Walter Carnielli Grupo!de Lógica Teórica e Aplicada. CLE e IFCH- UNICAMP

Transcrição

1 Computação Quântica e Lógicas Não-Clássicas Walter Carnielli Grupo!de Lógica Teórica e Aplicada CLE e IFCH- UNICAMP.

2 O que é a lógica quântica?!raciocinar com proposições que levam em conta as leis da mecânica quântica Garrett Birkhoff!e John von Neumann, 1936 "!É difícil reconciliar a Lógica Proposicional Clássica com as variáveis complementares da Mecânica Quântica, tais como posição e momento "!A lógica quântica é uma versão da Lógica Clássica que é não-associativa e não-comutativa!

3 Uma das grandes diferenças é a não-distributividade p! (q! r ) = (p! q ) (p! r) onde p,!q!, r! são variáveis proposicionais Exemplo: p!= "a partícula move-se para a direita" q!= "a partícula está no intervalo [-1,1]" r!= " a partícula não está no intervalo [-1,1]

4 Não-distributividade Nesse caso, q!!r é verdadeira, e daí p! (q!!r) =!p Por outro lado, as proposições "p q" e "p! r" são ambas falsas, porque contrariam o Princípio da Incerteza: dai, (p! q) (p! r) = falso Portanto, a Lei Distributiva falha.!

5 Uma crítica? Em 1968, Karl Popper publicou na revista Nature um artigo intitulado Birkhoff and Von Neumann's Interpretation of Quantum Mechanics, uma crítica radical da lógica quântica, que Birkhoff e von Neumann haviam proposto em Popper escreve:! Minha tese é que a proposta de Birkhoff e von Neumann é insustentável. Isto depende em parte de algumas descobertas feitas por John von Neumann no campo da teoria dos reticulados [...] mas também de alguns resultados muito simples da teoria da probabilidade.!

6 A Álgebra de Boole não vale mais... Os eventos da mecânica clássica: estrutura algébrica canônica, chamada álgebra de Boole, que corresponde à Lógica Clássica mas os representantes matemáticos dos eventos quânticos não são conjuntos, mas sub-espaços fechados de particulares espaços vetoriais, os chamados espaços de Hilbert!

7 O que é a Lógica Quântica? A estrutura dos eventos quânticos é representada por uma estrutura algébrica mais fraca, os reticulados ortocomplementados ortomodulares, que correspondem ao que se chama Lógica Quântica. A Lógica Quântica é essencialmente polivalente: os valores de verdade não são apenas o V e F

8 Um erro de um grande filósofo da ciência Popper cometeu um erro matemático: a estrutura dos eventos quânticos é ortocomplementada e não simplesmente complementada: cada evento quântico (diferente do evento certo e do impossível) tem infinitos bons complementos. O evento que vem escolhido como a negação quântica de um dado evento é apenas um destes.

9 A Lógica Quântica é fraca? # Popper erra num outro nível: é claro que a Lógica Quântica é mais fraca do que a clássica: cada lei da lógica quântica é também uma lei da lógica clássica, mas em geral não o inverso. Portanto, não é possível demonstrar através da lógica quântica nada que não seja já demonstrável na lógica clássica.! As argumentações importantes são em geral metateóricas. Raciocinar no nível metateórico significa raciocinar sobre a capacidade demonstrativa e semântica das lógicas, e isso muda tudo!

10 ! O que é Computação Quântica? Os grandes trunfos da Computação Quântica são a sobreposição e o emaranhamento! $ Não se sabe se os eventos da mecânica quântica seriam todos Turing-computáveis, embora se saiba que modelos rigorosos como as Máquinas de Turing Quânticas são equivalentes a Máquinas de Turing Determinísticas (o que não significa equivalência em termos de eficiência!)

11 ! qbits & espaços de Hilbert Um qubit é um sistema quântico com dois estados; qbits moram em um espaço de Hilbert, que é um espaço vetorial completo sobre C munido de produto interno. Em um espaço de Hilbert, uma porta lógica quântica é uma transformação linear unitaria (i.e., que preserva a norma dos vetores)

12 Consequências do produto tensorial em espaços de Hilbert!Não-Clonagem: é impossível copiar estados superpostos usando um circuito quântico! Reversibilidade: é possível voltar a alguma configuracao anterior em um processamento ( desapagar )!Caracterização de estados emaranhados!algoritmos quânticos

13 Algoritmos bem-sucedidos: Shor!Algoritmo de Shor: dado um inteiro positivo N, achar os fatores primos de N. A Computação Quântica resolve este problema em tempo polinomial: a fatoração um número em primos está em NP e todos os algoritmos clássicos conhecidos para resolver este problema são exponenciais.

14 Algoritmos bem-sucedidos: Deutsch-Jozsa! Algoritmo de Deutsch-Jozsa Considere todas as funcões (n vezes) f: {0,1} X {0,1} X X {0,1} " {0,1} que são constantes ou balanceadas, i.e., têm, metade da entrada retornando zero e outra metade retornando q. Classicamente,para se determinar se f é constante ou balanceada, são necessárias!2 n! 1!+ 1! avaliacões. O algoritmo quântico determina em uma única avaliação!!

15 Algoritmos bem-sucedidos: Grove! Algoritmo de Grover: buscas em bancos de dados não estruturados e em listas não ordenadas. O algoritmo de Grover é quadra-ticamente mais rápido que os algoritmos clássicos

16 Máquinas de Turing Paraconsistentes (MTPs) São MTs definidas trocando-se a lógica clássica de base pela lógica LFI1, lógica paraconsistente de primeira ordem na hierarquia de Lógicas da Inconsistência Formal (LFIs). Situações de multiplicidade (que correspondem a inconsistências) nas MTPs podem ser vistas como estados superpostos uniformes.

17 Máquinas de Turing Paraconsistentes rodam algoritmos quânticos Os algoritmos de Deutsch e Deutsch-Josza podem ser simulados por MTPs, preservando eficiência. Porém, as MTPs não permitem uma representação direta de estados emaranhados

18 Máquinas de Turing Paraconsistentes Não-Separáveis: uma nova versão MTPs Não-Separáveis (MTPNSs) são modelos de computação não-local No modelo de MTs clássicas todas as operações são realizadas de maneira local (a execução de uma instrução só pode mudar o símbolo na posição atual). Os estados emaranhados da mecânica quântica permitem certo tipo de ação a distância, portanto, os modelos de computação quântica são intrinsecamente não-locais. O modelo de MTPNS permite representar estados emaranhados, pode portanto também ser considerado um modelo de computação não-local

19 Novas lógicas podem influir na noção de computação! Juan Carlos Agudelo, Computação Paraconsistente: Uma Abordagem Lógica à Computação Quântica, Tese de Doutroado, IFCH Juan Carlos Agudelo e Walter Carnielli. Paraconsistent Machines and their Relation to Quantum Computing. Journal of Logic and Computation 20 (2): 2010, Até que ponto a Computação Quântica pode ser relativa à Lógica, em especial às lógicas não-clássicas?