GBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Teoria de Algoritmos: Computabilidade e Máquina de Turing

Transcrição

1 GBC015: INTRODUÇÃO À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Teoria de Algoritmos: Computabilidade e Máquina de Turing Ilmério Reis da Silva ilmerio@ufu.br UFU/FACOM/BCC

2 Funções Def. Função Matemática: correspondência entre uma coleção de possíveis valores de entrada e uma coleção de valores de saída de forma que cada possível entrada receba uma única saída Alternativas para representação de funções: Tabela de valores Gráfico Equação Algoritmo, por exemplo, Fatorial (N).

3 Funções Computáveis Def. Função Computável: uma função é computável se existe um algoritmo que calcula os valores de saída à partir dos valores de entrada. Exemplo: Fatorial (N)

4 Teorema da incompletude de Gödel Kurt Friedrich Gödel ( ), Matemático, Filósofo Alguns axiomas sobre os números não podem ser provados. se não existe algoritmo para um problema, então esse problema não é computável.

5 Representações/definições alternativas de Algoritmo REPRESENTAÇÕES DE ALGORITMOS: Funções Matemáticas de Gödel Lambda Calculus de Church Máquina Abstrada de Alan Turing Tese de Church-Turing: uma função computável pode ser computada pela Máquina de Turing Universal ou Um algoritmo bem escrito pode ser convertido de uma representação para outra

6 Máquina de Turing Alan Turing ( ), Matemático, Cientista da Computação Componentes da Máquina de Turing proposta em 1936 Fita infinita: dividida em células que podem conter um elemento de um conjunto de símbolos Unidade de controle: possui um cabeçote de leitura e escrita na fita Programa: é uma sequência de passos executados pela Unidade de Controle

7 Representação da Máquina de Turing De acordo com o programa o cabeçote le/escreve na fita e se movimenta para direita ou esquerda

8 Funcionamento da Máquina de Turing-MT - Seja fita[p] um estado da MT na posição p da fita onde encontra-se gravado um símbolo (definimos dois tipos de estado especiais: um inicial e um ou mais finais) - A MT começa no estado inicial, grava e movimenta de acordo com o programa e o símbolo debaixo do cabeçote, mudando de estado - A MT pára quando o símbolo debaixo do cabeçote não estiver definido para o estado atual da máquina. - Se a MT parar em um estado final, a computação teve êxito!!!

9 Exemplo de MT para incrementar um valor no Sistema Binário As instruções do programa são conforme Fig 12.3 de [1] abaixo A fita inicia com a cadeia binária e com * nas extremidades da cadeia A cabeça de leitura inicia-se no estado START e posição do * à direita Simule a computação para a entrada * *

10 Formalização de uma MT Uma MT é uma quíntupla M = (Σ, Q, Π, q 0, F) onde: Σ = alfabeto Q = conjunto finito de estados Π = programa (ou função parcial de transição do tipo Π: Q x Σ Σ x {E, D} x Q), onde {E, D, *} significa a direção do movimento do cabeçote, a saber, Esquerda ou Direita ou Permanecer na posição q 0 = estado inicial F = conjunto de estados finais

11 Exemplo de MT que Apaga uma String Σ = {0, 1, ѣ} Q = {A} Π = {(A, 0, ѣ, D, A), (A, 1, ѣ, D, A) q 0 = A F = {A} Simule em uma folha de papel a execução iniciando na posição mais à esquerda da cadeia (string) Veja simulador em: (acesso em janeiro/2016)

12 REPRESENTAÇÃO DE MT DIAGRAMA DE ESTADOS GRAFO DIRIGIDO - Nodos significam estados - Arcos rotulados significam transições

13 EXEMPLO MT REPRESENTADA POR DIAGRAMA MT que devolve o complemento de uma cadeia binária. Exemplo inicio término 01010

14 Exercício de fixação Escreva uma MT que copia uma cadeia de A's e B's à direita da sequência original EXEMPLO: FITA DE ENTRADA: FITA NO TERMINO: ABA ABAABA

15 MT e Computabilidade Se um problema P é computável então há uma MT que resolve P e o inverso também é verdadeiro Todos os problema são computáveis? Não, conforme mostramos a seguir

16 O Problema da Parada da MT - HALT É possível criar um programa que receba como parâmetro um programa qualquer P e um conjunto de dados qualquer D e detecte se P para ao processar D? PROVA POR CONTRADIÇÃO: Suponha que exista tal programa chamado HALT Então HALT pode ser escrito da seguinte forma: HALT(programa P, dados D) { SE (P para com D) imprime PARA SENAO imprime LOOP }

17 O Problema da Parada da MT - CALL_HALT Assumindo que uma entrada de dados pode ser o próprio programa, podemos escrever o programa CALL_HALT da seguinte forma: CALL_HALT(programa P) { HALT(P, P) }

18 O Problema da Parada da MT - NEW_HALT Seja então NEW_HALT o seguinte programa: NEW_HALT(programa P) { SE (CALL_HALT(P) imprime LOOP ) PARA SENAO FIQUE EM LOOP

19 O Problema da Parada da MT - NEW_HALT O que ocorre se chamarmos NEW_HALT passando como parametro o próprio NEW_HALT, ou seja, NEW_HALT(NEW_HALT)? Caso HALT(NEW_HALT, NEW_HALT) imprime LOOP então NEW_HALT PARA, portanto há uma contradição. Caso contrário HALT(NEW_HALT, NEW_HALT) imprime PARA e NEW_HALT entra em LOOP, contradição A única hipótese lançada, ou seja, HALT existe, levanos a uma contradição, portanto, HALT não existe!! TEMOS ENTÃO UM PROBLEMA BEM ELABORADO QUE NÃO É COMPUTÁVEL!!!

20 Considerações Finais - Um problema que pode ser resolvido por uma MT pode ser implementado em qualquer computador e viceversa. - MT pode ser usada para reconhecer (ou aceitar) se uma cadeia de símbolos pertence a uma linguagem - Existem variações de MT, por exemplo: MT Não determinísticas; MT com múltiplas fitas; etc. - Há vários problemas não computáveis, por exemplo: Problema da parada Problema da totalidade: decidir se um programa qualquer P sempre pára, independente da entrada. Problema da equivalência: decidir se dois programas quaisquer P1 e P2 realizam a mesma computação

21 Bibliografia [1] BROOKSHEAR, J. Glenn. Ciência da computação: uma visão abrangente,,tradução da 11a ed [por] Eduardo K Pivete, Porto Alegre, Bookman, [2] FEDELI, Ricardo Daniel; POLLONI, Enrico Giulio Franco; PERES, Fernando Eduardo. Introdução à ciência da computação. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, [3] MOKARZEL, Fábio Carneiro. Introdução à ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, [4] Autran Macedo, Maria Adriana, Renato Pimentel e Ilmério Silva,

22 Material de Apoio Capítulo 12 de [1] Lista de exercícios

23 FIM Teoria de Algoritmos Computabilidade e Máquina de Turing