Campo Magnético Girante de Máquinas CA
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- Ana Sofia Campelo Cabral
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1 Apostila 3 Disciplina de Conversão de Energia B 1. Introdução Campo Magnético Girante de Máquinas CA Nesta apostila são descritas de forma sucinta as equações e os princípios relativos ao campo magnético criado por enrolamentos de máquinas de corrente alternada, sejam eles monofásicos ou trifásicos. O conteúdo abordado se aplica tanto à máquinas assíncronas (máquinas de indução) como à máquinas síncronas, uma vez que os os enrolamentos do estator de ambas são construídos segundo os mesmos princípios. Os campos magnéticos no entreferro são de suma importância para o funcionamento das máquinas de CA, pois os processos de conversão de energia e indução de tensão estão diretamente relacionados com estes campos. Os campos magnéticos nas demais partes da máquina são em geral mais fracos que no entreferro e são por isso desprezados quando se analisa o comportamento das máquinas elétricas. A descrição dos campos no entreferro é tradicionalmente feita baseada no conceito de força magnetomotriz, a qual é abreviadamente escrita como MM e está diretamente relacionado com o a indução magnética (densidade de fluxo) no entreferro. Os conceitos de força magnetomotriz, fluxo, indução e relutância são, portanto, indispensáveis para o estudo de máquinas elétricas. Eles já foram abordados em disciplinas anteriores, aconselha-se neste ponto uma revisão destes conceitos, a fim de facilitar o entendimento do presente conteúdo. Deve-se salientar que, a exemplo das demais apostilas, a presente não inclui todos os detalhes pertinentes ao assunto. Para uma melhor assimilação do conteúdo, deve-se consultar a bibliografia recomendada. Em particular, o conteúdo desta apostila está baseado no capítulo 4 do livro "Máquinas Elétricas" do autor A. E. itzgerald, disponível na biblioteca. Além deste, praticamente todos os livros sobre máquinas elétricas contém o assunto aqui tratado.. Enrolamentos Monofásicos Considerando um enrolamento monofásico do tipo distribuído mostrado na figura 1, alimentado por uma corrente i a, obtém-se uma MM distribuida espacialmente sob um pólo na forma de escada, conforme mostra a figura 1, onde por conveniência apenas um pólo está representado. A mesma curva se repete para os outros pólos, alternando-secontudo o sentido do campo magnético, ou seja pólos negativos se alternam com positivos. Devido à forma construtiva das máquinas de corrente alternada, os processos de conversão de energia e indução de tensão estão relacionados praticamente apenas com a fundamental, o campo de maior interesse é aquele produzido pela componente fundamental da curva em escada da figura 1. A força magnetomotriz fundamental, denominada e representada de forma pontilhada na figura 1, é dada matematicamente pela expressão: 4 N ( ) K w ia cos ( ) (1) π p - ângulo elétrico medido a partir do eixo magnético do enrolamento
2 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA τ (passo polar ) () i a -i a figura 1 - MM criada por um enrolamento monofásico sob um pólo K w - fator de enrolamento N - número de espiras em série no enrolamento de fase i a - corrente que percorre o enrolamento p - número de pólos da máquina No caso de máquinas de corrente alternada, a corrente que percorre o é enrolamento é do tipo alternada senoidal, expressa matematicamente por: i a () t I cos ( ω () a I a - valor máximo corrente que percorre o enrolamento ω - velocidade angular (rad/s), determinada pela freqüência da corrente do estator A MM pode, então, ser escrita como: (, cos ( ) cos ( ω (3) é o valor máximo da onda fundamental da MM, expresso da seguinte forma: 4 N K w Ia (4) π p De acordo com a equação (3), a MM possui uma distribuição fixa no espaço e sua amplitude varia senoidalmente ao longo do tempo com a freqüência ω. A distribuição espacial da MM para três instantes de tempo diferentes está representada na figura. A expressão (3) é idêntica
3 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 3 t0 tt1 tt () τ (passo polar ) figura - MM pulsante criada por um enrolamento monofásico em três instantes de tempo diferente e sob um pólo à de uma onda pulsante, por esse motivo o campo produzido por um enrolamento monofásico também é chamado de campo magnético pulsante. Utilizando-se decomposições trigonométricas na equação (3), o campo magnético pulsante descrito por ela pode ser decomposto da seguinte forma: (, [ cos ( ω cos ( ω ] (5) (, (6) Na decomposição anterior foi utilizada a seguite relação trigonométrica: 1 cos( a) cos(b) [ cos (a b) cos (a b) ] (7) A equação (5) mostra que o campo pulsante pode ser decomposto em dois campos que se deslocam no espaço com a velocidade ω, mas em sentidos contrários. Cada um destes campos é chamados de campo magnético girante, uma vez que os mesmos descrevem um movimento circular. A amplitude de cada um dos campos é metade da amplitude do campo pulsante. O campo que gira no sentido considerado positivo é chamado de campo direto ( a 1 ) e o que gira no sentido contrário é chamado de campo inverso ( ). Cada um destes campos é expresso matematicamente como: cos ( ω (8)
4 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 4 (a) ( ) π π 0 ( ) (b) ωt ωt π π 0 figura 3 - decomposição MM criada por um enrolamento monofásico: (a) campo pulsante, (b) campos girantes inverso e direto equivalentes cos ( ω (9) A decomposição destes campos de forma gráfica é mostrada na figura 3a e 3b. Na figura 3a é mostrado o campo pulsante e na figura 3b são mostrados os dois campos girantes equivalentes. Em máquinas monofásicas apenas o campo direto (que gira no mesmo sentido que o rotor) produz um torque útil, o campo inverso produz um torque frenante. Por isso, em máquinas monofásicas procura-se imizar o campo direto e minizar o inverso. A teoria de campos pulsantes e girantes desempenha, desta forma, um papel primordial também na teoria das máquinas de corrente alternada monofásicas, especialmente no que toca ao sistema de partida.
5 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 5 O entendimento da decomposição acima é fundamental para a teoria de máquinas de corrente alternada, uma vez que no caso trifásico cada um dos enrolamentos produz uma campo magnético pulsante, que pode ser decomposto em dois campos girantes. Devido ao defasamento espacial dos campos de cada fase (dado pelo deslocamento espacial de 10 graus entre os enrolamentos) e deslocamento temporal (dado pela defasagem entre de 10 graus elétricos entre as correntes), a soma dos campos inversos dos enrolamentos é zero em todos os instantes de tempo. Por outro lado, a soma dos campos diretos produz um campo magnético girante resultante que percorre o estator. Desta forma, só existirá campo girante num sentido. 3. Enrolamentos Trifásicos O estator tanto da máquina de síncrona como da assíncrona pode ser composto de um enrolamento trifásico, o qual em geral é simétrico (ou seja, os três são idênticos no que se refere à distribuição e o número de espiras). Os eixos magnéticos dos enrolamentos estão defasados de 10 graus elétricos no espaço, conforme mostra a figura 4, onde por conveniência enrolamentos concentrados e de passo inteiro numa máquina com pólos são mostrados. Salienta-se que análise permanece, no entanto, válida para número de pólos maiores que e para enrolamentos distribuídos, desde que os mesmos sejam simétricos. A fundamental da MM individual de cada enrolamento estará assim defasada de 10 graus elétricos no espaço. Além disso, as fases são alimentadas por correntes defasadas 10 graus elétricos no tempo e com amplitudes iguais, conforme as equações: i i i a b () t I cos ( ω (10) m o () t I cos ( ω t 10 ) (11) m o () t I cos ( ω t 10 ) (1) c m I m - amplitude das correntes nas fases a, b, e c. De acordo com a equação (5), a MM individual da fase a é dada pela expressão: (, (13) cos ( ω cos ( ω (14) (15) 4 N K w Ia (16) π p De forma análoga os campos das demais fases são dados por: b1(, b1 b1 (17)
6 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 6 eixo da fase b a -c b b 10 0 c eixo da fase a -a eixo da fase c figura 4 -representação esquemática do arranjo dos enrolamentos trifásicos de máquinas de corrente alternada b1 b1 cos ( ω cos ( ω t 40) (18) (19) c1(, c1 c1 (0) c1 cos ( ω (1) c 1 cos ( ω t 40) () A MM resultante no entreferro será dada por: (, (3) b1 c1 Utilizando-se as expressões (13) a () pode-se constatar que os campos inversos somam zero, conforme citado anteriormente. A MM resultante é produzida, assim, apenas pela soma dos campos diretos, resultando:, b1 c1 ( (4)
7 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 7 (, [ cos ( ω cos ( ω cos ( ω ] (5) 3 (, cos ( ω (6) O campo magnético girante descrito pela equação (6) possui uma distribuição espacial senoidal com uma amplitude constante. O o ponto de máximo do campo se desloca no entreferro à velocidade dada por: ω π f (7) Na última equação, f é a freqüência de alimentação. A velocidade mecânica do rotor está relacionada com a velocidade do compo girante pela seguinte relação: ω m ω (rad/s) (8) p ou alternativamente 10 f n (rpm) (9) p Deve-se salientar que embora produzidos de forma distinta, o campo magnético resultante produzido pela MM de 3 enrolamentos defasados no tempo e no espaço de 10 graus elétricos é semelhante ao produzido pelo rotor de uma máquina síncrona.
8 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 8 Exercício Proposto 1 Considere a máquina elementar de dois pólos mostrada na parte superior da figura que segue. O modelo linearizado da máquina é mostrado na parte inferior da figura e serve de base para a análise que segue. A máquina possui apenas uma bobina de passo diametral (não encurtado) formada de 45 espiras e alimentada pela corrente i, conforme mostrado. O entreferro é simbolizado por δ e mede 0.7 mm. O comprimento axial da máquina é de 00 mm e o raio interno do estator simbolizado por R é de 80 mm. Considere a permeabilidade das partes compostas de ferro (estator e rotor) como sendo muito maior que o ar. Baseado nestes dados responda as questões que seguem. 1) Esboce a distribuição das linhas de fluxo na máquina. ) Considerando que exista apenas a bobina mostrada na figura, é possível haver conversão de energia elétrica em mecânica e vice-versa? Justifique a resposta. 3) Determine um caminho magnético apropriado para calcular o campo magnético e indique-o no modelo linearizado. Justifique a escolha feita. 4) Determine o campo magnético e a indução ao longo da superfície interna do estator e faça um gráfico do campo magnético e da indução versus o ângulo. 5) Determine a força magnetomotriz ao longo do estator e faça um gráfico da força magnetomotriz versus o ângulo. 6) Calcule o fluxo Φ sob um passo polar. O fluxo depende da posição do rotor? 7) Calcule o fluxo concatenado Ψ que atravessa a bobina. 8) Determine componente fundamental da força magnetomotriz e da indução no entreferro. 9) Determine a indutância da bobina. 10) O que acontece com a indutância ao se dobrar o entreferro? E o que acontece com a indutância ao se dobrar o comprimento axial da máquina? 11) Assumindo que o diâmetro do fio de cobre que forma a bobina é de 0.5 mm, determine a resistência da bobina. 1) Considerando que o valor eficaz da tensão senoidal que alimenta a bobina é de 110 V que a freqüência da rede de alimentação é de 60 Hz, determine a corrente que percorre a bobina; 13) Determine o ângulo de defasagem entre tensão e corrente na bobina. 14) aça um diagrama fasorial da tensão e corrente. 15) Determine a energia magnética armazenada na bobina? 16) Qual a potência aparente fornecida pela rede para a bobina? 17) Qual a potência ativa fornecida pela rede? Onde a potência está sendo consumida?
9 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 9 18) Considerando que a corrente que alimenta a bobina é do tipo senoidal, que tipo de campo magnético é criado por ela no entreferro? Calcule o campo direto e o campo inverso. 19) Considere que além da bobina mostrada na figura 5 existam mais duas bobinas defasadas 10 graus elétricos no espaço. Considere que as 3 bobinas estão sendo alimentadas por correntes alternadas trifásicas. Determine o campo magnético que elas produzem no entreferro. eixo magnético da bobina (a) δ R rotor i -i plano da bobina estator eixo magnético da bobina Rotor δ estator i -i τ (b) igura 5 : (a) máquina elementar de dois pólos, (b) modelo linearizado
10 Apostila 3 - Conversão de Energia B - Campo Magnético Girante de Máquinas CA 10 Exercício Proposto Repita o exercício proposto 1 considerando que a máquina possua 3 bobinas conectadas em série e com os eixos magnéticos defasados de 15 graus elétricos.
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