Sinais Senoidais. A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz) e o tempo é dado em segundos (s).

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1 Campus Serra COORDENADORIA DE AUTOMAÇÂO INDUSTRIAL Disciplina: ELETRÔNICA BÁSICA Professor: Vinícius Secchin de Melo Sinais Senoidais Os sinais senoidais são utilizados para se representar tensões ou correntes elétricas do tipo alternadas. A figura. mostra a forma de onda de uma tensão senoidal que pode ser escrita matematicamente da seguinte forma: v t =V máx sen t V máx V máx - V máx T Figura. Observe que as funções senoidais são periódicas, ou seja, realizam ciclos iguais em intervalos de tempos iguais. Ao tempo de duração de um ciclo de uma função periódica chamamos de período (T). O inverso do período é o número de ciclos realizados por segundo, ou freqüência (f) da função senoidal, sendo assim: f= T A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz) e o tempo é dado em segundos (s). É muito comum trabalharmos também com a freqüência angular dada em rad/s, cujas relações com freqüência e período seguem abaixo. = f e = T Observando as expressões acima, podemos concluir que a função senoidal realizará um ciclo, toda vez que t for um múltiplo inteiro de π rad. Um outro parâmetro a ser observado é a amplitude da função que no caso varia de um - V máx a um V máx, que são chamados de valores de pico. Se medimos tensões elétricas, serão as tensões de pico (V p ); se medimos correntes elétricas, serão as correntes de pico (i p ). Podemos ainda representar a sua amplitude pelos os valores de pico a pico (V pp ), que é a diferença entre o máximo e o mínimo alcançado pela função. Em alguns casos, podemos ter a função começando fora da origem, ou seja, defasada angularmente da origem. Esta defasagem é observada no argumento da função, é um número fixo representado em nossa função pela letra grega. Quando trabalhamos com tensões e correntes senoidais, devemos atentar ao seu valor eficaz, que é o valor de tensão ou corrente alternada que produz a mesma eficiência, leia-se potência, que uma tensão ou corrente contínua. Se você comparar o efeito térmico produzido em um resistor que é alimentado por uma tensão contínua de V e uma tensão alternada de V p, verá que esta é em torno de 7,7% da eficiência em relação àquela. Sendo assim, é fácil de se perceber que o valor de pico de uma tensão alternada deve ser maior que o seu valor eficaz. pg /

2 Sendo assim: V eficaz =,77V máx O valor eficaz de uma função senoidal, também conhecido com valor rms, é definido como a raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado, que também pode ser escrito como: V rms = V máx O valor rms de uma função senoidal não depende da freqüência e nem do ângulo de fase ou defasamento, e sim apenas de sua amplitude. O termo rms vem do original em inglês root mean square. Os valores nominais de tensão e corrente de equipamentos que funcionam em corrente alternada já são em valores eficazes, não necessitando assim a operação matemática para descobrir seu valor. Os aparelhos de medições de tensão e corrente senoidais ou alternadas também já nos fornecem em sua leitura os valores eficazes de tensão e corrente, com exceção do osciloscópios que nos mostram a forma de onda de tensão senoidal ou alternada. Exemplo :Dada as seguintes funções senoidais, determine suas amplitudes, freqüência, fase inicial e seu valor eficaz. a) v(t) = 8 sen (77t) [V] A=8 V =77rad/s f=77 f= 77 =6 Hz = o V rms = V máx V rms = 8 =7V b) i(t) = 5 sen (68,t 45 o ) [ma] A=5x A =68,rad/s f=68, f= 68, =Hz=kHz = 45 o i rms = i máx i rms= 5x =7,7x A pg /

3 c) v(t) = 75 sen (769,9t + 9 o ) [mv] A=75x A =769,9rad/s f=769,9 f= 769,9 =6Hz =9 o V rms = V máx V rms = 75 =5,4 V Exemplo : Dados o gráficos das seguintes funções senoidais, determine sua função matemática e seu valor eficaz. a) t ( s ) - Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico simétricos, ou seja: V p = V - Período: Observe que temos visivelmente um ciclo em um intervalo de,5 s, então: T=,5 s = 5 ms - Frequência: f= T =,5 =Hz 4- Frequência angular: = f =..=5,66rad/s 5- Defasamento: Como para t= s o valor da tensão é de V, então: = o 6- Expressão matemática: v(t) = sen (5,66t) [V] pg /

4 b) t ( s ) x - - Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico simétricos, ou seja: V p = 5 mv - Período: Neste caso temos metades de ciclo em ms, desta forma o período será: T=x =,66ms - Frequência: f= T = =5Hz,66x 4- Frequência angular: = f =..5=944,8rad/s 5- Defasamento: Como para t= s o valor da tensão é de V, então: = o 6- Expressão matemática: v(t) = 5 sen (944,8t) [mv] pg 4/

5 c), t ( s ) - Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico simétricos, ou seja: V p = V - Período: O ciclo se inicia entre, e, s, aproximadamente,5 s. O seu término acontece em, s, então: T =,,5 =,75 s - Frequência: f= T = =, Hz,75 4- Frequência angular: = f =..,=8,77rad/s 5- Defasamento: Como para t= s o valor da tensão é de,866 V, significa dizer que a onda está defasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidal substituindo os seguintes valores: v t =V máx sen t,866=sen x,866=sen =6 o 6- Expressão matemática: v(t) = sen (8,77t+6 o ) [V] pg 5/

6 d) , t ( s ) x Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico simétricos, ou seja: V p =,5 V - Período: O ciclo se inicia entre e,x -4 s, aproximadamente,8x -4 s. O seu término acontece em x -4 s, então: T = x -4,8x -4 =,9x -4 s - Frequência: f= T =,9x 4=869,56Hz 4- Frequência angular: = f =..869,56=6865,49rad/s 5- Defasamento: Como para t= s o valor da tensão é de,866 V, significa dizer que a onda está defasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidal substituindo os seguintes valores: v t =V máx sen t,5=sen x,5=sen = o 6- Expressão matemática: v(t) =,5 sen (6895,49t+ o ) [V] pg 6/

7 e) t ( s ) - Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda não possui os valores máximos mínimos simétricos, então dizemos que a mesma possui um offset (nível DC (contínuo) adicionado ao sinal senoidal), causando um deslocamento na vertical. Isto é fácil de se perceber, pois a sua referência não se encontra mais no eixo x, ou seja, em V. Neste caso procederemos da seguinte forma:.- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior e inferior: V offset = V V max min V offset = 4 =V.- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p =V max V offset V p =4 =V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = V. - Período: Neste caso temos metades de ciclo em, s, desta forma o período será: T=x, =,s - Frequência: f= T =, =5Hz 4- Frequência angular: = f =..5=4,6rad/s 5- Defasamento: Observe que para t= s, a tensão vale V. Apesar de possuir valor diferente se zero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora está em V. Sendo assim, = o. 6- Expressão matemática: Para o caso com offset, será da forma: v t =V offset V máx sen t v(t) = + sen (4,6t) [V] pg 7/

8 f) Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda também não possui os valores máximos mínimos simétricos, ou seja, possui um offset. Neste caso repetiremos os procederemos do exemplo anterior.- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior e inferior: V offset = V V max min V offset = 7 = V.- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p =V max V offset V p = =5 V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 5V. - Período: Neste caso podemos perceber claramente um ciclo: T=4ms - Frequência: f= T = =5Hz 4x 4- Frequência angular: = f =..5=57,79 rad/s 5- Defasamento: Observe que para t= s, a tensão vale V. Apesar de possuir valor diferente se zero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora está em V. Sendo assim, = o. 6- Expressão matemática: Para o caso com offset, será da forma: v t =V offset V máx sen t v(t) = + 5sen (57,79t) [V] pg 8/

9 g) 8, Amplitude ou valor de pico: Mais uma vez percebemos que nesta forma de onda, o valores máximos e mínimos da tensão não são simétricos, sendo assim, existe um offset. Utilizando as fórmulas anteriores temos: V offset = V max V min V offset = 9 =6V.- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p =V max V offset V p =9 6=V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = V. - Período: Observe que entre 5 e 8 ms temos meio ciclo da senóide, sendo mais preciso e por inspeção, podemos supor que o início ocorre em 5, ms sendo uma boa aproximação. Desta forma: T=x 8 5, =5,8ms - Frequência: f= T = =7,4Hz 5,8x 4- Frequência angular: = f =..7,4=8, rad/s 5- Defasamento: Como para t= s o valor da tensão é de 8, V 6 V (offset vide exemplos e) e f)), caracteriza um defasamento. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidal substituindo os seguintes valores: v t =V offset V máx sen t 8,=6 sen x 8,=6 sen sen = 8, 6 =,77 =45 o 6- Expressão matemática: v(t) = 6 + sen (8,t+45 o ) [V] pg 9/

10 Exemplo : Determine o valor instantâneo da seguinte função senoidal para os instantes de tempo: T/8; T/4; T/; 5T/8 e T/4. a) v(t) = + sen (5t + o ) conta: Primeiramente devemos transformar o defasamento de graus para radianos para se efetuar a rad = graus x 8 o rad = o x 8 o = 6 rad Reescrevendo então a expressão: v t = sen 5t 6 Calculando o período, temos: = T 5= T T =4,8ms - Para t = T/8 = 4,8/8 =,5 ms =,5x - s v t = sen 5.,5x 6 v t = sen,78,5 v t = sen, v t =,96 V - Para t = T/4 = 4,8/4 =,45 ms =,45x - s v t = sen 5.,45 x 6 v t = sen,5675,5 v t = sen,875 v t =,87 V - Para t = T/ = 4,8/ =,9 ms =,9x - s v t = sen 5.,9x 6 v t = sen,5,5 v t = sen,655 v t =,5 V - Para t 4 = 5T/8 = 5x4,8/8 =,65 ms =,65x - s v t 4 = sen 5.,65x 6 v t 4 = sen,9,5 v t 4 = sen 4,4 v t 4 =,4 V - Para t 5 = T/4 = x4,8/4 =,5 ms =,5x - s v t 5 = sen 5.,5 x 6 v t 5 = sen 4,75,5 v t 5 = sen 5,5 v t 5 =, V pg /

11 Exercícios: - Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = sen ( π t + o ). a) qual o período da tensão em milissegundos? b) qual a frequencia em Hz? c) qual o valor de v em t =,778 ms? d) qual o valor rms de v? e) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. - Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 4 sen (5,7 t + 6,87 o ). Determine: a) a frequencia em Hz. b) o período em milissegundos. c) valor rms de v. d) o defasamento em graus e radianos. e) o valor de v em t =, ms. f) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. - Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 5 + sen (5t + 5 o ). Determine: a) a frequencia em Hz. b) o período em milissegundos. c) valor rms de v. d) o defasamento em graus e radianos. e) o valor de v em t = 8, ms. f) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. 4- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = + 6sen (5t 65 o ). Determine: a) a frequencia em Hz. b) o período em milissegundos. c) valor rms de v. d) o defasamento em graus e radianos. e) o valor de v em t =,5 ms. f) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. 5- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 8sen (77t 5 o ). Determine: a) a frequencia em Hz. b) o período em milissegundos. c) valor rms de v. d) o defasamento em graus e radianos. e) o valor de v em t = ms. f) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. 6- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 5sen (5t + 55 o ). Determine: a) a frequencia em Hz. b) o período em milissegundos. c) valor rms de v. d) o defasamento em graus e radianos. e) o valor de v em t =, ms. f) esboçe o sinal para pelo menos ciclos. pg /

12 7- Dados os gráficos a seguir, escreva suas respectivas funções matemáticas. a), b) c) pg /

13 d) e) f) - -, pg /