14.1 Linguagens decidíveis ou Turing reconhecíveis

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1 Linguagens decidíveis ou Turing reconhecíveis Problemas decidíveis para Linguagens Regulares Teorema Seja A linguagem A DFA é decidível A DFA = {A : A é um DFA e aceita } Dem Basta mostrar como construir um decisor para A DFA Input: A com A DFA e palavra Computabilidade i) Simula A com input ii) Se A aceitar, para e aceita Se A não aceitar, para e rejeita De facto a escrita de é bastante simples Tem que verificar se as descrições que recebe de A e são bem formadas, caso contrário rejeita Para simular A tem somente que manter o estado em que a simulação de A se encontra e à medida que lê os símbolos de proceder como descreve a função de transição de A Quando a leitura de termina, se o estado resultante constar da lista de estados finais, aceita, e rejeita no caso contrário Teorema Seja A linguagem A NFA é decidível Draft-v0 Dem O decisor de A NFA pode ser descrito como A NFA = {A : A é um NFA e aceita } Input: A com A NFA e palavra i) Transforma A num DFA A ii) Simula A com input iii) Se A aceitar, para e aceita Se A não aceitar, para e rejeita

2 Teorema Seja A linguagem A REX é decidível Teorema Seja A linguagem E DFA é decidível A REX = {α : α é uma expressão regular e (α)} E DFA = {A : A é DFA e (A) = } Dem Podemos construir a T que decide E DFA que percorre, com uma descida em largura, todos os estados de A, da seguinte forma Teorema Seja Input: A com A DFA i) arca o estado inicial de A ii) Repete até ao processo não marcar mais estados: iii) arca qualquer estado que ainda não tenha sido marcado e que tenha uma transição vinda de um estado já marcado iv) Se nenhum estado final tiver sido marcado, aceita Caso contrário, rejeita A linguagem EQ DFA é decidível EQ DFA = {A B : A e BDFA e (A) =(B)} Dem Como a classe das linguagens regulares é fechada para o complemento e intersecção, também é fechada para a diferença simétrica Ora, duas linguagens são iguais se e só se a sua diferença simétrica é vazia Assim, podemos substituir a condição (A) =(B) por (A) (B) (B) (A) = Draft-v0 Podemos, então definir a T que decide EQ DFA da seguinte forma Input: A B com A e B DFA i) Calcula o DFA C que representa (A) (B) (B) (A) ii) Devolve a resposta do decisor de E DFA aplicado a C Problemas decidíveis para CFL Teorema Seja A CFG = {G : G é CFG e (G)} 8

3 A linguagem A CFG é decidível Dem Um decisor para A CFG pode ser definido como a seguinte T S S Teorema Seja A linguagem E CFG é decidível Input: G com G CFG e palavra i) Converte G numa gramática equivalente G mas na forma normal de Chowmsky ii) Listam-se todas as derivações de G com passos, sendo o tamanho de iii) Se alguma destas derivações gera, aceita Caso contrário, rejeita E CFG = {G : G é CFG e (G) = } Dem Podemos construir uma T R que decide E CFG da forma seguinte R Input: G com G CFG i) arca todos os símbolos terminais ii) Repete até ao processo não marcar mais símbolos: iii) arca qualquer símbolo não terminal A com regra A U U U se todos os símbolos U U U já estiverem marcados iv) Se o símbolo inicial estiver marcado, rejeita Caso contrário, aceita Um problema Turing reconhecível para T Teorema 8 Seja Draft-v0 A linguagem A T é Turing reconhecível A T = {< >: éte ()} Dem Basta ver que a seguinte T U reconhece A T U Input: com T e palavra i) Executa com input ii) Se aceitar, aceita Caso contrário, rejeita A T U da demonstração do teorema anterior, não é particularmente complicada de entender No entanto é uma T muito interessante A máquina U recebe uma descrição de uma outra máquina de 9

4 Turing,, assim como de um seu input,, e simula o funcionamento da máquina com o input À máquina U chamamos normalmente áquina de Turing Universal e esta desempenhará um papel de importância em alguns resultados futuros Problema Considera o DFA representado pelo diagrama seguinte: 000 A DFA? 0 A DFA? A DFA? 000 A REX? E DFA? EQ DFA? 0 Problema Seja ALL DFA = {A : A é DFA e (A) =Σ } ostrar que ALL DFA é decidível Problema Seja Aε CFG = {G : G é CFG e ε (G)} ostrar que Aε CFG é decidível 0 Problema Seja E T = { : é uma T e () = } ostar que E T é Turing reconhecível Problema 8 Seja S = : um DFA tal que () R () ostrar que S é decidível Problema 9 Seja PREFIX FREE REX = {R : expressão regular e (R) livre de prefixos} ostrar que PREFIX FREE REX é decidível Problema 80 Seja C uma linguagem ostrar que C é Turing reconhecível se e só se existe uma linguagem decidível D tal que C = { : D} Indecidibildade O argumento diagonal de Cantor Quando tratamos de conjuntos finitos, a comparação de cardinalidades não é um problema complicado, mas o caso muda de figura quando tratamos de conjuntos infinitos Para termos um significado claro de cardinalidade definimo-la como a seguir Dois conjuntos A e B dizem-se equipotentes (ou equicardinais) se existir uma bijecção : A B Claro que se tivermos uma função injectiva : A B podemos garantir que A B A um conjunto que seja equipotente com o conjunto dos números naturais N dizemos que é numerável Estamos, pois, em condições de enunciar os seguintes resultados sobre cardinalidade de alguns conjuntos infinitos 0 Draft-v0 Teorema 9 O conjunto Z é numerável Dem Para tal provar basta considerar a seguinte função : Z N 0 0 se >0 se <0 A função é trivialmente uma bijecção, pelo que N = Z 0

5 Teorema 0 O conjunto Q é numerável Dem Como N Q temos que N Q ostremos que há uma função injectiva : Q + N Podemos inscrever todos os elementos de Q + numa tabela dispostos como se ilustra a seguir Podemos percorrer todos os racionais positivos como ilustra a linha a tracejado Isso constitui uma sucessão de valores racionais ( ) N que cobre todos os naturais positivos Tomemos então () = { : = } A função é trivialmente injectiva, pelo que Q + = N Agora basta mostrar que Q N usando a bijecção : Q N Teorema O conjunto R não é numerável 0 0 (() + ) se 0; (() + ) + se <0 Draft-v0 Dem ostremos que o intervalo [0 [ R não é numerável, o que é suficiente para garantir que R também não o é Para isso suponhamos, por absurdo, que [0 [ era numerável Então existiria uma função bijectiva : [0 [ N Como a função é bijectiva faz sentido falar em e podemos imaginar a tabela das imagens recíprocas dos sucessivos elementos de N Para simplificar vamos supor os valores de expressos em binário () Podemos mostrar que esta função não pode ser bijectiva encontrando um elemento de [0 [ que não seja imagem recíproca por de nenhum natural Para tal definamos como o numero cujos bits são da seguinte forma: o -ésimo bit é o complementar do -ésimo bit da imagem recíproca

6 por de Se ocorresse na tabela, digamos na posição, qual seria o valor do seu -ésimo bit? Deveria ser o complementar do que se encontra na tabela, ou seja, complementar de si próprio, o que é, evidentemente, absurdo Portanto não pode ser uma bijecção e R [0 [ > N Logo R não é numerável Estamos agora em condições de mostrar que nem as máquinas de Turing representam todas as linguagens existentes Teorema Há linguagens não Turing reconhecíveis Dem Vamos primeiro mostrar que o conjunto de todas as T é numerável Para isso notemos que, seja qual for o alfabeto Σ, Σ é numerável O facto é evidente, basta observar a seguinte função injectiva :Σ N Suponhamos que Σ = então façamos corresponder a cada caracter σ de Σ um diferente valor (σ) em { +} Façamos (ε) =0e(), com Σ +, igual ao valor de transformando cada símbolo pela função e interpretando o resultado como um número expresso em base + A função é trivialmente injectiva, pelo que Σ N Para a desigualdade contrária basta tomar σ Σ e a função : N Σ, com () =σ Portanto Σ é numerável Uma T pode ser representada por uma palavra que descreva completamente os seus elementos constituintes Como o conjunto de estados de uma T é finito, e os alfabetos nela intervenientes também o são (por definição de alfabeto), a descrição da sua função de transição assim como dos demais elementos constituem uma palavra (de tamanho finito) para algum alfabeto Σ Portanto as palavras de tal alfabeto representam todas as possíveis representações de T, e portanto o conjunto de todas as T é numerável Seja Σ um alfabeto, vimos que Σ é numerável Uma linguagem com o alfabeto Σ é um qualquer conjunto de palavras de Σ Suponhamos, por absurdo, que o conjunto das linguagens de alfabeto Σ é numerável Então haveria uma bijecção entre N e o conjunto das linguagens com tal alfabeto Enumeremos todas as palavras de tal alfabeto (o conjunto é numerável) como 0 Podemos então imaginar uma tabela que lista todas as linguagens, com a ordem dada pela bijecção, com a informação de que palavras pertencem a cada uma Construamos, usando o argumento diagonal de Cantor, uma linguagem que não pode ocorrer na tabela, e que portanto mostra que não é bijecção Seja L = { : N / ()} Se L estivesse na tabela, ou seja se L fosse imagem de algum natural, o que se poderia dizer acerca da palavra? (0) sim sim não não () sim não sim sim () sim sim não sim () não sim sim? Draft-v0 O absurdo resulta da suposição da existência da bijecção, pelo que o conjunto das linguagens de alfabeto Σ não é numerável Portanto existe pelo menos uma palavra que não é reconhecida por qualquer máquina de Turing Uma primeira linguagem indecidível Teorema A linguagem A T é indecidível Dem Suponhamos, por absurdo, que A T é decidível Seja H a T que decide A T H Input: com T e palavra i) Se aceita, aceita ii) Caso contrário, rejeita

7 Construamos uma outra T D que usa H, mas de forma um pouco diferente Uma descrição de uma T pode ser visto como uma palavra como outra qualquer Portanto faz sentido dar como input a uma máquina de Turing a descrição de uma outra máquina D Input:, com T i) Se H com input aceita, então rejeita ii) Se H com input rejeita, então aceita Resumindo, aceita D() rejeita se não aceita se aceita as o que acontece se executarmos D com input D? aceita se D(D) não aceita, D(D) rejeita se D(D) aceita ATD é, portanto, um objecto paradoxal, que não pode existir O absurdo resultou de se ter suposto a existência de H, ou seja que A T era decidível A demonstração da inexistência de D pode mais uma vez ser visto como uma instância do argumento diagonal Podemos imaginar uma tabela com o comportamento de todas as T quando lhes é dado como input a descrição de uma outra T A T D é definida como, quando com input, tendo o comportamento complementar à T () O absurdo resulta quando queremos averiguar qual o comportamento de D quando tem o input D, pois nesse caso o comportamento de D(D) está definido como o complementar de D(D) Draft-v0