Cadeia de spins do Modelo XY

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1 Cadeia de spins do Modelo XY Matheus de Oliveira Schossler 6 de dezembro de 014 Resumo Neste trabalho introduzimos o formalismo de segunda quantização, definindo o espaço de Foc e obtendo a álgebra dos operadores criação e aniquilação de férmions. Com esses resultados escrevemos o Hamiltoniano de uma cadeia de spins do Modelo XY como o de férmions não interagentes sem spin utilizando a transformação de Jordan-Wigner. Por fim fazendo a transformada de Fourier chegamos em uma forma diagonal para o Hamiltoniano e calculamos a energia estado fundamental. 1 INTRODUÇÃO Um dos problemas de interesse em física da matéria condensada é o Modelo XY para uma cadeia de spin-1/ em uma dimensão, com Hamiltoniano H XY = J N (Si x Si+1 x + Sy i S y i+1 ). Vários sistemas com este Hamiltoniano i=1 podem ser encontrados ou simulados com átomos frios. Ao longo deste trabalho vamos fornecer ferramentas para que no fim possamos diagonalizá-lo. A dimensão do espaço de Hilbert desse sistema cresce exponencialmente com o número de spins tornando inviável a diagonalização numérica no limite termodinâmico. Para contornar este problema podemos observar certa semelhança entre os operadores de spin-1/, S ± e S z, e os operadores de criação e aniquilação de férmions, no espaço de Foc. A transformação de Jordan-Wigner faz esse mapeamento entre os dois espaços, e assim podemos escrever o Hamiltoniano conhecido do Modelo XY como o de férmions não interagentes [1]. Ao longo da primeira seção estudaremos o formalismo de segunda quantização. Começaremos recapitulando a definição de bósons e férmions. Em seguida definiremos o espaço de Foc como sendo a soma direta dos espaços de números fixos de partículas. Veremos que ele pode ser gerado pelos operadores de criação e aniquilação a partir do estado de vácuo. E então obteremos a álgebra desses operadores []. Na última seção daremos uma intuição da similaridade do problema spin-1/ e partícula-buraco fazendo uma comparação entre os estados de 1 spin (up ou down) e de um sítio de férmions (número de ocupação n = 0, 1). E finalmente partimos para a definição da transformação de Jordan-Wigner: Si z a i a i 1, S i c i = a i exp(iπ a j a j), S + i c i = a i exp( iπ a j a j). Mostraremos que a álgebra dos operadores S ± e S z no espaço dos spins é preservada com os operadores a i a i 1, c i e c i no espaço de Foc. Isto é, mostraremos que todas relações de comutação são iguais entre os respectivos operadores nos dois espaços. Logo no final deste capítulo escreveremos o Hamiltoniano do Modelo XY em função dos operadores de criação e aniquilação de férmions [1], [3] e discutiremos o seu significado. Por fim mostraremos que o Hamiltoniano H XY possuí forma diagonal no espaço dos momentos dos férmions. E calcularemos a energia do estado fundamental. SEGUNDA QUANTIZAÇÃO Nesta seção vamos abordar o formalismo da segunda quantização obtendo a álgebra dos operadores de criação e aniquilação para férmions e bósons. Se considerarmos um sistema em que todas partículas são idênticas, é muito razoável pensar que se permutarmos duas delas, o sistema físico deve ficar inalterado, assim podemos concluir que a informação de qual o estado em que cada partícula está não é necessária para uma boa descrição. É importante sabermos o número de partículas em cada estado, isto é, conhecer o número de ocupação n α de cada estado α i. Em linguagem de segunda quantização, a pergunta correta seria quantas partículas está em um estado, não o estado de cada partícula. Isto resume a noção de indistinguibilidade da mecânica quântica. Com base nessa propriedade, podemos introduzir a seguinte notação para descrever o estado físico desses sistemas: 1 n 1, n,..., n α,... = N! n α! α σ ξ 1 εσ P σ α n 1 1, α n,..., α n α i,..., (1) 1

2 onde ξ = + se as partículas forem bósons, neste caso o operador S + é o de simetrização; e ξ = se as partículas forem férmions, onde S é o operador de antisimetrização. E P σ é o operador de permutação. Definimos ε σ sendo ± conforme a paridade do operador de permutação P σ, isto é, se os números possíveis de operadores de transposição (aqueles que permutam somente duas partículas) o qual P σ pode ser decomposto for par (paridade é par) então ε σ = +, caso contrário, for ímpar (paridade é ímpar) ε σ =. E como vimos no projeto do semestre anterior n α N para bósons e n α = 0, 1 para férmions devido ao princípio de exclusão de Pauli. Lembrando ainda que os n α possuem o vínculo n α = N. Veremos mais tarde que retirar o vinculo sobre n α é bastante conveniente, o que nos permite introduzir a segunda quantização. Dessa forma convém definir um espaço como sendo a soma direta dos espaços para N partículas (N bósons ou N férmions). Para esse espaço damos o nome de espaço de Foc. Notemos que existe no espaço de Foc o estado em que não há partículas, chamaremos esse estado de estado de vácuo e o denotaremos por 0, isto é, 0 = 0, 0,..., 0,.... A segunda quantização é em princípio o tratamento dos estados físicos do sistema com de operadores de criação e aniquilação de partículas. Esses operadores são capazes de ligar os diferentes subespaços contendo números diferentes de partículas do espaço de Foc. Uma analogia desses operadores no espaço de Foc está na solução do oscilador Harmônico com os operadores escada a e a, que atuam em estados resultando estados menos ou mais energéticos. Finalmente vamos definir o operador de criação no estado α do espaço de Foc da seguinte forma: a α n 1, n,..., n α, ξ n α ξ Sα n 1, n,..., n α + 1,..., () em que ξ = + para bósons e ξ = para férmions, e S α = α 1 anteriores a α. Se nós calcularmos o conjugado Hermitiano de a α: l=1 n l nos diz quantas partículas existem nos estados n 1, n,..., n α,... a = n 1, n,..., n α,... ξ S α 1 + ξ nα, (3) se fizermos o produto do estado acima pelo conjugado Hermitiano de um estado qualquer n 1, n,..., n α,..., conseguimos obter o operador de aniquilação: a n 1, n,..., n α,... = n α ξ S α n 1, n,..., n α 1,.... (4) Vamos agora extrair a álgebra dos operadores a e a, consideraremos α < β: a αa β n 1, n,..., n α,..., n β,... = 1 + ξn β ξ S β a α n 1, n,..., n α,..., n β + 1,..., invertendo a ordem dos operadores acima = 1 + ξn β ξ S β 1 + ξnα ξ S α n 1, n,..., n α + 1,..., n β + 1,..., (5) a β a α n 1, n,..., n α,..., n β,... = 1 + ξn α ξ S α a β n 1, n,..., n α + 1,..., n β,..., comparando as equações (5) e (6) vemos que: = 1 + ξn α ξ Sα 1 + ξnβ ξ (1+S β) n 1, n,..., n α + 1,..., n β + 1,..., (6) a αa β = ξ a β a α [a α, a β ] ξ = 0. (7) Vale lembrar que este resultado foi obtido para α β. Para α = β é imediato para bósons, pois qualquer operador comuta como ele mesmo, enquanto que para férmions a αa α n 1, n,..., n α,... = 0 para qualquer n 1, n,..., n α,... pois n α = 0, 1. Mas é claro, chegaríamos neste mesmo resultado trabalhando somente com os operadores de criação. Calculando o conjugado Hermitiano das equações (7), obteríamos a mesma relação para os operadores de aniquilação: [a α, a β ] ξ = 0. (8) Agora vamos calcular a relação de comutação entre operadores de aniquilação e criação, se α < β: enquanto que: a α a β n 1, n,..., n α,... = 1 + ξn β ξ S β n α ξ Sα n 1, n,..., n α 1,..., n β + 1,..., (9) a β a α n 1, n,..., n α,... = n α ξ Sα 1 + ξnβ ξ (S β 1) n 1, n,..., n α 1,..., n β + 1,..., (10)

3 Obtemos então para α β: a α a β = ξ a β a α [a α, a β ] ξ = 0. (11) Para α = β vamos prosseguir primeiro calculando a αa α e observando que este é um operador bastante útil, pois informa o número de partículas n α no estado α: a αa α n 1, n,..., n α α,... = ξ Sα n α ξ Sα 1 + ξ(nα 1) n 1, n,..., n α,..., = n α (1 ξ) + ξnα n 1, n,..., n α α,.... (1) tanto para bósons (ξ = 1) ou férmions (ξ = 1) a relação n α (1 ξ) + ξnα = n α, o primeiro caso é imediato, já o caso ξ = 1 é necessário lembrarmos que n α = 0, 1. Assim encontramos o operador número: Vamos agora verificar a ação do operador a α a α: a αa α n 1, n,..., n α,... = n α n 1, n,..., n α,.... (13) a α a α n 1, n,..., n α,... = 1 + ξn α nα + 1 n 1, n,..., n α,..., (14) novamente devemos separar em dois casos, bósons e férmions (lembrando-se do número de ocupações possíveis). Finalmente verificamos que: [a α, a β ] ξ = δ α,β. (15) Então obtemos a álgebra dos operadores de criação e aniquilação no espaço de Foc, para bósons (ξ = 1) e férmions (ξ = 1) resumidos nas equações (7), (8) e (15) válidos para quaisquer α e β. 3 A TRANSFORMAÇÃO DE JORDAN-WIGNER A diagonalização do Hamiltoniano do Modelo XY para um número arbitrário de spins é um tanto trabalhosa. Como o espaço de estados é o produto tensorial do espaço de estados de cada spin, a dimensão do espaço E S dos sistema dobra a cada spin adicionado na cadeia. Isto é, a dimensão de E S será N, onde N é número de spins na cadeia, desta forma a diagonalização numérica se tornaria impossível no limite termodinâmico. A transformação de Jordan-Wigner faz o mapeamento do problema de cadeias de spins em um problema de férmions. E H XY será escrito em termos dos números de ocupação de férmions, como mostraremos nesta seção Vamos agora fazer um paralelo entre os operadores de spin (S ± e S z ) e os operadores de criação e aniquilação de férmions definidos na seção anterior. Vimos que o número de ocupação para férmions pode ser n = 0, 1 enquanto que os spins podem ser up (+) ou down (-), assim podemos associar os estados de um spin aos números de ocupação para férmions de um estado, e verificarmos que à ação dos operadores é consistente, isto é: + 1, 0. (16) Se aplicarmos os operadores S ±, S z, a e a com = 1 e lembrando da definição do operador número dada pela equação (13), temos: S + = a 1 = 0, S + = + a 0 = 1, S z ± = ± 1 ± (a a 1 ) n = ± n, n = 0, 1. (17) Vemos que existe uma grande analogia do problema de um spin e o problema de 1 partícula-buraco. Relembremos o Hamiltoniano de uma cadeia de N spins 1/ em cadeia aberta do Modelo XY: H XY = J (Si x Si+1 x + S y i S y i+1 ). (18) i=1 Deixando em função dos operadores S ± i e S z i, obtemos: H XY = J i=1 1 (S+ i S i+1 + S i S + i+1 )]. (19) 3

4 Se os operadores de criação e aniquilação para férmions comutassem para diferentes sítios i, poderíamos fazer uma transformação linear entre esses operadores e os operadores de levantamento, entretanto a álgebra dos operadores a i e a i obedecem as equações (7), (8) e (15) para ξ = : {a i, a j } = 0, {a i, a j } = 0, {a i, a j } = δ i,j. (0) Mas sabendo como os operadores S ± i e Si z atuam no espaço de estados de dois spins i e j, é fácil verificar que esses operadores obedecem a álgebra: {S ± i, S± i } = {S i, S+ i } = 0, (a) {S i, S+ i } = 1, (b) [S ± i, S± j ] = [S i, S+ j ] = 0, i j, (c) [S z i, S ± i ] = ±S± i (d) [S + i, S i ] = Sz i. (e) (1) vemos que para sítios diferentes os operadores S ±, S z, a e a não seguem a mesma álgebra. A transformação de Jordan-Wigner resolve este problema: S z i a i a i 1, S i S + i c i = a i exp(iπ a j a j), c i = a i exp( iπ a j a j). () No apêndice deste trabalho mostramos que a álgebra dos operadores S ± i e Si z é preservada no espaço de Foc com os operadores c i e c i. Isto é, as equações (1) é preservada para os c i e c i: {c i, c i } = {c i, c i } = 0, (a) {c i, c i } = 1, (b) [c i, c j ] = [c i, c j ] = [c i, c i ] = 0, i j, (c) [(a i a i 1 ), c i ] = c i, [(a i a i 1 ), c i] = c i, (d) [c i, c i] = (a i a i 1 ). (e) (3) Escrevendo o Hamiltoniano do Modelo XY em função dos operadores a i e a i: S i+1 = a i exp( iπ i a a ) a i+1 exp(iπ a a ), S + i = a i a i+1 exp( iπ a a ) exp(iπ = a i a i+1 exp(iπa i a i), i a a ), como neste termo existe um operador de criação no sítio i, então só vai ser diferente de zero se n i = 0, assim: Para o segundo termo, temos: S i S + i S i+1 = a i a i+1. (4) S + i+1 = a i exp(iπ a a ) a i+1 exp( iπ = a i a i+1 exp(iπ a a ) exp( iπ = a i+1 a i exp( iπa i a i), i a a ), i a a ), 4

5 neste termo existe um operador de aniquilação no sítio i, então desta vez temos: S i S + i+1 = a i+1 a i. (5) Por fim, juntando os termos, encontramos o Hamiltoniano do Modelo XY escrito em função dos operadores de criação e aniquilação de férmions no espaço de Foc: H XY = J i=1 1 (a i a i+1 + a i+1 a i), (6) um Hamiltoniano de uma cadeia aberta de férmions em que os termos a i a i+1 e a i+1 a i, chamados termos de hopping, atuam como termos cinéticos de férmions, isto é, criam um férmion em um sítio e aniquilam no sítio vizinho. 4 CADEIA FECHADA DE SPINS Consideremos o Modelo XY para uma cadeia fechada. Neste sentido, queremos impor as condições periódicas de contorno, S i+n = S i. Como escrevemos anteriormente, o Hamiltoniano desse modelo é dado por: H XY = J (S + j S j+1 + S j S+ j+1 ). (7) O caso J > 0, como vimos, descreve uma cadeia antiferromagnética; enquanto que o caso J < 0 uma ferromagnética. Consideremos o caso em que J > 0. Podemos mostrar que este Hamiltoniano pode ser mapeado com uma transformação canônica no Hamiltoniano de uma cadeia ferromagnética. Vamos supor que o número, N, de spins na cadeia é par; e definamos os operadores Ŝ+ i = ( 1) i S + i e Ŝ i = ( 1) i S i. Então o Hamiltoniano da cadeia antiferromagnética ficará da seguinte forma: H XY = J (Ŝ+ j Ŝ j+1 + Ŝ j Ŝ+ j+1 ). (8) Ou seja, fazendo uma rotação de π em relação ao eixo z nos sítios ímpares conseguimos mapear um problema de cadeia antiferromagnética em uma cadeia ferromagnética. Usando a transformação de Jordan-Wigner, o Hamiltoniano do problema na versão fermiônica fica: H XY = J N 1 (a j a j+1 + a j+1 a j) + H b, (9) onde H b é o termo de borda. E usando a periodicidade da cadeia, temos: H b = Ŝ+ N Ŝ N+1 + Ŝ N Ŝ+ N+1 = Ŝ+ N Ŝ 1 + Ŝ N Ŝ+ 1. (30) Para deixarmos H XY em função dos operadores de criação e aniquilação precisamos escrever H b em termos desses operadores. Vamos calcular o primeiro termo Ŝ+ N Ŝ 1, o segundo será o seu conjugado Hermitiano, N 1 Ŝ + N Ŝ 1 = a N exp( iπ a a ) a 1 = a N exp( iπn f ) exp(iπa Na N ) a 1 = exp( iπn f ) a N exp(iπa Na N ) a 1, (31) em que N f é número total de férmions contidos nos N sítios. O operador a N exp(iπa Na N ) pode ser facilmente calculado pensando como ele age em um estado do espaço de Foc, se o número de ocupação n N = 0, a exponencial será 1 e o operador de criação a N irá criar uma partícula no sítio N; caso n N = 1 a exponencial irá ser 1, mas o operador de criação atuará e o resultado será zero, portanto a N exp(iπa Na N ) = a N. E obtemos: Ŝ + N Ŝ 1 = ( 1)N f a Na 1. (3) Usando a equação acima podemos escrever o Hamiltoniano H XY da seguinte forma: onde colocamos as condições de contorno sobre o a N+1 de acordo com N f : H XY = J (a j a j+1 + a j+1 a j), (33) 5

6 Se N f é par, então a N+1 = a 1 Se N f é ímpar, então a N+1 = a 1. H XY é simplesmente o Hamiltoniano de férmions livres sem spin. Para calcular N f podemos simplesmente usar a transformação de Jordan-Wigner na componente z somando sobre todos os sítios, Sj z = (a j a j 1 ); (34) definido S z = N Sj z como a magnetização total da cadeia e lembrando que N a j a j = N f, N f = S z + N. (35) Agora vamos fazer a transformada de Fourier de H XY para obtermos as energias de cada estado no espaço dos momentos. Escrevendo os operadores a j e a j em função dos operadores de criação e aniquilação no espaço dos momentos, a j = 1 e ij ψ ; a j = 1 e ij ψ. (36) N N Para sabermos os Ks possíveis, devemos impor a condições de contorno do a N+1: Se N f é par vimos que a N+1 = a 1, deixando em função de ψ, implica que e in = 1, e portanto os s possíveis são: Se N f é ímpar vimos que a N+1 = a 1, deixando em função de ψ, implica que e in = 1, e portanto os s possíveis são: Podemos escrever H XY em função dos ψ : Considerando que 1 N H XY = J 1 e i(n+1) ψ = 1 e i ψ, (37) N N = π N (n + 1 ), n = 0, ±1,..., N ; (38) 1 e i(n+1) ψ = 1 e i ψ, (39) N N = π N n, n = 0, ±1,..., N. (40) ( 1 N = J [( 1 N, e i( )j = δ, temos:, e i( )j e i ψ ψ + c.h.) e i( )j )e i ψ ψ + c.h.]. (41) o que implica, finalmente: H XY = J (e i ψ ψ + c.h.), (4) H XY = J cos()ψ ψ. (43) 6

7 Figura 1: Relação de dispersão para cadeia antiferromagnética. J Π Π Π Π J Podemos ainda definir as energias ε = Jcos(); e os números de ocupação no estado de momento, n = ψ ψ e escrever o Hamiltoniano H XY de forma mais simplificada: H XY = ε n, (44) isto é, H XY é a soma das energias relacionadas a cada momento, vezes o número de ocupação nesse estado. Vemos que esse Hamiltoniano encontra-se na forma diagonal no espaço dos momentos, uma vez que só depende do número de ocupação n do momento. A energia do estado fundamental, por definição, é a menor energia que o sistema poderia permanecer. Olhando para a fígura (1), da relação de dispersão ε verificamos que a menor energia se dá quando só existem estados ocupados para π. Assim a energia do estado fundamental é: E gs N = 1 π/ ε d = J π π/ π (45) E gs N = J π Observemos que neste caso o número de estados ocupados no espaço dos momentos é exatamente metade do número de estados e de sítios na cadeia de spin. Da equação (35) vemos que o spin total na direção z é zero. 5 CONCLUSÃO Neste trabalho apresentamos o formalismo de segunda quantização e definimos o espaço de Foc, construindo a álgebra dos operadores de criação e aniquilação para bósons e férmions. Então definimos a Transformação de Jordan-Wigner e mostramos que a álgebra dos operadores de spin-1/ é preservada. E chegamos em uma forma para o Hamiltoniano do Modelo XY em função dos termos de hopping de sítios vizinhos de férmions sem spin não interagentes. Fazendo a transformada de Fourier desse Hamiltoniano chegamos a uma forma diagonal no espaço dos momentos, dependendo somente do número de ocupação no estado. Feito isso, foi imediato o calculo da energia do estado fundamental no limite termodinâmico. É importante dizer que os estados da cadeia de poucos spins poderiam ser obtidos simplesmente fazendo a transformada inversa de Fourier e de Jordan-Wigner dos operadores de criação no espaço dos momentos e atuando sobre o estado de vácuo. (46) 7

8 6 APÊNDICE Neste apêndice vamos mostrar todas as relações da equação 3. Os cálculos utilizam principalmente os resultados obtidos na seção de segunda quantização. Para os operadores a i e exp(iπ a j a j), nós temos: [a i, exp(±iπ a j a j) ] = 0, se [a i, exp(±iπa j a j) ] = 0. (47) Mas considerando que a j a j é o operador número, e que os números de ocupação para férmions são n = 0, 1, temos: [a i, exp(±iπa j a j) ] = [a i, 1 a j a j] = a i a j a j + a j a ja i = 0, i j, (48) portanto: [a i, exp(±iπ a j a j) ] = 0, (49) o que implica: {c i, c i } = c i c i = a i exp(iπ a j a j) a i exp(iπ a j a j), = exp(iπ a j a j) a i = 0. Fazendo o complexo Hermitiano, obtemos também: e provamos a relação (a) da (3). Da mesma forma que a equação (49), para a i temos: Então obtemos também a relação (b) da (3): {c i, c i } = 0. (50) {c i, c i } = 0, (51) [a i, exp(±iπ a j a j) ] = 0. (5) {c i, c i } = c ic i + c i c i = a i exp(iπ a j a j) a i exp( iπ a j a j) + a i exp( iπ a j a j) a i exp(iπ a j a j), = a i a i exp(iπ a j a j) exp( iπ a j a j) + a i a i exp( iπ a j a j) exp(iπ a j a j), = a i a i + a i a i = {a i, a i } = 1, {c i, c i } = 1. (53) Nós podemos mostrar uma equação parecida com a (48) para o caso i = j: {a i, exp(±iπa i a i) } ={a i, 1 a i a i} = a i a i a i a i, =a i (1 a i a i)a i = a i a i = 0, {a i, exp(±iπa i a i) } = 0. (54) 8

9 Da mesma forma: {a i, exp(±iπa i a i) } = 0. (55) Vamos usar essas equações acima para mostra as relações (c) da (3).Considere j > i e que [a i a i, a j a j] = 0: [c i, c j ] = a i exp(iπ a a j 1 ) a j exp(iπ a a j 1 ) a j exp(iπ = a i a j exp(iπ a a j 1 ) exp(iπ a a ) + a j a i exp(iπ = {a i, a j } exp(iπ a a j 1 ) exp(iπ a a ) = 0, a a ) a i exp(iπ a a ), a a j 1 ) exp(iπ a a ), E de forma análoga: Por outro lado: [c i, c j ] = 0. (56) [c i, c j ] = 0. (57) [c i, c j ] = a j 1 i exp(iπ a a ) a j exp( iπ j 1 a a ) a j exp( iπ a a ) a i exp(iπ a a ), = a i a j exp(iπ a a j 1 ) exp( iπ a a ) + a j a i exp(iπ j 1 = {a i, a j } exp( iπ a a ) = 0, =i a a j 1 ) exp( iπ a a ), Assim mostramos todas as relações (c) da (3). Vamos mostrar as relações (d) da equação (3). [c i, c j ] = 0. (58) [(a i a i 1 ), c i ] = [a i a i, c i ] = a i a ia i exp( iπ a j a j) = a i (1 a i a i) exp( iπ a j a j), = a i exp( iπ a j a j) = c i, [(a i a i 1 ), c i ] = c i. (59) De forma análoga: [(a i a i 1 ), c i] = [a i a i, c i ] = a i a i a i exp(iπ a j a j) = a i (1 a i a i ) exp(iπ a j a j), = a i exp(iπ a j a j) = c i. Finalmente a última relação da (3): [(a i a i 1 ), c i] = c i. (60) [c i, c i] =a i a i a i a i = a i a i (1 a i a i), 9

10 [c i, c i] = (a i a i 1 ). (61) Portanto mostramos que a álgebra dos operadores S ± i e Si z c i e c i definidos na transformação de Jordan-Wigner. é preservada no espaço de Foc com os operadores REFERÊNCIAS [1] Afflec, I. Field, Strings and Critical Phenomena, North-Holland; 1. ed [] Altland, Alexander; Simons, Ben. Condensed Matter Field Theory, Cambridge University Press;. ed p [3] Giamarchi, Thierry. Quantum Physics in One Dimension, Oxford Science Publications; 11. ed