Redutibilidade. Mário S. Alvim Fundamentos de Teoria da Computação (FTC) DCC-UFMG (2018/02)

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1 Redutibilidade Mário S. Alvim Fundamentos de Teoria da Computação (FTC) DCC-UFMG (2018/02) Mário S. Alvim Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 1 / 46

2 Redutibilidade: Introdução Até agora neste curso já: 1. Estabelecemos a máquina de Turing como nosso modelo de computação. E, pela Tese de Church-Turing, aceitamos que este é o modelo definitivo de computação. 2. Mostramos que existe pelo menos um problema (o problema da parada) que não tem solução neste modelo de computação. Portanto, aceitamos que o problema da parada é computacionalmente insolúvel (ou indecidível). Entretanto, há muitos outros problemas indecidíveis. Mas nem sempre queremos mostrar que um problema é indecidível de maneira direta, como fizemos com o problema da parada. Aqui vamos introduzir o conceito de redutibilidade, que é essencial em ciência da computação. Em particular, a redutibilidade pode ser usada para provar que problemas são indecidíveis (ou decidíveis). Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 2 / 46

3 Redutibilidade Reduzir um problema A a um problema B significa mostrar que se temos uma solução para o problema B, então temos uma solução para o problema A. Em outras palavras, reduzir o problema A ao problema B significa que uma solução para B pode ser utilizada para solucionar também A. Usamos naturalmente o conceito de redutibilidade no dia a dia. 1 O problema de matar a nossa fome pode ser reduzido ao problema de encontrar um restaurante para comer. 2 O problema de encontrar um restaurante para comer pode ser reduzido ao problema de procurar restaurantes num buscador na Internet. 3 O problema de saber o que foi dado na aula de FTC pode ser reduzido ao problema de se acessar o programa da disciplina. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 3 / 46

4 Redutibilidade O conceito de redutibilidade pode ser usado para mostrar que problemas têm ou não têm solução. Se um problema A é redutível a um problema B, então sabemos que: 1. Se B é decidível, então A também é decidível. Isso porque a solução de B pode ser usada para solucionar A. 2. Se A é indecidível, então B é indecidível. Isso porque se houvesse solução para B, haveria também solução para A, o que é uma contradição. Assim, para mostrar que um problema P é indecidível, basta mostrar que um problema Q que sabemos ser indecidível é redutível a P. Por exemplo, para mostrar que o problema da correspondência de Post é indecidível, basta reduzir o problema da parada a ele. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 4 / 46

5 Redutibilidade Mas atenção! A redutibilidade tem que ser usada com cuidado! Se um problema A é redutível a um problema B, note o seguinte. 3. Se A é decidível, isso não significa que B é decidível! Isso porque a solução de B pode ser usada para solucionar A, mas B pode ser muito mais difícil que A (i.e., B ainda pode ser indecidível). 4. Se B é indecidível, isso não significa que A é indecidível! De novo, isso acontece porque a solução de B pode ser usada para solucionar A, mas B pode ser muito mais difícil que A (i.e., B ainda pode ser indecidível). Assim, para mostrar que um problema P é indecidível, não adianta mostrar que P se reduz a um problema indecidível Q! Por exemplo, para mostrar que o problema da correspondência de Post é indecidível, não adianta reduzi-lo ao problema da parada! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 5 / 46

6 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 6 / 46

7 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Agora vamos dar exemplos de prova de indecidibilidade usando o conceito de redutibilidade. Nas nossas provas vamos poder usar o fato de que já determinamos que algum problema em específico é indecidível. Em particular, vamos começar usando o fato que já determinamos que o problema de aceitação para MTs é indecidível. A MT = { M, w M é uma MT e M aceita w}. Vamos então provar que vários problemas de linguagens são indecidíveis. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 7 / 46

8 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Algumas vezes nos referimos a A MT como o problema da parada, porém, estritamente falando, o problema da parada é a linguagem PARA MT = { M, w M é uma MT e M pára sobre a entrada w}. Teorema PARA MT é indecidível. Prova. Por contradição. Suponha que PARA MT seja decidível. Então existe uma MT R que decide PARA MT, e poderíamos usar R para construir uma MT S que decide a linguagem A MT da seguinte forma. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 8 / 46

9 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) S = Sobre a entrada M, w, uma codificação de uma MT M e de uma cadeia w: 1. Rode a MT R sobre a entrada M, w. 2. Se R rejeita, rejeite. 3. Se R aceita, simule M sobre w até que ela pare. 4. Se M aceitou, aceite; se M rejeitou, rejeite. Mas note que se R é capaz de decidir PARA MT, então claramente S é um decisor para A MT. Mas isto é uma contradição, pois já determinamos que A MT é indecidível. Logo concluímos que PARA MT é indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 9 / 46

10 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens O problema da vacuidade para MTs concerne a seguinte linguagem: V MT = { M M é uma MT e L(M) = }. Este é o problema de se decidir se a linguagem reconhecida por uma MT é vazia. Teorema V MT é indecidível. Prova. Por contradição. Suponha que V MT seja decidível. Então existe uma MT R que decide V MT, e podemos usar R para construir uma MT S para decidir a linguagem A MT da seguinte forma. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 10 / 46

11 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) Primeiro vamos mostrar como, dada uma MT arbitrária M e uma cadeia arbitrária w, podemos sempre construir uma MT auxiliar M w tal que: { {w}, se M aceita w, L(M w ) =, se M não aceita w. Mais precisamente, dados MT M e cadeia w, a MT auxiliar M w é: M w = Sobre a entrada x: 1. Se x w, rejeite. 2. Se x = w, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita w. Note que M w é construída de tal forma que L(M w ) se, e somente se, M aceita w, portanto, se tivermos um decisor para V MT, teremos um decisor para A MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 11 / 46

12 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) Agora, sabendo que podemos construir a MT M w sempre que necessário, provemos um decisor S para A MT. S = Sobre a entrada M, w, consistindo na codificação de uma MT M e de uma cadeia w: 1. Use a descrição de M e w para construir a MT auxiliar M w que se comporta como M sobre w, e rejeita toda cadeia x w. 2. Rode R sobre a entrada M w. 3. Se R aceita, rejeite; se R rejeita, aceite. Se R fosse um decisor para V MT, então S seria um decisor para A MT. Como já determinamos que um decisor para A MT não pode existir, V MT deve também ser indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 12 / 46

13 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens O problema da regularidade para MTs concerne a seguinte linguagem: REGULAR MT = { M M é uma MT e L(M) é uma linguagem regular}. Este é o problema de se decidir se dada uma MT, existe um AF equivalente a ela. Teorema REGULAR MT é indecidível. Prova. Por contradição. Suponha que REGULAR MT seja decidível. Então existe uma MT R que decide REGULAR MT, e podemos usar R para construir uma MT S para decidir a linguagem A MT da seguinte forma. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 13 / 46

14 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) Primeiro vamos mostrar como, dada uma MT arbitrária M e uma cadeia arbitrária w, podemos sempre construir uma MT auxiliar M w tal que: L(M w ) = { Σ, se M aceita w, {0 n 1 n n 0}, se M não aceita w. Note que como {0 n 1 n n 0} não é regular mas Σ é, sabemos que L(M w ) será regular se, e somente se, M aceita w. Portanto, reduzimos o problema de decidir se M aceita w ao problema de decidir se L(M w ) é regular. Usando esta observação acima, usar o decisor R de REGULAR MT para construir a seguinte MT S decisora para A MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 14 / 46

15 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) S = Sobre a entrada M, w, uma codificação de uma MT M e de uma cadeia w: 1. Construa a seguinte MT M w : M w = Sobre a entrada x: 1. Se x tem a forma 0 n 1 n, aceite. 2. Se x não tem a forma 0 n 1 n, rode M sobre a entrada w e aceite se M aceita w. 2. Rode a MT R sobre a entrada M w. 3. Se R aceita, aceite; se R rejeita, rejeite. Claramente, se R é capaz de decidir REGULAR MT, então S é um decisor para A MT. Mas isto é uma contradição, pois A MT é indecidível. Logo concluímos que REGULAR MT também deve ser indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 15 / 46

16 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens O problema da equivalência de MTs concerne a seguinte linguagem: EQ MT = { M 1, M 2 M 1 e M 2 são uma MTs e L(M 1 ) = L(M 2 )}. Este é o problema de se decidir se duas MTs reconhecem a mesma linguagem. Teorema EQ MT é indecidível. Prova. Por contradição. Suponha que EQ MT seja decidível. Então existe uma MT R que decide EQ MT, e podemos usar R para construir uma MT S para decidir a linguagem V MT da seguinte forma. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 16 / 46

17 Problemas Indecidíveis e Teoria de Linguagens Prova. (Continuação) S = Sobre a entrada M, onde M é uma MT: 1. Rode a MT R sobre a entrada M, M V, onde M V é uma MT que rejeita todas as entradas. 2. Se R aceita, aceite; se R rejeita, rejeite. Note que L(M V ) =. Logo, ao decidir se uma MT M de entrada é equivalente a M V, a máquina S está decidindo V MT. Mas isto é uma contradição, pois V MT é indecidível. Como S só é capaz de decidir V MT porque usa o decisor R para EQ MT, concluímos que tal decisor R não pode existir, e EQ MT também deve ser indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 17 / 46

18 Redutibilidade por Mapeamento Mário S. Alvim Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 18 / 46

19 Redutibilidade por Mapeamento Até agora mostramos como usar a técnica de redutibilidade para demonstrar que vários problemas são indecidíveis. Porém, ainda formalizamos o conceito de redutibilidade. Faremos isso agora, o que nos permitirá fazer demonstrações mais refinadas, incluindo: Mostrar que linguagens não são Turing-reconhecíveis. (Isto é uma aplicação de redução à Teoria de Linguagens.) Mostrar resultados relativos à complexidade de algoritmos. (Isto é uma aplicação de redução à Teoria de Complexidade.) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 19 / 46

20 Redutibilidade por Mapeamento O conceito de redutibilidade pode ser formalizado de várias formas equivalentes. Aqui adotamos a de redutibilidade por mapeamento (ou redutibilidade muitos-para-um ). A ideia central é que ser capaz de reduzir um problema A a um problema B usando redução por mapeamento significa que existe uma função computável que converte instâncias do problema A em instâncias do problema B. Se tivermos a função de conversão, que é denominada redução, podemos resolver A usando um solucionador para B: basta converter a instância desejada de A em uma instância de B e então resolver a instância de B. Para tornar a ideia acima precisa, vamos primeiro definir o conceito de função computável. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 20 / 46

21 Funções computáveis Uma função f : Σ Σ é uma função computável se alguma máquina de Turing M, sobre toda entrada w, pára com exatamente f (w) sobre sua fita. Exemplo 1 As operações usuais sobre inteiros (+,,, /, etc.) são todas computáveis. Por exemplo, é fácil ver que podemos construir uma MT que recebe a entrada m, n e retorna m + n, a soma de m e n. Exemplo 2 Funções computáveis podem ser transformações de descrições de máquinas. Por exemplo, uma função computável f pode tomar uma cadeia w e retornar a descrição M de uma MT tal que, se w = M for a codificação de uma MT M, então M é uma MT equivalente a M mas que nunca tenta mover sua cabeça para além da extremidade esquerda da fita. A função retorna ɛ se w não for a codificação de uma MT válida. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 21 / 46

22 Redutibilidade por mapeamento: definição formal A linguagem A é redutível por mapeamento à linguagem B, escrito A m B, se existe uma função computável f : Σ Σ, onde para toda cadeia w, w A f (w) B. A função f é denominada a redução de A para B. Uma redução por mapeamento de A para B provê uma maneira de converter questões do tipo w A? em questões do tipo f (w) B? Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 22 / 46

23 Redutibilidade por mapeamento: definição formal O seguinte teorema diz que se um problema for redutível por mapeamento a outro problema previamente resolvido, então temos uma solução para o problema original. Teorema Se A m B e B é decidível, então A é decidível. Prova. Seja M ser um decisor para B e f a função de redução de A para B. Então a MT N abaixo é um decisor para A: N = Sobre a entrada w: 1. Compute f (w). 2. Rode M sobre a entrada f (w) e dê como saída o que M der como saída. Note que w A sse f (w) B, já que f é uma redução de A para B. Logo M aceita f (w) sse w A, e portanto N é um decisor para A. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 23 / 46

24 Redutibilidade por mapeamento: definição formal O seguinte corolário do teorema anterior tem sido nossa principal ferramenta provar indecidibilidade de problemas. Corolário Se A m B e A é indecidível, então B é indecidível. Prova. Este resultado é apenas o contrapositivo do resultado anterior. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 24 / 46

25 Redutibilidade por mapeamento: Exemplo Exemplo 3 Em um resultado anterior usamos uma redução de A MT para mostrar que PARA MT é indecidível. Aqui vamos revisitar este problema evidenciando a redução por mapeamento implicitamente utilizada. A redução mostrou como um decisor para PARA MT pode ser usado para dar um decisor para A MT. Podemos exibir uma redução por mapeamento de A MT para PARA MT dando uma função computável f que toma qualquer entrada da forma M, w e retorna uma entrada da forma M, w onde M, w A MT se, e somente se, M, w PARA MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 25 / 46

26 Redutibilidade por mapeamento: Exemplo Prova. (Continuação) A seguinte máquina F computa a função f. F = Sobre a entrada M, w : 1. Construa a seguinte MT M. M = Sobre a entrada x: 1. Rode M sobre x. 2. Se M aceita, aceite. 3. Se M rejeita, entre em loop. 2. Dê como saída M, w. Note que quando a cadeia de entrada M, w não está bem formada (e, portanto, não pertence a A MT ), a MT F produz uma cadeia M, w que não pertence a PARA MT. Logo, F computa um mapeamento correto de A MT para PARA MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 26 / 46

27 Redutibilidade por mapeamento A redutibilidade por mapeamento é sensível ao complemento, i.e., w A f (w) B e w / A f (w) / B. Isto pode ser usado para provar não-reconhecibilidade de linguagens. Teorema Se A m B e B é Turing-reconhecível, então A é Turing-reconhecível. Prova. Seja M um reconhecedor para B, e f a função de redução de A para B. Então a MT N abaixo é um reconhecedor para A: N = Sobre a entrada w: 1. Compute f (w). 2. Rode M sobre a entrada f (w) e dê como saída o que M der como saída (se M parar). Note que w A se f (w) B, já que f é uma redução de A para B. Logo M aceita f (w) se w A, e portanto N é um reconhecedor para A. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 27 / 46

28 Redutibilidade por mapeamento Corolário Se A m B e A não é Turing-reconhecível, então B não é Turing-reconhecível. Prova. Este resultado é apenas o contrapositivo do resultado anterior. Note que pela definição de redutibilidade por mapeamento, Isto ocorre porque A m B significa o mesmo que A m B. w A f (w) B significa o mesmo que w A f (w) B. Logo, o corolário acima implica que para mostrar que B não é reconhecível, podemos mostrar que A MT m B, uma vez que: 1. A MT m B é o mesmo que A MT m B; e 2. sabemos que A MT não é Turing-reconhecível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 28 / 46

29 Redutibilidade por mapeamento O próximo resultado ilustra que podemos também usar a redutibilidade por mapeamento para mostrar que certos problemas não são Turing-reconhecíveis, nem co-turing reconhecíveis. Teorema EQ MT não é Turing-reconhecível, nem co-turing-reconhecível. Prova. A prova tem duas partes. Primeiro mostramos que EQ MT não é Turing-reconhecível. Para tal, mostramos que A MT é redutível a EQ MT. (O que o mesmo que mostrar que A MT é redutível a EQ MT.) A seguinte MT F computa a função redutora f de A MT para EQ MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 29 / 46

30 Redutibilidade por mapeamento Prova. (Continuação) F = Sobre a entrada M, w, onde M é uma MT e w é uma cadeia: 1. Construa as seguintes máquinas M 1 e M 2: M 1 = Sobre qualquer entrada: 1. Rejeite. M 2 = Sobre qualquer entrada: 1. Rode M sobre w. Se ela aceita, aceite. 2. Dê como saída M 1, M 2. Note que na função F : L(M 1 ) =, e L(M 2 ) = { Σ, se M aceita w,, se M não aceita w portanto M, w A MT se, e somente se, M 1, M 2 EQ MT, e concluímos que f reduz A MT a EQ MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 30 / 46

31 Redutibilidade por mapeamento Prova. (Continuação) Na segunda parte da prova mostramos que EQ MT não é Turing-reconhecível. Para tal, mostramos que A MT é redutível ao complemento de EQ MT, ou seja, que A MT é redutível a EQ MT. A seguinte MT G computa a função redutora g de A MT para EQ MT. G = Sobre a entrada M, w, onde M é uma MT e w é uma cadeia: 1. Construa as seguintes máquinas M 1 e M 2: M 1 = Sobre qualquer entrada: 1. Aceite. M 2 = Sobre qualquer entrada: 1. Rode M sobre w. Se ela aceita, aceite. 2. Dê como saída M 1, M 2. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 31 / 46

32 Redutibilidade por mapeamento Prova. (Continuação) Note que na MT G: L(M 1 ) = Σ, e L(M 2 ) = { Σ, se M aceita w,, se M não aceita w, portanto M, w A MT se, e somente se, M 1, M 2 EQ MT, e concluímos que f reduz A MT a EQ MT. Para finalizar, note que a única diferença entre G e F é a máquina M 1 : em F ela sempre rejeita, enquanto em G ela sempre aceita. Em ambas f e g, M aceita w se, e somente se, M w sempre aceita. Em g, M aceita w se, somente se, M 1 e M 2 são equivalentes. Portanto, g reduz A MT a EQ MT. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 32 / 46

33 O Teorema de Rice Mário S. Alvim Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 33 / 46

34 O Teorema de Rice: Introdução Até agora demonstramos vários resultados importantes sobre as limitações da computação: 1. Vários problemas interessantes são indecidíveis. Um exemplo de problema indecidível é o problema da aceitação para MTs. (Mas pelo menos ele era Turing-reconhecível.) 2. Vários problemas interessantes não são Turing-reconhecíveis. Um exemplo era o problema de decidir se um programa entra em loop. (Mas pelo menos ele era co-turing-reconhecível, isto é, apesar de não ser possível reconhecer quando um programa entra em loop, é possível reconhecer quando ele não entra em loop.) 3. Existem problemas que não são Turing-reconhecíveis, nem co-turing-reconhecíveis. Por exemplo, o problema de equivalência de MTs. (Não é possível reconhecer quando duas MTs são equivalentes, e não é possível reconhecer quando duas MTs não são equivalentes.) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 34 / 46

35 O Teorema de Rice: Introdução Já vimos que a maioria dos problemas é indecidível (e, além disso, Turing-irreconhecível). Entretanto, existem muitos problemas interessantes que são indecidíveis? O Teorema de Rice responde a essa pergunta, afirmando que a maioria absoluta dos problemas interessantes é indecidível! Essencialmente, o teorema diz que toda propriedade não-trivial de uma linguagem reconhecida por uma MT é indecidível. Dado um conjunto S, uma propriedade P é um subconjunto P S. 1 Dado o conjunto H de seres humanos, a propriedade de ser mulher pode ser representada pelo subconjunto F H de todas as mulheres. Checar se uma pessoa h H satisfaz a propriedade de ser mulher é equivalente a checar se h F. Aqui vamos tratar sobre propriedades do conjunto de todas as descrições de máquinas de Turing. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 35 / 46

36 O Teorema de Rice: Propriedades de linguagens Formalmente, uma propriedade P de linguagens é uma coleção de descrições de máquinas de Turing satisfazendo que Se L(M 1 ) = L(M 2 ) então M 1 P M 2 P. Note que uma propriedade é, ela mesma, uma linguagem que contém cadeias descrevendo MTs. Exemplos de propriedades de linguagens incluem: 1 A linguagem reconhecida pela MT é regular? 2 A cadeia 00 pertence à linguagem reconhecida pela MT? Já os exemplos abaixo não são propriedades de linguagens, mas apenas propriedades de MTs (já que podem existir MTs equivalentes para a mesma linguagem tais que uma satisfaz a propriedade, e a outra não.) 1 A cadeia 00 é aceita em menos do que 10 passos de computação? 2 Nunca se usam mais que 100 posições da fita para aceitar qualquer cadeia? Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 36 / 46

37 O Teorema de Rice: Propriedades não-triviais de linguagens Uma propriedade não-trivial de linguagens é uma propriedade P tal que: 1. P inclui pelo menos uma descrição de MT, e 2. P não inclui todas as descrições de MTs. São exemplos propriedades não-triviais de linguagens: 1 A cadeia 00 pertence à linguagem reconhecida pela MT? 2 A linguagem reconhecida pela MT é regular? Uma propriedade trivial de linguagens é uma propriedade P que ou inclui todas as descrições de MTs, ou não inclui nenhuma descrição de MT. São exemplos de propriedades triviais de linguagens: 1 A MT aceita um número inteiro de cadeias? (Toda MT satisfaz essa propriedade.) 2 A MT aceita e rejeita toda cadeia? (Nenhuma MT satisfaz essa propriedade.) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 37 / 46

38 O Teorema de Rice Teorema (Teorema de Rice) Para qualquer propriedade não-trivial P de linguagens reconhecidas por máquinas de Turing, o problema de determinar se a linguagem de uma MT M satisfaz a propriedade P é indecidível. Prova. Por contradição. Assuma que a propriedade não-trivial P seja decidível e que, portanto, haja um decisor R P para P. Seja T uma MT que sempre rejeite (i.e., L(T ) = ). Podemos assumir, sem perda de generalidade, que T / P (pois caso T P podemos trocar a propriedade P por P no restante desta prova). Como P é não-trivial, existe uma MT T tal que T P. Vamos construir um decisor S para A MT usando a capacidade de R P de distinguir entre T e T. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 38 / 46

39 O Teorema de Rice Prova. (Continuação) S = Sobre a entrada M, w : 1. Use M e w para construir a seguinte MT M w. M w = Sobre a entrada x: 1. Simule M sobre w. Se ela pára e rejeita, rejeite. 2. Simule T sobre x. Se ela aceita, aceite; se não, rejeite. 2. Use a MT R P para determinar se M w P. Se sim, aceite; se não, rejeite. Note que e, portanto, L(M w ) = { L(T ), se M aceita w, L(T ), se M não aceita w, M w P se, e somente se, M aceita w. Isto significaria que A MT é decidível, o que é uma contradição. Logo, concluímos que P não pode ser decidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 39 / 46

40 O Teorema de Rice - Exemplo Exemplo 4 Use o Teorema de Rice para mostrar que a linguagem P 42 = { M M é uma MT e L(M) tem exatamente 42 palavras} é indecidível. Prova. Note que a linguagem P 42 é uma linguagem que consiste em descrições de MTs, portanto é uma propriedade. Além disso, note que P 42 satisfaz as condições do Teorema de Rice: 1. P 42 é uma propriedade não-trivial: algumas linguagens reconhecidas por MTs contêm exatamente 42 palavras, enquanto outras têm um número diferente de palavras. 2. A propriedade descrita por P 42 é uma propriedade da linguagem, e não da MT que reconhece a linguagem. (Mais precisamente, sempre que L(M 1) = L(M 2), temos que M 1 P 42 se, e somente se, M 2 P 42). Logo o Teorema de Rice se aplica a P 42, e ela é uma linguagem indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 40 / 46

41 O Teorema de Rice - Exemplo Exemplo 5 O Teorema de Rice pode ser aplicado à linguagem abaixo? P 10 = { M M reconhece a cadeia abc em menos de 10 passos de computação} Solução. Note que a linguagem P 10 é uma linguagem que consiste em descrições de MTs, e portanto P 10 é uma propriedade. Entretanto, note que P 10 não satisfaz as condições do Teorema de Rice. Apesar de P 10 ser uma propriedade não-trivial (algumas linguagens reconhecidas por MTs pertencem a P 10 e outras não), a propriedade descrita por P 10 não é uma propriedade da linguagem, mas apenas uma propriedade da MT que reconhece a linguagem. Mais precisamente, é possível ter duas MTs M 1 e M 2 tais que L(M 1 ) = L(M 2 ), mas M 1 P 10 e M 2 / P 10. Como suas condições não são satisfeitas para P 10, não podemos aplicar o Teorema de Rice para concluir que P 10 é uma propriedade indecidível. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 41 / 46

42 Apêndice - Implicações da indecidibilidade do Problema da Parada Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 42 / 46

43 Implicações da indecidibilidade do Problema da Parada O Problema da Parada ser indecidível tem algumas implicações profundas. A primeira delas tem a ver com a prova de teoremas matemáticos. Vamos exemplificá-la com a conjectura de Goldbach. Conjectura de Goldbach: Todo inteiro par maior que 3 pode ser expresso como a soma de dois primos. 1 4 = = = = Esta conjectura está em aberto desde 1 742! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 43 / 46

44 Implicações da indecidibilidade do Problema da Parada Teorema Se o Problema da Parada fosse decidível, teríamos uma solução para a Conjectura de Goldbach. Prova. Considere a seguinte MT G. G = Ignore a entrada. 1. De i = 4 até infinito, faça o seguinte: 1. Teste se i pode ser escrito como a soma de dois primos. 2. Se i não for a soma de dois primos, dê i como saída e pare. Note que a MT G pára se, e somente se, a Conjectura de Goldbach é falsa. Logo, se o Problema da Parada fosse decidível, bastaria aplicar seu decisor a G para decidir a Conjectura de Goldbach. Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 44 / 46

45 Implicações da indecidibilidade do Problema da Parada O caso da conjectura de Goldbach é um caso particular de um resultado importante da teoria de linguagens. Teorema Se o problema da parada fosse decidível, então toda linguagem Turing-reconhecível seria também uma Turing-decidível. Prova. Como esta é a última prova de teorema deste curso, eu não vou tirar seu prazer de fazê-la por conta própria! (Na verdade, você já a fez em sala de aula, então você pode refazê-la aqui!) Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 45 / 46

46 Implicações da indecidibilidade do Problema da Parada Já demonstramos que vários problemas interessantes, como o problema da parada e o da equivalência de MTs, são indecidíveis. Entretanto, um aspecto intrigante da demonstrabilidade é que existem problemas para os quais nunca vamos ser capazes de: 1. achar uma solução; 2. e nem ao menos demonstrar que eles não têm solução! Considere novamente a Conjectura de Goldbach. 1. Se ela for falsa, podemos demonstrar isso com um contra-exemplo. 2. Logo, se não pudermos demonstrar a conjectura de Goldbach, é porque ela necessariamente é verdadeira. 3. Portanto, se pudermos demonstrar que não é possível demonstrar a conjectura, estamos demonstrando que ela é verdadeira, o que é uma contradição. Logo, concluímos que se a conjectura de Goldbach não for demonstrável, não vamos jamais conseguir demonstrar que ela não é demonstrável! Mário S. Alvim (msalvim@dcc.ufmg.br) Redutibilidade DCC-UFMG (2018/02) 46 / 46