Quinta Lista - Campos Magnéticos

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1 Quinta Lista - Campos Magnéticos FGE211 - Física III Sumário A força magnética que atua em uma partícula de carga q que se move com uma velocidade v é F b = q v B. A força magnética que atua em um cabo de comprimento l pelo qual passa uma corrente I é F b = I l B. O torque que um campo magnético produz ao atuar em uma espira de área A pela qual passa uma corrente I é τ = I A B. O momento magnético de uma espira com área A pela qual passa uma corrente I é µ = I A Se uma partícula de carga q e massa m adentra uma região com um campo magnético B e com uma velocidade v perpendicular ao campo magnético, o raio do movimento circular que a partícula realizará é dado por r = m v q B, e a velocidade angular da partícula dada por ω = q B m. 1

2 Dicas para a resolução dos problemas Na presença de um campo elétrico E e um magnético B a força que uma partícula sofre é F = q( E + v B). O segundo termo envolve o produto vetorial da velocidade pelo campo. Em coordenadas cartesianas algumas propriedades básicas de produtos vetoriais podem ser facilmente obtidas. Por exemplo, devido a ortogonalidade dos versores î, ĵ e ˆk segue que î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0. Além disso, fazendo uso das definições de produto vetorial podemos mostrar facilmente que î ĵ = ˆk, ĵ ˆk = î, ˆk î = ĵ. Usando a propriedade anti-comutativa do produto vetorial ( A B = B A), é trivial obter ĵ î, ˆk ĵ, î ˆk. Com estes resultados, considere o caso mais geral onde v = v x î + v y ĵ + v z ˆk e B = Bx î + B y ĵ + B z ˆk. Calcule v B usando as relações acima. Em geral, dadas as componentes cartesianas de cada um dos vetores, o produto vetorial pode ser obtido a partir do determinante: v B = î ĵ ˆk v x v y v z B x B y B z Calcule explicitamente v B. Na presença de um campo magnético, nós mostramos em aula que uma partícula cuja velocidade é perpendicular ao campo segue uma trajetória circular de raio r = mv/qb e velocidade angular ω = qb/m. Em casos mais gerais, a solução é trabalhar com cada coordenada da força de Lorentz. Por exemplo F x = q [E x + ( v B) ] x. Usando o resultado de v B obtido acima escreva as expressões para as três coordenadas da força. Considerando que F i = ma i e que a i = d2 i, escreva as três equações dt 2 diferenciais que regem o movimento de uma partícula na presença de campos elétricos e magnéticos. Estas equações são bastante gerais e dependendo do caso, podem ser bastante difíceis de resolver. Alguns casos mais simples serão estudados nesta lista de exercícios. Questões conceituais 1. Uma partícula carregada pode se mover através de um campo magnético sem sentir nenhuma força? 2

3 2. Se a força magnética não realiza trabalho, como que o movimento de uma carga pode ser influenciado pelo campo magnético? 3. Suponha que uma partícula se movimenta em uma região com campos elétricos e magnéticos. Como podemos distinguir o movimento relativo a cada um dos campos. 4. Se uma bússola é colocada em uma região com um campo magnético constante, há uma força magnética atuando na partícula? E um torque? Problemas 1. Cilindro suspenso Um cilindro de massa m é suspenso em dois trilhos de comprimento a e espaçamento l como mostra a figura 1. Uma corrente I passa por ele que pode deslizar sem atrito sobre os trilhos e está imerso em uma região com campo magnético constante B cuja direção, relativa a figura, é entrando na página. Se o cilindro está inicialmente em repouso, qual sua velocidade ao sair dos trilhos? Figura 1: Cilindro suspenso por dois trilhos na presença de um campo magnético constante. 2. Fio suspenso Um fio de comprimento l e densidade linear de massa λ (kg/m) está suspenso por dois fios e se encontra na presença de um campo magnético constante apontando para fora da página como ilustra a figura 2. Se a tensão nos fios é nula, qual a magnitude e direção da corrente? 3. Partículas carregadas em um campo magnético Duas partículas, A de massa m A e carga q e B de massa m B e carga 2q são aceleradas por uma diferença de potencial V e subseqüentemente 3

4 Figura 2: Cilindro suspenso em uma região de campo magnético constante. defletidas por um campo magnético fazendo trajetórias semicirculares. O raio da trajetória da partícula A é R e o da partícula B é 2R. A direção do campo magnético é perpendicular a velocidade inicial das partículas. Qual a razão entre suas massas? 4. Trajetória de partículas Uma partícula de carga q e que se move com velocidade v adentra uma região entre duas placas que possui um campo magnético constante como mostra a figura 3. Figura 3: Partícula carregada em uma região com campo magnético constante. (a) A trajetória da partícula é defletida para cima ou para baixo? (b) Calcule a distância entre a extremidade esquerda da placa e a posição onde a partícula colide com ela. 5. Espectrômetro de massa 4

5 Considere um íon de massa m e carga q acelerado por um potencial V e adentrando uma região com campo magnético B constante perpendicular a sua trajetória inicial. Ao adentrar nessa região, o íon sofre uma deflexão e descreve uma trajetória semi-circular até atingir uma placa a 180 o da posição em que adentrou. Seja x a distância entre estas duas posições. Mostre que a massa do íon pode ser dada por m = B2 q 8V x2 5