Momento Angular. Química Teórica e Estrutural. P.J.S.B. Caridade & U. Miranda. 18/11/ /11/2013, Aula 6

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1 Momento Angular Química Teórica e Estrutural P.J.S.B. Caridade & U. Miranda 18/11/ /11/2013, Aula 6 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 1

2 Momento angular orbital Em mecânica clássica o momento angular orbital tem um papel relevante em muitos sistemas físicos. O princípio da conservação do momento angular é uma ferramenta essencial na descrição de orbitas planetárias, satélite, giroscópios. O momento angular clássico, L, de uma partícula com um momento linear p e uma posição instantânea r é dado por: î ĵ ˆk L = r p = x y z p x p y p z = (yp z zp y )î (xp z zp x )ĵ + (xp y yp x )ˆk = L x î + L y ĵ + L z ˆk Magnitude do valor do momento angular orbital: L L = L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 2

3 Momento angular orbital: medições Usando os postulados da mecânica quântica... ˆL = iħ r ˆ A componente ˆL z vem dada por: ( ˆL z = x iħ ) ( y iħ ) ( = iħ x y x y y ) x Permutação cíclica x y z x. Sabendo que [ˆL x, ˆL y ] = iħˆl z, [ˆL y, ˆL z ] = iħˆl x e [ˆL z, ˆL x ] = iħˆl y, concluí-se que ˆL x, ˆL y e ˆL z não comutam, logo não as conseguimos medir simultâneamente. E ˆL 2 e ˆL z? Sim... Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 3

4 Momento angular: Formalismo genérico Existem dois tipos de momento angular em mecânica quântica: orbital L e de spin S. Como têm propriedades em comum vamos definir um momento angular generalizado J. Como [ J ˆ2, J ˆ z ] = 0, [ J ˆ x, J ˆ y ] 0, [ J ˆ y, J ˆ z ] 0 e [ J ˆ z, J ˆ x ] 0 Existe um conjunto de funções próprias comum a Jˆ 2 e Jˆ z. Entre as componentes não existe esse conjunto, mas cada uma comuta com Jˆ 2, escolhemos Jˆ z. Seja α, β a função própria de J ˆ2 e J ˆ z, então, procuramos soluções simultâneas de: ˆ J 2 α, β = ħ 2 α α, β ˆ J z α, β = ħβ α, β ħ foi colocado para que α e β venha adimensional e L z tenha unidades de energia tempo. Assumindo que os estados são ortonormais α, β α, β = δ α,αδ β,β. Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 4

5 Momento angular: operadores escada Definam-se dois operadores escada: J ˆ + = J ˆ x + ij ˆ y Jˆ = J ˆ x ij ˆ y Desta definição vem que: Jˆ x = 1 ( J+ ˆ + J 2 ˆ ) ˆ J y = 1 2i ( J+ ˆ J ˆ ) J ˆ + J ˆ = J ˆ x 2 + J ˆ y 2 + ħj ˆ z = J ˆ2 J ˆ z 2 + ħj ˆ z Jˆ J+ ˆ = J ˆ x 2 + J ˆ y 2 ħj ˆ z = J ˆ2 J ˆ z 2 ħj ˆ z ˆ J 2 = 1 2 ( ˆ J + ˆ J + ˆ J ˆ J + ) + ˆ J 2 z ˆ J 2 x ˆ J 2 y Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 5

6 Momento angular: valores próprios Como ˆ J ± não comuta com ˆ J z, α, β não é função própria de ˆ J ±. Dado que ˆ J z ˆ J ± α, β = ħ(β ± 1) ˆ J ± α, β logo J ˆ ± α, β é função própria de J ˆ z. Como J ˆ z comuta com J ˆ2 e [ J ˆ2, J ˆ ± ] = 0, temos Jˆ 2 ( J ˆ ± α, β ) = ħ 2 α( J ˆ ± α, β ) Das duas equações anteriores, concluímos que: J ˆ ± α, β = C ± α, β ± 1 αβ PORQUÊ? Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 6

7 Momento angular: valores próprios (cont) Dado que J ˆ2 J ˆ2 z é positivo (mostrar que!) concluí-se que α β2, ou seja, existe um β max. Para o estado com um valor próprio β max, o operador subida é nulo: J ˆ + α, β max = 0. Aplicando J ˆ J+ ˆ ao estado α, β max concluí-se que: α = β max (β max + 1) Após aplicar o operador escada descida n vezes ao estado α, β max, obtém-se o estado mínimo α, β min, o qual é o limite mínimo: ˆ J α, β min = 0 Por analogia, aplicando ˆ J +, podemos escrever α = β min (β min 1) Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 7

8 Momento angular: valores próprios (cont) Por α = β max (β max + 1) e α = β min (β min 1), concluí-se: β max = β min Como aplicámos n vezes o operador descida para obter α, β min : β max = β min + n = n 2 Designando j = β max = n/2 e m = β, o valor próprio de ˆ J 2 será: α = j(j + 1) Como β min = β max e n é positivo: j m j Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 8

9 Momento angular: valores próprios (cont) Resumindo: ˆ J 2 j, m = ħ 2 j(j + 1) j, m ˆ J z j, m = ħm j, m Ou seja, o espectro do momento angular está quantizado! Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 9

10 Momento angular: Operadores escada Recordando: j, m não é função própria de ˆ J±. Partindo de: ˆ J ± j, m = C jm,± j, m ± 1 e admitindo que j, m está normalizada, podemos escrever: ( J ˆ ± j, m ) ( J ˆ ± j, m ) = C jm,± 2 j, m + 1 j, m + 1 = C jm,± 2 ( J ˆ ± j, m ) ( J ˆ ± j, m ) = ( j, m J ˆ ± )( J ˆ ± j, m ) = j, m Jˆ J ˆ ± j, m C jm,± 2 = j, m ˆ J ˆ J± j, m Sabendo que J ˆ ˆ J± = J ˆ2 J ˆ2 z ħj ˆ z, obtém-se: C jm,± = ħ j(j + 1) m(m ± 1) Logo: J ˆ± j, m = ħ j(j + 1) m(m ± 1) j, m ± 1 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 10

11 Momento angular: Operadores ˆ J x e ˆ J y Sabendo que J x j, m = 1 2 ( ˆ J + + ˆ J ) j, m J y j, m = 1 2i ( ˆ J + ˆ J ) j, m concluí-se que: J x j, m = ħ 2 J y j, m = ħ 2i [ (j m)(j + m + 1) j, m [ (j m)(j + m + 1) j, m + 1 ] (j + m)(j m + 1) j, m 1 ] (j + m)(j m + 1) j, m 1 Química Teórica & Estrutural (2013) Caridade & Ulises 11