Linguagem Universal. assim como a entrada ser processada por a. (b) A segunda fita de representa a fita de

Transcrição

1 Linguagem Universal 1. Uma máquina de Turing representa um PC? Ou representa um possível problema que um PC pode resolver? 2. Uma máquina de Turing pode ser utilizada para simular uma de Turing máquina. Esta máquina é chamada de máquina de Turing universal. 3. A máquina de Turing universal é uma máquina de Turing com quatro fitas, organizadas da seguinte maneira: (a) A primeira fita guarda as transições da máquina de Turing cujas transições são codificada na forma representando, com assim como a entrada ser processada por a. (b) A segunda fita de representa a fita de codificados da mesma forma que, com os símbolos de, ou seja, o símbolo! 1

2 4. 5. separados por. (c) A terceira fita de representado por simula da seguinte maneira: representa o estado de,. (A 4a. fita é de rascunho.) (a) Para realizar uma transição terceira fita, que contém o estado de, segunda fita, que contém a fita de, (b) então apaga todos os de é necessários que na esteja lendo, e na esteja lendo. s da terceira fita, substituíndo-os por que representa o novo defindo por. (c) Substitui Para tanto por na 2fita, shiftando a entrada se necessário. pode fazer uso da quarta fita, se necessário. (d) Move a cabeça de leitura na 2fita para a próxima sequência de zeros após oa direita ou a esquerda dependendo de, que representa direita ou esquerda. aceita o par, codificado, se aceita., 2

3 é indecidível. Mais ainda, é. Lembre-se que A Linguagem Universal é indecidível 1. A linguagem. Ou seja. mas não é 2. é por causa do algortimo de simulação através de uma MT com múltiplas fitas. Para provar que éindecidível, precisamos precisamos mostrar que não é recursiva. A prova é por contradição. Assuma que recursiva. Então é também é recursiva. O problema de aceitação de pode ser reduzido ao problema de aceitação de. Lembre-se que strings, cuja máquina de Turing, não aceitam. éexatamente a máquina de Turing universal que aceita, executa a máquina de Turing codificada por sobre a string e aceita se a máquina de Turing codificada por rejeitar No entanto sabemos que. logo não pode ser recursiva. quando dada uma string codificadas por é a linguagem das não é, 3

4 3. Note que este resultado, do ponto de vista de decidibilidade é mais relevante do que. Isso pois uma redução de problema só é possível se não- for. Ou seja, utilizada para mostrar indecidibilidade de problemas que são mas não são. é não- para um não pode ser 4. Por outro lado, se desejamos mostrar que um problema é nãoentão somente pode ser utilizada. 4

5 Reduções Os teoremas sobre indecidibilidade de 1. pertinência de e conjunto das linguagens não- constituem ferramental básico para falarmos sobre outros problemas relacionados a máquinas de Turing. ao 2. Vimos anteriormente a técnica de redução de problemas que nos permite falar sobre a decidibilidade de problemas fazendo uso de uma biblioteca de problemas conhecidamente indecidíveis. (Ou intratáveis, como veremos mais tarde). 3. Reduções serão representadas como máquinas de Turing de tal forma que reduzir de para na fita e terminar com uma instância de significa começar com uma instância de na fita. 4. Ao mostrar que um problema podemos concluir que reduz para um problema. é tão difícil quanto, 5. Teorema 1 Se existe uma redução de para, então: 5

6 (a) Se (b) Se é indecidível, então é não-, então é indecidível. é não-. não- é 6. A prova deste teorema é por absurdo. Para o Item 5a, assuma indecidível e para basta aplicar a transformação de em, definindo um algoritmo para, ao contrário do que haviamos assumido logo e. Neste caso temos um reconhecedor para, de tal forma que dada uma string em, ao aplicarmos a redução e depois o reconhecedor de se epode parar ou não caso contrário. Uma contradição a nossa hipótese de que logo tem que ser não-. decidível. Se existe um algoritmo que reduz de e um algoritmo para então dada uma instância de e depois o algoritmo de é indecidível. Para o Item 5b, assuma definimos uma máquina de Turing que irá parar 6

7 As linguagens e 1. Intuitivamente, uma linguagem e seu complemento são o mesmo problema. 2. Para motivar um resultado importante sobre linguagens (Teorema de Rice) provaremos alguns resultados sobre as linguagens e, sendo estas duas linguagens definidas sobre o alfabeto binário, que contradizem esta intuição. 3. Teorema 2. Para tanto precisamos mostrar que é e não é recursiva. 4. Para mostrar que precisamos construir uma MT que reconheça pelo menos uma string. Construímos então uma MT para que recebe uma string representando uma MT, que será entrada para uma máquina universal junto com uma string, gerada por. Se aceitar, então aceita. Caso 7

8 contrário a aceitar. continua gerando as possíveis strings que pode vir 5. Para mostrar que não é recursiva devemos construir uma redução de para. Ou seja, temos que construir uma MT que aceita sss aceita.faz o seguinte: sua entrada é ignorada e substituída pela string hard coded.então se comporta como a máquina universal que recebe e executa sobre. Desta forma, se aceitar,aceitará. Dada esta tradução, vamos assumir agora que é recursiva. Poderíamos então utilizar este algoritmo para resolver, simplesmente dizendo que se é aceita, então aceita e caso contrário não aceita. Mas sabemos que não é decidível, então tal algoritmo não pode existir. 6. Teorema 3 é não-. A prova é simples. Se quanto seriam recursivas. fosse, como é, então tanto não pode ser recursiva, pois 8

9 não é recursiva. Logo é não-. 9

10 Teorema de Rice 1. A intuição por traz do teorema de Rice é a de que qualquer propriedade que fale especificamente sobre uma linguagem indecidível. é 2. A versão formal deste teorema requer algumas definições. Primeiro é a noção de propriedade. Uma propriedade sobre uma linguagem é um conjunto de linguagens. Por exemplo a propriedade livre de contexto é o conjunto das linguagens livres de contexto. 3. Uma propriedade é dita trivial se é vazia ou o conjunto de todas as linguagens. 4. Ao falarmos sobre decidibilidade de uma propriedade falamos na realidade sobre a linguagem, ou seja, o conjunto de códigos de máquinas de Turing tal que é uma linguagem em, ou seja, os códigos das máquias de Turing que reconhecem as linguagens em. 10

11 5. Teorema 4 Toda propriedade não trivial sobre as linguagens não decidível. é 6. Vamos assumir inicialmente que a linguagem vazia não faz parte de. Se com a MT que aceita. Para provarindecidível vamos criar uma redução de para. O algoritmo de redução recebe um par e produz uma MT se comporta como que se aceitar. Ou seja, tanto quanto estão hard coded em. é não-trivial então existe uma linguagem 7. Considere como parte de. o conjunto de linguagens é que não tem a propriedade. indecidível. é ( e é indecidível.) Como toda MT aceita uma,, o conjunto de códigos para MT que não aceitam uma linguagem em é o mesmo que, ou seja o conjunto de códigos de MT que aceitam um linguagem em decidível então é também é.. Se 8. O que o teorema de Rice coloca é que propriedades sobre a 11

12 linguagem que a TM aceita são indecidíveis, alguns considerados interessantes por si só como decidir se uma linguagem é regular ou livre de contexto. No entanto questões sobre os estados da máquina de Turing, ao invés da linguagem aceita pela máquina podem ser decidíveis, como saber de uma TM tem um número de estados, ou saber se existe uma entrada para a qual a máquina faz no mínimo passos, dado que a máquina estará limitada pelo número de células na fita que poderão ser lidas em passos, permitindo uma simulação destas condições. 12