólo sul magnético porque as linhas de campo entram no pólo sul e saem do pólo norte. No caso do campo geomagnético, as linhas de campo saem do interior da Terra no hemisfério sul. m m= An A declinação (ângulo entre o norte magnético e o norte geográfico) do campo geomagnético está representada na figura abaixo à esquerda. Podemos também definir latitudes magnéticas. O equador magnético é uma linha imaginária onde as linhas de campo são horizontais. 5

6 Latitudes geomagnéticas (esquerda) e declinação magnética (direita). 6 Definição de pólo magnético (q m ) Suponha uma barra imantada num campo magnético como mostrado na figura abaixo. Se o ponto central da barra está livre para girar, então o torque que atua sobre o ímã fará com que a barra gire até alinhar-se com o campo. l θ N F F S A intensidade do pólo magnético (q m ) é definido de tal forma que a força magnética sobre um pólo é dada por: F = q. (1) O pólo é positivo para o pólo norte e negativo para o pólo sul. O momento magnético de um ímã de comprimento l é dado por: m m = q l. (13) m Da Eq. (1) e da Eq. (13) podemos escrever que o torque sobre uma barra imantada é; τ = l. (14) q m Força magnética atuando nos pólos de uma barra imantada dentro de uma campo magnético 6

7 7 ndução Magnética Fluxo Magnético O fluxo magnético ( está relacionado com o número de linhas que passam por uma determinada área limitada por um circuito simples conduzindo corrente. Matematicamente ela é dada por: φ = nˆ A. A.cos( θ ). (15) m = A unidade no sistema MKS é o weber (Wb) que é igual a T.m. n θ Semelhante ao que vimos para lei de Gauss, o vetor unitário é o vetor perpendicular à superfície plana de área A. A figura ao lado mostra o campo magnético passando por uma superfície é simples perceber que, se o vetor unitário for perpendicular a nenhum fluxo passa pela superfície. A E se a superfície não for plana? Neste caso, uma superfície curva pode ser vista como sendo formada por várias superfícies infinitesimais planas de área A. Então, o fluxo magnético nesta área infinitesimal pode ser obtido a partir da equação 1, ou seja, φ = nˆ A. (16) mi i i O fluxo total é dado então pelo somatório de cada fluxo. φ m = lim nˆ i Ai. nˆ da A =. (17) i i S Para o caso em que temos N espiras (o que foi feito acima foi para uma espira ou circuito), o fluxo magnético é dado pelo Eq. 3 porem multiplicada por N. Exemplo Um campo magnético uniforme de G (, T) faz um angulo de 3 com o eixo de uma bobina circular de raio igual a 4 cm e tem 3 espiras. alcular o fluxo magnético que passa através da bobina. A superfície da seção transversal da bobina é um circulo de área igual a π r. Então o fluxo magnético é dado por: φ m = N A cos(3 ) = 3, 3,14,4,866 =,6 Wb. 7

8 Força Eletromotriz nduzida e Lei de Faraday Quando o fluxo magnético que passa através de um circuito é modificado, uma fem é gerada e é igual, em módulo, a taxa de variação do fluxo magnético. Esta fem, diferente da bateria, está distribuída em todo circuito, mesmo que este esteja aberto. A fem induzida sempre é gerada com a finalidade de manter o fluxo original. Veja estes links: ndução 1 ( ndução ( faraday_en.jar Na realidade, podemos variar o fluxo magnético que passa por uma espira de duas formas, ou variando o valor do campo magnético ou variando a área da espira (melhor, variando o n.a). Vimos no capítulo de potencial elétrico que a diferença de potencial elétrico sobre uma carga de prova era igual à integral do campo elétrico com o vetor deslocamento desta carga. Mas a fem é o trabalho efetuado por uma força associada a esta fem por unidade de carga (E=F/q), ou seja, existe um campo elétrico também associado a fem que é induzida ao longo do circuito quando o fluxo magnético varia. A fem, em função deste campo induzido numa espira, é dada por: ε = E dl (18) Lei de Faraday Para o caso de uma fem induzida, onde a força não é conservativa, a integral de linha da Eq. (18) é igual a: ε = dφm E dl = dt. (19) A Eq. (19) é conhecida como a Lei de Faraday e o sinal negativo se deve a direção contrária da forca induzida (Lei de Lens). Exemplo onsidere um campo magnético perpendicular ao plano da página e uniforme dentro de uma região circular de raio R conforme o desenho abaixo. Fora do círculo, o campo magnético é zero, mas, dentro do círculo, varia a uma taxa de d/dt. Mostre que o campo magnético variável induz um campo elétrico num circuito circular de raio r. 1º caso - r < R (só temos interesse no módulo de d/dt. Vamos utilizar inicialmente a Lei de Faraday (sem o sinal negativo), ou seja, dφm ε = E dl = dt Espira circular de raio R imerso num campo magnético. Fora de R o campo é nulo. 8

9 omo E é tangente a curva de raio r, então a integral de linha é igual a d d r d E π r = A = π r E =. * dt dt dt º caso - r > R. Neste caso, temos que levar em conta que o fluxo que passa por uma circunferência de raio r é dado por: = = π. φm A R Veja que para r > R não tem campo magnético, logo não tem fluxo. Por ouro lado, a integral de linha tem como resultado a seguinte expressão: E.πr. Levando estes resultados na Equação (19), obtemos: d d R d E π r = A = π R E =. ** dt dt r dt Os resultados acima (* e **) mostram que, ao se ter uma variação temporal no campo magnético, geramos um campo elétrico, também variável no tempo. Exemplo O fluxo magnético através de uma bobina é dado por φ 1 ( t ) ( t 4 t m = ) 1 T.m. onsidere t em segundos. alcule a fem (ε) induzida em função do tempo e b) fazer um gráfico de fluxo e fem em função do tempo. Suponha que as linhas de campo são perpendiculares ao plano da bobina. Neste caso temos que: UA,6 Fluxo e fem,4, , -,4 -,6 Fluxo magnético fem induzida -,8 tempo (s) dφm d EL = ε = = ( t 4t) /1 =,4,t ε =,4,t. dt dt Quando o fluxo não varia, a fem se torna nula; isto ocorre no tempo de segundos. O fluxo começa a crescer e a fem se torna negativa. Lei De Lenz A fem e a corrente induzidas têm uma direção que se opõe à variação que as provocou. 9

10 Em outras palavras: se o fluxo magnético que passa por uma espira está diminuindo, a fem induzida estará numa direção que tentará se opor à diminuição do fluxo, ou seja, ela tentará criar uma corrente que fará com que um campo magnético induzido seja criado e que tente manter o fluxo original. 8 Efeito Hall O Efeito Hall ( é o fenômeno pelo qual uma carga elétrica, ao passar por um condutor imerso num campo magnético, tende a seguir uma trajetória retilínea após ocorrer um acúmulo de cargas nas laterias do condutor. Este efeito permite determinar o sinal e o número de portadores de cargas. sto se deve ao equilíbrio entre a força magnética e a força elétrica sobre cada portador. As figuras abaixo mostram este efeito. A figura superior mostra a provável trajetória que a carga positiva irá seguir no momento que a corrente for estabelecida no condutor. Aqui, devido ao campo magnético, uma força magnética atuará sobre a partícula deslocando-a para a parte superior. om o acúmulo de cargas na parte superior e a falta de carga na parte inferior, um campo é estabelecido e uma força elétrica começa a aparecer. Se a condição de equilíbrio for alcançada, com força magnética igual em módulo a força elétrica, os portadores passarão em linha reta pelo condutor. Neste caso, uma ddp, denominada de voltagem Hall, é formada. Se ligarmos um fio entre a parte superior e a parte inferior da fita, então uma corrente é estabelecida e os elétrons (se estes forem os portadores) migram através do fio. Neste caso, o campo elétrico diminui fazendo com que novas cargas se movam para a superfície. ε F m w para trás ε F m v d w F e para trás Representação esquemática do Efeito Hall. A carga se desloca com velocidade v d dentro de um condutor de espessura w. 1

11 A ddp Hall é dada por: V = Ew v w (15) H = d A Eq. 15 é obtida quando igualamos a força elétrica (qe) e a força magnética (qv d ) que atuam sobre uma partícula que se desloca com velocidade v d. Pergunta: o que acontecerá se os portadores de carga forem negativos (elétrons, por exemplo)? Determinação do número de portadores A corrente elétrica, que é função da velocidade das cargas e da área do condutor, permite, fazendo uso da Eq. 15, obter o número de portadores por unidade de volume, ou seja, = nqvd A = nqvd t w n = =. (16) qt wv qtv d H t w 9 Força de Lorentz Vimos que se uma partícula carregada (carga) está dentro de um campo elétrico E a força elétrica que atua sobre esta carga é dada pela seguinte equação: F = q E. e Se a carga é positiva então a força sobre ela está na mesma direção do campo elétrico e o contrário ocorre se a carga for negativa. Neste caso, se a carga é deslocada por uma distância qualquer, então um trabalho foi realizado sobre esta. Suponha agora que neste mesmo espaço que se encontra a carga, também está presente um campo magnético. Neste caso, também já vimos que a força magnética que atua sobre esta carga, caso ela esteja com uma determinada velocidade v, é dada por: F = q v. m Ao contrário da força elétrica, a força magnética nunca realiza trabalho sobre a carga, pois, a força está sempre perpendicular ao deslocamento dela. Assim, se no espaço existe tanto o campo magnético como o campo elétrico, então a força resultante sobre esta carga é dada por: F = qe + q v. (17) A equação (17) é conhecida como a Força de Lorentz. 11

12 1 Ondas Eletromagnéticas: A natureza da Luz O Espectro Eletromagnético compreende uma larga faixa de ondas eletromagnéticas que vai desde os Raios Gama, passando pelos Raios X, ultravioleta, luz visível, infravermelho, ondas curtas, microondas até ondas longas. Estas ondas têm a propriedade de se propagar no vácuo com uma velocidade de, x 1 8 m/s. A velocidade de propagação da luz num meio transparente a ela, depende de seu índice de refração n, ou seja: v = c / n. (18) O índice de refração não só depende do meio mas também do comprimento de onda da luz. O espectro eletromagnético desde os raios gama até as ondas de rádio, está mostrado na figura abaixo. Espectro eletromagnético. A primeira coluna de números refere-se a frequência em Hertz (s -1 ) e a segunda ao comprimento em metros. A região do espectro visível está ampliada e ela localiza-se entre o infravermelho e o ultravioleta. Ela compreende ondas com comprimentos que variam de 4 a 7 nm. O Sol é uma fonte natural de radiação eletromagnética que vai desde os raios X (comprimentos entre,1 e 1Å) até o infravermelho. Abaixo vemos duas fotografias tiradas do Sol em 5/1/1 utilizando dois filtros distintos. A foto da esquerda foi tirada no comprimento de onda de 6768 Å enquanto a foto da direita foi tirada com um filtro de 171 Å que permite ver o UV extremo. Fotografia do Sol otida a partir de dois filtros de luz diferentes. Fonte: 1

13 Suponha que um observador, estacionado num ponto P, pudesse ver os vetores dos campos E e devido a uma OEM plana passando por ele. Depois de um determinado tempo, ele poderia fazer figuras do que tinha visto em intervalos regulares. Ele, então, percebe que os campos E e são perpendiculares e assumem valores máximos e mínimos. A figura abaixo mostra as configurações das linhas de campos quando uma onda plana passa por um observador no ponto P. Ele descreve, então, que uma OEM é formada por campos magnéticos e elétricos perpendiculares entre si e que estes assumem valores senoidais passando por máximos e mínimos. E campos fortes campos fracos campos mulos campos fracos campos fortes campos fracos campos mulos campos fracos Descrição de uma OEM feita por um observador num ponto P após quase um ciclo completo. Ele, o observador, representa os campos elétricos com setas claras e, os campos magnéticos, com setas pretas. As direções e sentidos dos campos também são representadas. Os valores dos campos estão relacionados com o número de linhas dentro do quadrado imaginário. Vela este link: Os campos, se a onda se propaga na direção +x, são matematicamente representados pelas seguintes equações: E = Em sen ( k x ω t). (19) = sen ( k x ω t). () m onde k = /λ é o número de ondas, λ é o comprimento de onda e w é a frequencia radial da onda (w = π f. A velocidade de propagação da onda é dada por: ω v = = λ f. (1) k 13

14 Produto Vetorial Por definição, temos que o produto vetorial entre dois vetores é: a b = nˆ a. b.sin θ. ( ) Teta é o ângulo entre a e b. O vetor resultante é perpendicular ao plano formado por a e b. O vetor unitário i, j e k para um dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades: i j = k, j k = i e k i = j om estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja: a = a 1 i + a j + a 3 k = [a 1, a, a 3 ] e b = b 1 i + b j + b 3 k = [b 1, b, b 3 ]. Então a b = [a b 3 a 3 b, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b a b 1 ]. A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz: i j k a b = a a a = i a b a b j a b a b + k a b a b ( ) ( ) ( ) b b b

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