Propriedades Termodinâmicas do Modelo de Hubbard Unidimensional no Limite Uniforme

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1 SCIENTIA PENA VO. 1, NUM Propriedades Termodinâmias do Modelo de Hubbard Unidimensional no imite Uniforme (Thermodynami Properties of the One-dimensional Hubbard Model in the Uniform imit F. A. G. Almeida e C. A. Maedo Departamento de Físia, Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, SE, Brasil falmeida@fisia.ufs.br (Reebido em 01 de março de 005; aeito em 15 de março de 005 Visando o entendimento de propriedades termodinâmias de sistemas de elétrons fortemente orrelaionados, estudamos numeriamente, no emsemble grande anônio, energia interna, alor espeífio, entropia, magnetização e suseptibilidade magnétia em função da temperatura do modelo de Hubbard unidimensional sem transferênia de momento nas interações. Os resultados foram obtidos para diversos valores da interação intra-sítio U e de ampo magnétio externo apliado h. Foram observadas diferenças entre esse modelo e o modelo de Hubbard original em relação ao número de pios do alor espeífio e ao omportamento da suseptibilidade em temperaturas tendendo a zero. Essas diferenças evideniam que os dois modelos possuem estruturas de orrelação magnétias diferentes. Palavras-have: propriedades termodinâmias, sistemas de elétrons fortemente orrelaionados, redes unidimensionais. In order to ontribute to understand well the thermodynami properties of strongly orrelated eletron systems, we study numerially, in the grand anonial ensemble, the temperature dependene of the internal energy, speifi heat, entropy, magnetization, and magneti suseptibility of the one-dimensional Hubbard model without transferene of moment in the interations. The results have been obtained for a wide range of values of the on-site Coulombian repulsion U and of the external magneti field h. Differenes between this model and the original Hubbard model have been observed in relation to the number of peas of the speifi heat and to the behavior of the suseptibility in temperatures tending to zero. These differenes evidene that the two models possess different magneti strutures of orrelation. Keywords: thermodynami properties, strongly orrelated eletron systems, one-dimensional latties. 1. INTRODUÇÃO O Modelo de Hubbard 1 tem sido um dos mais usados para desrição das propriedades de sistemas de elétrons orrelaionados em redes atômias ristalinas. Seu hamiltoniano para uma rede no espaço real tem um signifiado físio muito nítido e é dado por H = t i ( i δ U n n, (1 i, δ, em que o primeiro termo representa a dinâmia intersítios (hopping, araterizado pela energia de transferênia t entre sítios vizinhos (δ = ±1, i e i são respetivamente os operadores de riação e destruição de elétrons no sítio i om spin (up ou down. O segundo termo do hamiltoniano (1 representa a interação oulombiana intra-sítio de magnitude U, em que ni i i é o operador número de oupação de i. Usando as seguintes transformações de Fourier j j 1 = 1/ 1 = 1/ e e 6 r r i. j r r i. j i i i, (, (3 onsiderando uma adeia fehada om sítios e adiionando o efeito Zeeman devido a um ampo magnétio estátio e uniforme B z na direção z, temos o hamiltoniano de Hubbard expresso no espaço de momentos

2 F. A. G. Almeida e C. A. Maedo, Sientia Plena 1 (1: 6-10, U H = ε n q ' q ', (4, ', q z em que ε t os( a h, sendo a a distânia entre os sítios e h µ B. B No segundo termo de (4 está explíita a transferênia de momento q entre elétrons de spins opostos na interação oulombiana. A fig. 1 mostra esquematiamente a interação oulombiana om a transferênia de momento. Figura 1. Ilustração da transferênia de momento entre elétrons de spins opostos na interação. No limite uniforme a transferênia de momento é nula (q = 0. Sendo assim o hamiltoniano do modelo de Hubbard unidimensional no limite uniforme é U H = ε n, (5 ' ' ' mas omo n = e o operador número total de elétrons om spin é N n, fiamos om U H = ε n N N. (6 O segundo termo do hamiltoniano (6 representa a interação em bloo de todos elétrons de um estado de spin om todos os outros de spin oposto não dependendo da posição ou do momento de ada um, ou seja, ada elétron interage igualmente om todos elétrons de spin oposto. O hamiltoniano (6 é diagonal, diferente do hamiltoniano do modelo de Hubbard original. Esse hamiltoniano simplifiado failita o álulo de algumas propriedades termodinâmias úteis para o entendimento de sistemas de elétrons fortemente orrelaionados.. METODOOGIA O hamiltoniano (6 atua sobre uma base ortonormal do espaço de Hilbert de dimensão 4, já que são sítios e ada um pode ser onfigurado de quatro formas: vazio [0], um elétron up [ ], um elétron down [ ], ou dois elétrons de spins opostos [ ]. O espetro de energia do sistema é obtido diretamente, já que o hamiltoniano é diagonal. Da mesma forma, alulamos os espetros dos operadores número total de spin up (N e down (N. Com esses três espetros, um valor de potenial químio µ e de temperatura T alulamos as grandezas termodinâmias através do ensemble grande anônio. Como o sistema que queremos estudar é meio-heio, o valor de µ esolhido é fixo e igual a U/, independente da temperatura 3. Todas propriedades termodinâmias são aluladas em função da temperatura do sistema para diversos valores de U, h e. Extrapolamos os resultados para o limite termodinâmio (, usando o método de regressão linear para ada grandeza em função de 1/.

3 F. A. G. Almeida e C. A. Maedo, Sientia Plena 1 (1: 6-10, PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS Para mostrar efeitos importantes do modelo de Hubbard no limite uniforme, onsideramos alguns valores de U e h para estudar a energia interna, alor espeífio, entropia, magnetização e suseptibilidade magnétia. A. Energia interna A energia interna média <E> é obtida através do espetro de energia, proveniente do hamiltoniano (6. A fig. mostra o omportamento da energia interna em função da temperatura. Perebemos, em baixas temperaturas, uma suave mudança de onavidade da urva da energia interna apenas para U/t = 1 em 0,035. À medida que U rese, essa mudança de onavidade deixa de aonteer nessa faixa de temperatura, mas outra mudança de onavidade oorre para os três valores de U em temperaturas mais elevadas e diferentes para ada valor de interação. As mudanças de onavidade são deorrentes de alterações da orrelação eletrônia por efeito da variação da temperatura. 1,5 1,75 1,50 1,0 1,5 <E>/(t 0,5 0,0-0,5 / 1,00 0,75 0,50 0,5-1,0 0,00 Figura. Energia interna em função temperatura para um anel om U/t = 1, 4 e 8, e h = 0. Figura 3. Calor espeífio em função temperatura para um anel om U/t = 1, 4 e 8, e h = 0. B. Calor espeífio Fazendo a derivada da energia interna por sítios em relação à temperatura, obtemos o alor espeífio (fig. 3. Os pios que oorrem nas urvas de alor espeífio em função da temperatura estão relaionados às mudanças de onavidades das urvas de energia interna. Notamos um pequeno e estreito pio em 0,035 e outro mais largo em torno de 0,65 para U/t = 1. Já para U/t = 4 e U/t = 8, o alor espeífio possui apenas um pio em 0,55 e 1,18 respetivamente. A existênia de apenas um pio na urva de alor espeífio para valores grandes de interação expliita uma forte diferença em relação ao omportamento do modelo de Hubbard original, que nessa situação apresenta dois pios 4. C. Entropia A entropia é alulada através da derivada em relação à temperatura do grande potenial. A fig. 4 mostra que a entropia é nula, em T = 0, para os três valores de interação. Para U/t = 1 e U/t = 4, o omportamento da urva é aproximadamente linear e para U/t = 8, a entropia permanee nula em temperaturas baixas < 0,3.

4 F. A. G. Almeida e C. A. Maedo, Sientia Plena 1 (1: 6-10, ,5 1,0 1,00 0,8 S/( 0,75 0,50 <M>/(µ Β 0,6 0,4 h = 0,3t h = 0,6t 0,5 0, h = 0,1t 0,00 Figura 4. Entropia em função temperatura para um anel om U/t = 1, 4 e 8, e h = 0. 0,0 Figura 5. Magnetização em função temperatura para um anel om h = 0,1; 0,3; e 0,6; e U/t = 4. D. Magnetização O valor médio da magnetização <M>/µ B é obtido a partir da diferença entre <N > e <N >. A fig. 5 apresenta a magnetização em função da temperatura para três valores de ampo magnétio. Podemos observar que para h/t = 0,6 o sistema fia om magnetização máxima (<M>/(µ B =1 em temperaturas baixas, enquanto para h/t = 0,3 o sistema exibe em baixas temperaturas uma magnetização bem menor que a máxima. E. Suseptibilidade magnétia A suseptibilidade magnétia χ por µ B é obtida pela derivada em relação ao h de <M>/µ B, om h 0. Seu omportamento em função da temperatura, está na fig. 6. Notamos que para U/t = 8, χ/(µ B ² diverge quando a temperatura é zero, aso que no modelo de Hubbard original não aontee χ/(µ Β Figura 6. Suseptibilidade Magnétia em função temperatura para um anel om U/t = 1, 4 e 8, e h = 0.

5 F. A. G. Almeida e C. A. Maedo, Sientia Plena 1 (1: 6-10, CONCUSÃO Diferenças relevantes entre o modelo de Hubbard no limite uniforme e o modelo de Hubbard original foram destaadas nas urvas de alor espeífio e suseptibilidade magnétia em função da temperatura para U/t = 8. Isso implia que quando se despreza a transferênia de momento entre elétrons para valores grandes de interação as orrelações magnétias são bastante afetadas. 5. AGRADECIMENTOS Agradeemos ao CNPq e a FAP-SE pelo apoio finaneiro e ao professor André M. C. Souza pelas sugestões para o método de extrapolação para o limite termodinâmio. 1. HUBBARD, J.. Eletron orrelations in narrow energy bands. Pro. Roy. So. A76: 38-57, REICH,. E.. A Modern Course in Statistial Physis. Austin: University of Texas Press, KENNEDY, T.; IEB, E. H.. An itinerant eletron model with rystalline or magneti long range order. Physia A, 138: , SHIBA, H.; PINCUS, P. A.. Thermodynami of the One-Dimensional Half-Filled-Band Hubbard Model. Physial Review B, 5: , 197.