Computação. Sob uma perspectiva teórica. Elloá B. Guedes. IQuanta. 22 de setembro de 2008

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1 Computação Sob uma perspectiva teórica Elloá B. Guedes IQuanta 22 de setembro de 2008 Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

2 Outline 1 Motivação 2 Contextualização Histórica 3 Máquina de Turing 4 Computação 5 P=NP? 6 Problema da Parada 7 Computação Quântica 8 Considerações Finais 9 Dúvidas Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

3 Motivação Qual o objetivo desta apresentação? Apresentar o conceito de Computação: Independente da existência de computadores; Além da tecnologia atual; Apresentar pontos de contato entre a Ciência da Computação e afísica; Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

4 Motivação Por que uma perspectiva teórica? Edsger H. Dijkstra Ciência da Computação está tão relacionada aos computadores quanto a Astronomia aos telescópios, Biologia aos microscópios, ou Química aos tubos de ensaio. A Ciência não estuda ferramentas. Ela estuda como nós as utilizamos, e o que descobrimos com elas. Analogia: Música Clássica Propaganda: Orquestra de Câmara de Zurique [8] Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

5 Contextualização Histórica Problemas do Século 1900: David Hilbert propõe 23 problemas matemáticos, os quais considera os problemas do século. Os problemas propostos abordavam vários assuntos, com destaque para problemas matemáticos. Ainda hoje, 8 deles estão sem resposta. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

6 Contextualização Histórica 10 o Problema de Hilbert Determinar a solubilidade das equações diofantinas Dada uma equação diofantina com qualquer números de coeficientes inteiros, determinar um processo de acordo com o qual possa ser determinado um conjunto finito de operações que mostre que a equação é solucionável com raízes inteiras. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

7 Contextualização Histórica 10 o Problema de Hilbert Remete a uma pergunta anterior: Como se caracteriza este método sistemático? Ou seja, como não existia uma definição completa o bastante para entender este método sistemático, a resolução do problema só poderia aparecer depois que este conceito essencial fosse fundamentado [5]. Resolvido em 1970 por Yuri Matiyasevich: Este método sistemático não existe [3]. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

8 Máquina de Turing Caracterizando o Método Sistemático 1936: Alan Turing, matemático inglês propõe uma caracterização para este método sistemático [7]. Segundo Turing, o método sistemático pode ser descrito da seguinte forma: Pode, na prática ou em princípio, ser executado por uma pessoa com lápis e papel; Pode ser dado à uma pessoa na forma de um número finito de instruções; Não demanda insights ou ingenuidade da parte de quem o está executando; Vai funcionar se for executado sem erros; Produz a saída deseja em um número finito de passos. Definição bastante abstrata Sujeita à diversas interpretações; Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

9 Máquina de Turing Método Sistemático através de uma Máquina Elementos desta Máquina: Uma fita que é dividida em células adjacentes; Um alfabeto de caracteres que serão escritos/lidos da fita; Um cabeçote que pode ler, escrever na fitaesemovimentar, uma célula por vez, tanto para a esquerda quanto para a direita; Uma tabela denominada função de transição que, dado o estado atual e o símbolo que é lido pelo cabeçote permitem que a máquina faça: 1 Escreva ou apague um símbolo 2 Mova o cabeçote em uma célula ( L para esquerda e R para direita) 3 Assuma um novo estado Um registrador do estado atual, que armazena o estado da máquina que foi descrito pela função de transição A Máquina descrita é denominada Máquina de Turing. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

10 Máquina de Turing Máquina de Turing Aceitação Rejeição Q a Figura: Representação de uma Máquina de Turing a partir da sua descrição informal. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

11 Máquina de Turing Definição Formal A Máquina de Turing (MT) possui uma definição formal: Uma Máquina de Turing é uma 7-tupla Q, Σ, Γ,δ,q 0, q aceita, q rejeita, onde Q, Σ e Γ são conjuntos finitos e: 1 Q é o conjunto de estados 2 Σ é alfabeto da entrada, não contendo o caractere branco 3 Γ é o alfabeto da fita, onde ΓeΣ Γ 4 δ : Q Γ Q Γ {L, R} é a função de transição 5 q 0 Q é o estado inicial 6 q aceita Q é o estado de aceitação 7 q rejeita Q é o estado de rejeição, onde q rejeita q aceita Alonzo Church fez uma definição equivalente através do Cálculo-λ. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

12 Computação Pergunta Inicial: O que é Computação? Computação: Resolução de um problema através de uma Máquina de Turing; Método sistemático equivale a um Algoritmo Em linhas gerais: Algoritmo é a especificação de uma seqüência ordenada de passos que deve ser seguida para a solução de um problema ou para a realização de uma tarefa, garantindo a sua repetibilidade. Equivalência entre Máquina de Turing e Algoritmo. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

13 Computação Ainda sobre Máquina de Turing São dispositivos extremamente básicos que manipulam símbolos; Apesar desta aparente simplicidade, podem ser adaptadas para simular a lógica de qualquer computador que já tenha sido construído [2]. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

14 Computação Figura: Colossus: Primeiro computador baseado em uma Máquina de Turing. Vídeo Novo Comercial do ipod Touch Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

15 P=NP? Objetos de Estudo O modelo de Computação já está definido: Máquina de Turing; Os problemas passam a ser objetos de estudo! Um problema possui: Uma descrição genérica de todos os seus parâmetros; Especificação das propriedades que a resposta ou solução deve satisfazer [6]. Três tipos de problema: Otimização; Localização; Decisão. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

16 P=NP? Problemas de Decisão São os problemas de interesse; Problemas de Decisão possuem como saída valores binários, por exemplo, Yes ou No ; Problemas de Otimização e Localização podem ser escritos como problemas de Decisao; A teoria torna-se mais simples e elegante, facilitando a sua generalização para situações mais complexas; Historicamente, o estudo da complexidade computacional surgiu do estudo de problemas de decisão. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

17 P=NP? Classes de Complexidade Agrupar problemas em classes, de acordo com a quantidade de recursos que eles consomem em uma computação; Recursos: Tempo ou Espaço Tempo: Quantidade de passos em uma Máquina de Turing; Espaço: O quanto de memória necessita (células na fita). A métrica de tempo é a mais utilizada [4]. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

18 P=NP? Classe P Existem problemas que possuem tempo polinomial: Significa que existe uma Máquina de Turing que resolve o problema em uma quantidade polinomial de passos em relação ao tamanho da entrada; Exemplo: Determinar a soma de um conjunto de números. [2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 200, 999, 3]=1254 Custo: n, em que n é o tamanho da entrada. Por exemplo, para uma lista com 200 números e considerando a duração de cada passo computacional de 1s, a computação duraria 200s; Problemas que pertencem à Classe P são denominados tratáveis. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

19 Classe NP P=NP? Existe problemas que não se conhece uma solução de tempo polinomial; Exemplo: Problema do Caixeiro Viajante Dada uma quantidade de cidades e o custo de viajar entre duas cidades, qual é o menor custo de visitar todas as cidades exatamente uma vez e retornar ao ponto de partida? Figura: Uma Instância do Problema do Caixeiro Viajante Custo exponencial: 2 n : No caso de 200 cidades, por exemplo, a computação duraria s = 1, s. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

20 P=NP? Qual a relação das classes P e NP? Existe um algoritmo de tempo polinomial para problemas NP-Completos?...ou éimpossívelresolverumproblemanp-completoemtempo polinomial? Limitação Computacional ou Física? Esta resposta vale 1 milhão de dólares! (Claymath Institute) Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

21 Suposições P=NP? Figura: Possíveis relacionamentos entre as classes P e NP [1] Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

22 P=NP? Vale saber que... NP-Completo são os problemas mais difíceis da classe NP; Caso se resolva um problema NP-Completo em tempo polinomial, todos os problemas em NP poderão ser resolvidos em tempo polinomial; Todo mal traz um bem : Toda a criptografia atual se sustenta devido à dificuldade em fatorar números primos muito grandes. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

23 Problema da Parada Máquina de Turing Universal É uma Máquina de Turing capaz de simular outra Máquina de Turing; Seja o seguinte cenário: A Máquina de Turing Universal U 1 irá simular uma Máquina de Turing T 1 ; A Máquina de Turing Universal U 2 irá simular uma Máquina de Turing T 2 ; Após o término da simulação, ambas deverão imprimir Okay na fita. T 1 : while (true) { } T 2 : write( Hello world! ) Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

24 Problema da Parada Problema indecidível A Máquina U 2 irá imprimir a mensagem Okay ; Mas a máquina U 1 irá esperar infinitamente e nunca imprimirá a mensagem de término; Pergunta: Utilizando uma Máquina de Turing Universal, como saber se a Máquina que esta simula pára ou não? Turing responde: É um problema indecidível Não existe Máquina de Turing que resolva este problema [7]. Rumores: Humanos poderiam resolver este problema (?!). Mais uma pergunta: Será que a Máquina de Turing é um modelo realístico de Computação? Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

25 Computação Quântica Máquina de Turing Quântica 1982: Feynman provou que nenhuma MT clássica poderia simular um certo fenômeno quântico sem descartar a possibilidade de haver um decaimento exponencial no número de estados, mas que um simulador quântico universal poderia fazê-lo sem sofrer tais conseqûências; 1985: David Deutsch propõe um novo modelo de Máquina de Turing: a Máquina de Turing Quântica. Similar à Máquina de Turing original; Novas características na Computação: Superposição, Paralelismo, Emaranhamento, etc. Além da Máquina de Turing Quântica existem outras variantes da Máquina de Turing: Não determinística, Probabilística, etc. Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

26 Computação Quântica Conseqüências Ainda não se sabe se a Máquina proposta por Deutsch é mais eficiente que a Máquina de Turing, mas... + Alguns algoritmos quânticos são mais eficientes que seus equivalentes clássicos: Fatoração (Algoritmo de Shor); Busca (Algoritmo de Grover); Transformada Quântica de Fourier, etc. - Problemas persistem: Problema da Parada; Será que a Máquina de Turing Quântica é, de fato, um modelo realístico de Computação? Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

27 Considerações Finais Mais perguntas que respostas! Visão bastante superficial: Os assuntos de computabilidade e complexidade são bastante extensos! Espero ter acrescentado um novo conhecimento a todos vocês! Problemas em aberto: é necessário esforço! Será que são questões apenas computacionais? Professor Suassuna: Deu pra entender o que é um algoritmo? Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

28 Obrigada! Dúvidas Elloá B. Guedes Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

29 Dúvidas Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Algoritmos - Teoria e Prática. Elsevier, John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Pearson Education, Yuri Matiyasevich. Hilbert s 10th Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, Christos H. Papadimitriou. Computational Complexity. Addison Wesley Publishing Company, Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30

30 Dúvidas Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Company, Laira Vieira Toscani and Paulo A. S. Veloso. Complexidade de Algoritmos. Sagra-Luzzato, Alan Turing. On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, Series2, 42: , Zurich Chamber Orchestra. Comercial televisivo, Disponível em Elloá B. Guedes (IQuanta) Computação 22 de setembro de / 30