Teoria da Computação 31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30

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1 31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : M é máquina classificadora}, L 2 = {M M : L ac (M) = Σ }. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 2 é indecidível. Resolução: A indecidibilidade de L 2 é consequência imediata do teorema de Rice. Como L 2 M, então L 2 é indecidível desde que satisfaça três requisitos: (1) L 2, (2) L 2 M, e (3) se M L 2 e L ac (M) = L ac (M ) então M L 2. Verificamos cada um deles. (1) Considere-se a máquina A representada graficamente por: q in x x, S para cada x Σ { } q ac A máquina A aceita todos os inputs pelo que L ac (A) = Σ, e portanto A L 2 e L 2. (2) Considere-se a máquina B representada graficamente por: q in x x, S para cada x Σ { } q rj A máquina B rejeita todos os inputs pelo que L ac (B) = Σ, e portanto B / L 2 e L 2 M. (3) se M L 2 e L ac (M) = L ac (M ) então sabemos que L ac (M) = Σ = L ac (M ), e portanto também L ac (M ) = Σ, pelo que M L 2. Pelo teorema de Rice concluímos que L 2 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 1. Resolução: Não é possível usar (directamente) o teorema de Rice para demonstrar a indecidibilidade de L 1, pois existem máquinas M L 1 e M / L 1 com L ac (M) = L ac (M ). Nomeadamente, seja M uma máquina (classificadora) que rejeita todos os inputs, e M uma máquina (não classificadora) que entra em ciclo infinito para todos os inputs. Obviamente, tem-se L ac (M) = = L ac (M ), M L 1 e M / L 1.

2 Resolução: Começa-se por verificar que L 1 L 2. Basta considerar a função f : {0, 1} {0, 1} definida por f(x) = x se x / M, e f(x) = x caso contrário, onde x é a máquina definida a partir de x por: q in : w simula x sobre w (como na máquina universal) se aceita ou rejeita se aborta ciclo infinito q ac A função f é total, e computável por uma máquina que verifica se o input é uma máquina, devolvendo x ou x como output consoante o resultado. Se x / M então x / L 1 e f(x) = x / L 2. Se x M, então x L 1 se e só se x é máquina classificadora se e só se x aceita ou rejeita todos os inputs se e só se x aceita todos os inputs se e só se x = f(x) L 2. Verifique-se agora que L 2 L 1. Basta considerar a função g : {0, 1} {0, 1} definida por g(x) = x se x / M, e g(x) = x caso contrário, onde x é a máquina definida a partir de x por: q in : w simula x sobre w (como na máquina universal) se rejeita ou aborta ciclo infinito se aceita A função g é total e computável por uma máquina que verifica se o seu input é uma máquina, devolvendo x ou x como output consoante o resultado. Claramente, se x / M então x / L 2 e g(x) = x / L 1. Se x M, então x L 2 se e só se x aceita todos os inputs se e só se x não tem ciclos infinitos se e só se x é classificadora se e só se x = g(x) L 1. d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a partir da alínea a), que L 1 é indecidível. Resolução: Sabemos da alínea b) que L 2 L 1, nomeadamente por intermédio da função computável g : {0, 1} {0, 1, $}. Seja G uma máquina de Turing que calcule g. Assuma-se, por absurdo, que L 1 fosse decidível. Nesse caso, existiria um classificador D 1 tal que L ac (D 1 ) = L 1. Então, poder-se-ia construir a máquina D 2, descrita por: q ac q in : x g(x) simula D 1 sobre g(x) (como na máquina universal) se rejeita q rj simulando máquina G que calcula g se aceita q ac

3 Facilmente, D 2 é um classificador pois a função g é total e D 1 é um classificador. Além disso, D 2 aceita x se e só se D 1 aceita g(x) se e só se g(x) L 1 se e só se x L 2. Mas então D 2 decidiria a linguagem L 2, em contradição com a sua indecidibilidade, obtida na alínea a). y = x 1 + x x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais k i=1 x i é igual a y, onde os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 111 = S pois é 7. a) Demonstre que S P. Resolução: Considere-se a máquina de Turing D com alfabeto de trabalho Γ = {0, 1, +, =, } e duas fitas bidireccionais, representada por: q rj 01 01, SS 10 10, SS 1 1, SS 1 1, SS 00 00, LL 11 11, LL 0 0, SL 0 0, LS cmp, SL 0 0, SR 1 1, SR pre, SS = =, RS, SS, SS q ac, LS 00 0, LL 0 0, LL 10 1, LL 1 1, LL 01 1, LL =, LR 00 1, LL 0 1, LL = 0 1, LR = 1, LR q in lst som vai 11 0, LL 0 0, RS 1 1, RS 0 0, RS 1 1, RS + +, RS, SL +, LR +0 1, LR + 1, LR 10 0, LL 1 0, LL 01 0, LL 11 1, LL +1 +0, SL = 1 = 0, SL ret 0 0, SR 1 1, SR A máquina D começa por verificar que o input é da forma correcta, uma sequência de 0s e 1s até ao símbolo =, transitando para o estado lst onde se verifica que o resto do input é uma lista de sequências de 0s e 1s separadas pelo símbolo +. Depois, a partir do estado som começa a calcular-se na segunda fita a soma necessária. A lista é percorrida da direita para a esquerda e sucessivamente adicionada, sendo o resultado acumulado na fita 2. Ao processar cada soma, caso haja transporte, transita-se para o estado vai. Processado um dos números da lista (encabeçado por +) recolocamos a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita do

4 resultado acumulado (estado ret) e repete-se o procedimento. Processada toda a lista (símbolo =) transita-se para o estado pre, onde se recoloca de novo a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita do resultado acumulado, e transita-se para o estado cmp onde se procede à necessária comparação (considera-se que 0s à esquerda são irrelevantes). Analisando o comportamento de D, para um input y = x 1 + x x k de tamanho n, têm-se n + 1 passos na verificação do input, mais o número de passos para efectuar as k somas, mais o número de passos para a comparação final. Cada soma é efectuada num número de passos proporcional ao maior comprimento dos somandos que é O(n). Obviamente que k também é O(n), no pior caso. O mesmo se aplica à comparação final, pelo que se tem time D (n) O(n)+O(n).O(n)+O(n) = O(n 2 ). Mesmo tendo em conta que D tem duas fitas bidireccionais, sabemos que a linguagem S seria decidida por uma máquina com uma única fita unidireccional em tempo O(n 4 ) e portanto S P. demonstrar que se L P S e L S é C-completa então C P. Resolução: Da alínea a) temos uma máquina A, de tempo n a com a N, que decide S. Como sabemos que L P S, então existe uma função total f : Σ {0, 1, +, =} computável por uma máquina F em tempo O(n b ) com b N (onde Σ é o alfabeto subjacente à linguagem L) tal que w L se e só se f(w) S, para cada w Σ. Adicionalmente, como L S é C-completa então é C-difícil, e portanto X P L S para toda a linguagem X C. Logo, para cada X C, existe uma função total g X : Σ X (Σ {0, 1, +, =}) computável por uma máquina G X em tempo O(n c ) com c N (onde Σ X é o alfabeto subjacente à linguagem X) tal que w X se e só se g X (w) L S, para cada w Σ X. Dada X C, considere-se a máquina D X (com 2 fitas) descrita por: q in : w g X (w) simula máquina G X que calcula g X na fita 1 g X (w) g X (w) g X (w) f(g X (w)) copia resultado simula máquina F que calcula f na fita 2 simula D sobre g X (w) na fita 1 se rejeita simula D sobre f(g X (w)) na fita 2 se rejeita q rj se aceita se aceita q ac q ac

5 Facilmente, D X é um classificador pois as funções f, g x são totais e D é um classificador. Além disso, D X aceita w se e só se D aceita g X (w) ou f(g X (w)) se e só se g X (w) S ou f(g X (w)) S se e só se g X (w) S ou g X (w) L se e só se g X (w) L S se e só se w X. Conclui-se que D X decide a linguagem X C. Resta verificar que a máquina D X é de tempo polinomial. Tem-se, de facto, que time DX (n) time GX (n) + O(n + time GX (n)) + time F (n + time GX (n))+ time D (n+time GX (n))+time D (n+time F (n+time GX (n))) O(n c ) + O(n + n c ) + time F (n + O(n c ))+ time D (n + O(n c )) + time D (n + time F (n + O(n c ))) O(n c ) + O(n c ) + O((n + n c ) b )+ O((n + n c ) a ) + time D (n + O((n + n c ) b )) O(n c ) + O(n c ) + O(n bc ) + O(n ac ) + time D (n + O(n bc )) O(n bc ) + O(n ac ) + O((n + O(n bc )) a ) = O(n abc ) correspondendo ao tempo necessário para para calcular g X (w), copiar g X (w) para a segunda fita, e depois o tempo necessário para para calcular f(g X (w)), simular D sobre g X (w), e ainda simular D sobre f(g X (w)). Sabendo que existe uma máquina equivalente com uma única fita com uma desaceleração quadrática, podemos concluir que X é decidível em tempo O(n 2abc ), e portanto X P. Concluímos que C P. Resolução: O teorema de Savitch diz que se n f(n) então NSPACE(f(n)) SPACE(f(n) 2 ). Resolução: Uma função f diz-se construtível no espaço se log(n) = O(f(n)) e o cálculo de f(n) (em binário) a partir de n (em unário) é computável em espaço O(f(n)). O teorema de hierarquia espacial afirma que, se f é uma função construtível no espaço, então existe uma linguagem L SPACE(f(n)) que não pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(f(n)).

6 NTIME(n) SPACE(n 3 ). Resolução: Demonstramos que NTIME(n) NSPACE(n) SPACE(n 2 ) SPACE(n 3 ). NTIME(n) NSPACE(n) pois se L NTIME(n) então existe uma máquina não-determinista D que decide L tal que ntime D (n) = O(n). Mas tem-se nspace D (n) ntime D (n) já que em cada passo de computação a máquina D visita, no máximo, uma nova célula de memória. Assim, tem-se que nspace D (n) = O(n) e portanto L NSPACE(n). O teorema de Savitch garante que NSPACE(n) SPACE(n 2 ). Como n 2 = O(n 3 ) é imediato que SPACE(n 2 ) SPACE(n 3 ). Falta mostrar que existe L SPACE(n 3 ) tal que L / SPACE(n 2 ). Observe-se que log(n) = O(n 3 ) e que f(n) = n 3 é construtível no espaço. Basta notar que para o input 1 n o output pretendido (n 3 ) bin é tal que (n 3 ) bin 3. (n) bin = O(log(n)), e portanto é calculável em espaço linear obtendo (n) bin e depois realizando duas multiplicações. O teorema de hierarquia espacial diz-nos então que existe L SPACE(n 3 ) que não pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(n 3 ). Para mostrar que L / SPACE(n 2 ) basta verificar que n 2 = o(n 3 ). Vejase então que: n 2 lim n n 3 = lim 1 n n = 0.

7 31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : M é máquina classificadora}, L 2 = {M M : L ac (M) = Σ }. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 2 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 1. da alínea a), que L 1 é indecidível. y = x 1 + x x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais k i=1 x i é igual a y, onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 111 = S pois é igual a 7. a) Demonstre que S P. demonstrar que se L P S e L S é C-completa então C P. NTIME(n) SPACE(n 3 ).

8 31 de Maio de 2017 Teste 2B Duração: 1h30 Considere as linguagens L 1 = {M M : M aceita todas as palavras} e L 2 = {M M : todas as computações de M são finitas}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 1 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 2. da alínea a), que L 2 é indecidível. y#x 1 $x 2 $... $x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais y é o máximo do conjunto {x 1,..., x k }, onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 110#110$101$10 S pois 6 é o máximo de {6, 5, 2}. a) Demonstre que S PSPACE. demonstrar que se L P S e L \ S é C-difícil então C PSPACE. NTIME(n + log(n)) SPACE(n 3 n 2 ).

9 31 de Maio de 2017 Teste 2C Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : M não é máquina classificadora}, L 2 = {M M : L ac (M) Σ }. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 2 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 1. da alínea a), que L 1 é indecidível. u 1 $u 2 $... $u k #u, onde k 0 e u 1,..., u k, u {0, 1} para as quais (u) bin > k i=1 (u i ) bin. Por exemplo, 101$1$10#1001 S pois 9 > 8 = a) Demonstre que S P. demonstrar que se L P S e L S é C-completa então C P. NTIME(2n) SPACE(n 2. log(n)).

10 31 de Maio de 2017 Teste 2D Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : L ac (M) Σ }, L 2 = {M M : M tem pelo menos uma computação infinita}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 1 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 2. da alínea a), que L 2 é indecidível. y#x 1 $x 2 $... $x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais y min(x 1,..., x k ), onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 100#110$101$1000 S pois 4 5 = min(6, 5, 8). a) Demonstre que S PSPACE. demonstrar que se L P S e L S é C-difícil então C PSPACE. NTIME(n. n) SPACE(n 3. log(n)).

11 31 de Maio de 2017 Teste 2E Duração: 1h30 Considere as linguagens L 1 = {M M : M é máquina classificadora} e L 2 = {M M : M aceita todas as palavras}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 2 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 1. da alínea a), que L 1 é indecidível. x 1 + x x k < y, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais k i=1 x i é menor que y, onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, < 1000 S pois = 7 < 8. a) Demonstre que S PSPACE. demonstrar que se L P S e S L é C-completa então C PSPACE. NTIME(3n) SPACE(n 3 ).

12 31 de Maio de 2017 Teste 2F Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : L ac (M) = Σ }, L 2 = {M M : M não tem nenhuma computação infinita}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 1 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 2. da alínea a), que L 2 é indecidível. y#x 1 $x 2 $... $x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais y = max(x 1,..., x k ), onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 110#101$110$10 S pois 6 = max(5, 6, 2). a) Demonstre que S P. demonstrar que se L P S e L \ S é C-difícil então C P. NTIME(n + log(n 3 )) SPACE(n 3 n).

13 31 de Maio de 2017 Teste 2G Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : L ac (M) L rj (M) Σ }, L 2 = {M M : existe(m) palavra(s) não aceite(s) por M}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 2 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 1. da alínea a), que L 1 é indecidível. u 1 $u 2 $... $u k #u, onde k 0 e u 1,..., u k, u {0, 1} para as quais (u) bin k i=1 (u i ) bin. Por exemplo, 10$101$1#100 S pois 8 8 = a) Demonstre que S PSPACE. demonstrar que se L P S e L S é C-completa então C PSPACE. NTIME(n) SPACE(n 2. log(n) n 2 ).

14 31 de Maio de 2017 Teste 2H Duração: 1h30 Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens: L 1 = {M M : L ac (M) Σ }, L 2 = {M M : nem todas as computações de M são finitas}. a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L 1 é indecidível. b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L 2. da alínea a), que L 2 é indecidível. y#x 1 $x 2 $... $x k, onde k 0 e y, x 1,..., x k {0, 1} para as quais y é o mínimo de {x 1,..., x k }, onde todos os valores são tomados em representação binária. Por exemplo, 101#110$101$1000 S pois 5 é o mínimo de {6, 5, 8}. a) Demonstre que S P. demonstrar que se L P S e S L é C-difícil então C P. NTIME(n. n) SPACE(n 4 ).