Fundamentos da Teoria Quântica da Informação

Transcrição

1 Fundamentos da Teoria Quântica da Informação Aluno: Julio Nicolini Orientador: Guilherme Temporão Introdução Em 1927, Heisenberg formulou o seu Princípio da Incerteza, introduzindo a ideia altamente contra-intuitiva de que seria impossível determinar com absoluta precisão o valor de duas quantidades físicas conjugadas. Hoje em dia estamos acostumados com esse resultado, mas na época representava uma tremenda quebra de paradigma: não se pode encontrar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula sem que haja alguma incerteza. A interpretação de Copenhagen da mecânica quântica foi formulada utilizado este e outros resultados. Essa quebra de paradigma veio acompanhada de opositores. Em 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen publicaram um artigo onde questionavam a mecânica quântica apresentando uma consequência que os que apoiavam a teoria não haviam percebido: o Paradoxo EPR. O paradoxo pode ser exemplificado da seguinte maneira: duas partículas A e B são permitidas interagirem por um intervalo de tempo finito, no qual depois é possível guarantir que não há mais nenhuma interação. O princípio da incerteza diz que é impossível determinar com completa precisão a posição e o momento de uma partícula; é possível determinar somente, por exemplo, a posição da partícula A. Entretanto, conhecendo o momento da partícula B e o tipo de interação entre elas, é possível também encontrar o momento da partícula A. Logo seria possível determinar simultaneamente posicão e momento para uma partícula. Com esse paradoxo os autores buscavam demonstrar que a descrição da realidade física através de funções de onda a base da mecânica quântica estava incompleta. Somente três décadas depois, com a publicação do artigo do físico americano John S. Bell em 1964, que uma análise satisfatória para o paradoxo foi apresentada. Isso mostra como a teoria quântica, apesar de confirmada experimentalmente e utilizada ativamente em várias áreas da ciência, trás resultados contra-intuitivos e até estranhos, para aqueles que não trabalham diretamente com física quântica. A aplicação dos conceitos quânticos à teoria da informação não poderia ser diferente, e portanto é necessário um grande embasamento teórico nos fundamentos da física quântica antes de que qualquer tipo de pesquisa possa ser desenvolvida na área da informação quântica.

2 Princípios da Mecânica Quântica Toda teoria física é formulada em termos de objetos matemáticos. Portanto, é necessário estabelecer um conjunto de regras para mapear conceitos e objetos físicos nos objetos matemáticos usados para representá-los. Há situações em que esse mapeamento é evidente, como no caso da mecância clássica de Newton; entretanto, no contexto da mecânica quântica, esses objetos matemáticos não são intuitivos. Assim como a mecânica clássica é fundamentada nas equações de Newton ou a eletrodinâmica é fundamentada nas equações de Maxwell, a mecânica quântica é baseada em leis fundamentais, que são chamadas de postulados ou axiomas da mecânica quântica. Existem diferentes interpretações e formulações para essas leis fundamentais, e nesse texto foi seguido a formulação para análise de sistêmas quânticos dinâmicos fechados, que são de interesse na teoria quântica da informação. Para isso, é necessária a definição de estados, observáveis, medidas e evolução de um sistema. Nesse contexto, os axiomas da mecânica quântica são dados por: 1. As propriedades de um sistema quântico estão totalmente definidas pela especificação do seu vetor de estados ψ>. O vetor de estados é um elemento de um espaço de Hilbert complexo H chamado espaço de estados. 2. Para toda propriedade física (energia, momento, posição, etc), existe um operador Hermitiado linear associado A (usualmente chamado de observável) que atua no espaço de estados H. Os autovalores desse operador são os valores possíveis para a propriedade física que ele representa. 3. Se ψ> é um vetor represetando o estado de um sistema e ϕ representa outro estado físico, existe a probabilidade p( ψ>, ϕ>) de se achar ψ> no estado ϕ>, que é dada pelo módulo ao quadrado do produto escalar entre ψ> e ϕ>. 4. Se A é um observável com autovalores a k e autovalores k>, a probabilidade de se obter a k como o resultado da medida de A é p(a k ) = k ψ> 2. Após a medida o sistema permanece no estado projetado no subespaço do autovalor a k. 5. A evolução de um sistema fechado é unitária. O vetor de estado ψ(t)> em um tempo t é obtido a partir do vetor de estados ψ(t 0 )> através da aplicação do opeardor unitário U(t,t 0 ) chamado de operador de evolução. Observáveis e o Estado de Espaços Um experimento físico pode ser dividido em duas etapas: preparação e medida. A primeira etapa determina os possíveis resultados do experimento, enquanto que a medida obtém o valor do resultado. Na mecânica quântica a situação é ligeiramente diferente: o primeiro passo determina as probabilidades dos possíveis resultados, enquanto que a medida obtém o valor de um resultado específico, de forma estatística. Essa separação do experimento está refletida em dois tipos de objetos matemáticos presentes na mecânica quântica: o primeiro passo corresponde ao conceito de estado do sistema, enquanto que o segundo corresponde aos observáveis. O estado do sistema fornece uma descrição completa das probabilidades de todos os observáveis, enquanto que esses últimos são variáveis dinâmicas que, a princípio, podem ser medidas. Toda a informação está contida no estado, independente de como ele foi obtido, ou qual sua história passada. Todos os observáveis físicos são representados por operadores lineares que operam em um espaço de Hilbert.

3 Medidas O valor da medida de um observável é um dos autovalores desse observável. A probabilidade de se obter um autovalor específico é dada pelo quadrado do módulo do produto interno entre o vetor de estados do sistema com o autovetor associado ao autovalor em questão. O estado do sistema imediatamente após a medida é a projeção normalizada do estado anterior à medida no subespaço do autovetor. Seja A o observável com autovalores a k e autovetores k> : A k> = a k k>. Dado um sistema no estado ψ>, a probabilidade de se obter a k como o resultado de uma medida é p(a k )= k ψ 2 Se for feita uma nova medida, o mesmo resultado será obtido com probabilidade 1 (pois o vetor de estados collapsou para o estado medido). Esse collapsamento é uma fonte de confusão e contradições: como descrito acima, parece que é uma evolução instantânea do sistema de um dado estado a outro, uma evolução que não é unitária (o que contradiz o axioma #5). A fonte dessa contradição é o fato que nessa descrição simples da medida, o observador (ou o equipamento de medida) é externo ao sistema (então a hipótese de um sistema fechado é quebrada) e pode inclusive não ser descrito pela mecânica quântica (por exemplo, um microscópio de força atômica, que é um objeto macroscópico). Uma teoria mais avançada sobre medidas tenta resolver esse problema, mas foge do escopo desse trabalho. Evolução do Sistema Podemos definir o operador de evolução unitário U, tal que ψ'> = U ψ>. Como o estado tem todas as informações sobre o sistema em um tempo t, o estado do sistema no tempo t + dt depende apenas no estado a tempo t e no operador de evolução U(t+dt) (que portanto depende apenas dos tempos t e t+dt). A evolução unitária do sistema é equivalente à proposta que a dinâmica do sistema é gerada pela Hamiltoniana H do sistema (o observável correspondente à energia total do sistema), como descrito pela equação de Schrödinger: iħ d ψ =Η ψ dt onde ħ é a constande de Planck reduzida.

4 Qubits Um qubit (contração de quantum bit ) é a unidade de informação quântica, assim como o bit é a unidade de informação clássica. Um qubit é um sistema quântico de dois estados; o mais usual é utilizar a polarização de um fóton, onde os estados-base são a polarização vertical e a polarização horizontal. Em geral, entretanto, um qubit pode ser qualquer sistema quântico de dois estados, e seus estados-base são estados ortogonais normalizados arbitrários representados por 0> e 1>. Diferente de um bit clássico, que possui apenas dois valores (0 ou 1), um qubit pode estar no estado 0>, no estado 1>, ou em qualquer superposição dos dois estados 0> e 1> ao mesmo tempo, ou seja, um qubit genérico pode ser representado por ψ =α 0 +β 1 onde α 2 +β 2 =1. Uma representação gráfica de um qubit pode ser realizada através da Esfera de Bloch (ver Figura 1), onde o estado de um qubit pode ser qualquer ponto na superfície da esfera. Comparativamente, bits clássicos estão restritos aos pólos norte e sul da esfera. Figura 1: Esfera de Bloch

5 Emaranhamento Emaranhamento é uma propriedade de dois ou mais sistemas quânticos que possuem correlações que não podem ser explicadas pela física clássica, e é um dos rescursos chave nas teorias de computação quântica e informação quântica. Estados de dois sistemas quânticos podem ser considerados juntos através do seu produto tensorial. Por exemplo, podemos pegar os estados conhecidos +> e -> e considerá-los juntos através de + - =( )( 0 1 )= Agora, seja os estados de Bell definidos por Φ + = Φ - = Se tentarmos expressar Φ + através de uma combinação de dois qubits α 0 +β 1 e γ 0 +δ 1, podemos expandir as expressões para chegar em =( α 0 +β 1 )( γ 0 +δ 1 )=α γ 00 +β γ 10 +α δ 01 +βδ 11 Equacionando os termos semelhantes, chegamos em α γ=β δ=1 e β γ=α δ=0. A segunda condição implica que β ou γ são iguais à zero, o que é impossível devido à primeira condição. Portanto, concluímos que o estado de Bell Φ + não pode ser representado por dois qubits separados, e portanto é um estado emaranhado. Em geral, dizemos que um estado quântico puro está emaranhado através de dois ou mais sistemas quando ele não pode ser expresso como um produto tensorial de estados nesses sistemas. Emaranhamento pode existir entre dois sistemas que estão separados espacialmente por grandes distâncias (de fato, a princípio o efeito de emaranhamento independe da distância entre os sistemas), o que possibilita o chamado teleporte quântico, onde bits de informação são transportados de um lugar a outro através da propriedade de emaranhamento.

6 Teletransporte Quântico Sejam Alice e Bob dois usuários que querem comunicar-se. Teletransporte é um processo em que Alice pode enviar a Bob um qubit em um estado desconhecido através do envio de dois bits clássicos, dado que Alice e Bob inicialmente compartilhavam um estado emaranhado. Quando bits clássicos são enviados através de um canal clássico, é possível que Alice matenha cópias desses bits. Entretanto, o Teorema da Não-Clonagem diz que é impossível para Alice copiar um estado quântico desconhecido. Quando ela envia o qubit desconhecido para Bob, ela não mantém nenhuma informação sobre ele é como se o estado se movese de Alice para Bob, portanto o nome teletransporte. Inicialmente, Alice e Bob compartilham um estado emaranhado. Alice mede seu qubit e o estado desconhecido que ela quer teletransportar através de um procedimento chamado Medida de Bell ; o resultado dessa medida pode ser codificado em dois bits clássicos. Ambos os qubits de Alice são então descartados. Os dois bits clássicos são enviados para Bob através de um canal clássico. A Medida de Bell implica que o qubit de Bob (que é parte do estado emaranhado) está em um de quatro possíveis estados. Desses quatro estados, um é idêntico ao estado desconhecido, e os outros três são fortemente relacionados. Sabendo o resultado da Medida de Bell através dos bits clássicos, Bob pode deduzir então se o seu qubit está igual ao estado desconhecido, ou se ele deve realizar uma transformação unitária para transformá-lo no estado desconhecido. Esse procedimento está ilustrado na Figura 2. Figura 2: Teletransporte Quântico

7 Codificação Superdensa Codificação superdensa é um dos exemplos de aplicação do conceito de emaranhamento à teoria da informação quântica. Sejam Alice e Bob dois usuários querendo se comunicar. Alice pode enviar dois bits de informação ao enviar um único qubit a Bob, que é a sua metade de um estado emaranhado. Dessa forma, ao codificar dois bits de informação em um único qubit, a codificação superdensa é um exemplo das diferenças entre a teoria da informação clássica e a teoria da informação quântica. Segue um protocolo de exemplo para a utilização da codificação superdensa. Inicialmente, Alice e Bob compartilham um estado emaranhado. Alice também possui dois bits clássicos de informação (x e y) que ela gostaria de enviar à Bob. Alice e Bob combinaram previamente um conjunto de operações unitárias que Alice irá aplicar ao estado emaranhado dependendo dos valores de x e y. Alice então lê o primeiro bit; caso x=0, ela não faz nada. Caso x=1, ela aplica a operação σ 1 (previamente combinada) em seu qubit. Alice agora lê o segundo bit clássico. Caso y=0, ela não faz nada. Caso y=1, ela aplica a operação σ 2 em seu qubit. Alice e Bob não podem deduzir qual estado eles compartilham apenas a partir de medidas de seus próprios qubits. Entretanto, Alice pode enviar seu qubit para Bob, e então Bob pode medir os qubits emaranhados para deduzir qual é o estado final do sistema, e portando deduzir os valores de x e y. Referências VEDRAL, V. Introduction to Quantum Information Science. Oxford University Press, PERES, A. Quantum Theory: Concepts and Methods. Springer, CHUANG, I.L. & NIELSEN, M.A. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, BOUWMEESTER, D.; EKERT, A.; ZEILINGER, A. The Physics of Quantum Information. Springer, GRIFFITHS, D.J. Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall, BELL, J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge University Press, SHANKAR, R. Principles of Quantum Mechanics. Plenum Press, 1994.