Linguaguens recursivamente enumeráveis e recursivas

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1 Linguaguens recursivamente enumeráveis e recursivas Uma linguagem diz-se recursivamente enumerável (r.e) ou semi-decidível se é aceite por uma máquina de Turing. SD: classe de linguagens recursivamente enumeráveis Uma linguagem diz-se recursiva ou decidível se existe uma máquina de Turing que a reconhece, isto é, a máquina pára para todos os dados e: num estado final se a palavra dada pertence à linguagem num estado não final se a palavra dada não pertence à linguagem. D: classe de linguagens recursivas Proposição D SD. Dem. Se L D então existe uma MT M que a reconhece. particular aceita L. E portanto em Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 1

2 Decidibilidade e semi-decidibilidade Embora normalmente se use indiferentemente os termo recursiva/ decidível e recursivamente enumerável/semi-decidível os primeiros devem aplica-se a linguagens e os segundos a propriedades dessas linguagens. Seja P uma propriedade sobre palavras e L uma linguagem, então: P é decidível {x P (x)} é recursiva L é recursiva x L é decidível P é semi-decidível {x P (x)} é r.e. L é r.e x L é semi-decidível Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 2

3 Máquinas de Turing calculadoras de funções Uma função parcial f diz-se recursiva se existir uma máquina de Turing que calcula a função para todos os valores em que está definida não terminando a execução caso contrário. Uma função total f diz-se recursiva total se existir uma máquina de Turing que calcula a função para todos os valores do argumento, isto é, a TM pára para quaisquer argumentos. As funções recursivas totais correspondem a linguagens recursivas. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 3

4 Máquinas de Turing e Autómatos Finitos Proposição Se L é regular (L R) então L é recursiva. (L D). Dem. Seja L = L(A) e A = (S, Σ, δ, s 0, F ) um AFD então, e M = (S {s f }, Σ, Σ { }, δ M, s 0,, {s f }) δ M (s, a) = (s, a, ) se δ(s, a) = s δ M (s, ) = (s f,, ), se s F. Então M reconhece L. (Verifica!) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 4

5 Máquinas de Turing e Autómatos de Pilha Proposição (L D). Se L é independente de contexto (L I C ) então L é recursiva. Dem. (Ideia da demonstração) Dado um autómato de pilha P = (S, Σ, Γ, δ, Z 0, F ) que aceita L por estados finais constrói-se uma MT M que dado x, simula P com dados x: x Z0 Z Dados começa por colocar no fim dos dados, o símbolo Z 0, que representa o topo da pilha. volta para trás e processa os dados: estando no estado s, para cada símbolo lido a, tem de verificar qual o símbolo do topo da pilha (fim direito dos caracteres não brancos) (Z), e se δ(s, a, Z) = (s, γ), escreve γ ao contrário a partir da posição em que Z estava, passa para o estado s e anda para trás para ler o próximo símbolo de entrada. Pilha Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 5

6 quando terminar os dados e se estiver num estado final de P, muda para o estado (novo) final de M. Nota, que tem de se introduzir vários estados extra para percorrer a fita entre os dados e a pilha...e tem de se ir marcando os símbolos dos dados já lidos. Exercício Termina a demonstração anterior, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 6

7 Comparação dos modelos de computação Memória Acesso Modelo Gramáticas Linguagens Finita Fixo Autómatos Finitos Regulares R Ilimitada Topo da pilha Autómatos de Independentes I C Pilha de Contexto Ilimitada Sequencial (não restrito) Máquinas de Tipo 0 SD Turing R I C SD Em resumo, todos os problemas que se podem resolver usando métodos computacionais (programas em linguagens de programação de uso geral) podem ser resolvidos por uma máquina de Turing... é tudo uma questão de paciência... Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 7

8 Técnicas para a escrita de máquinas de Turing Pode ser conveniente supor que o controlo finito e a fita tem alguma estrutura.isto não altera em nada o modelo da máquina de Turing básica. Múltiplas pistas Os símbolos da fita tem pistas, isto é, são tuplos de símbolos que a cabeça reconhece simultaneamente: [a,x]. Neste caso um dos símbolos pode servir de marca, sem se perder a informação de qual o símbolo que estava. Exemplo: Se cada célula com os dados for da forma [a, ], a Σ e os brancos [, ], durante o processamento podemos marcar as células com [a, X], X Γ, sem apagar o a... Controlo finito com memória finita Os estados podem ser da forma [s, A], onde A representa um (ou mais) símbolo de Γ que se pretende memorizado (por exemplo, para recordar o último símbolo lido).isto reduz o número de estados necessários e torna o seu significado mais expĺıcito. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 8

9 Restrições/Extensões de MTs Várias modificações da máquina de Turing básica são possíveis sem que o modelo de computação obtido seja nem mais nem menos poderoso. Alfabeto Qualquer alfabeto pode ser codificado noutro com apenas dois símbolos. Movimentos da cabeça {, } ou {,, } (esquerda/não mexe/direita) Tamanho da fita Duplamente infinita ou semi-infinita Número e tipo de fitas múltiplas fitas de leitura/escrita; uma escrita de saída e uma fita de leitura/escrita; uma fita de leitura e múltiplas fitas de leitura/escrita; Determinísticas/Não determinísticas Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 9

10 MTs com uma fita semi-infinita a 1 a 2... a i... a n... controlo finito Se X 1 X i 1 sx i X n é uma configuração e δ(s, X i ) = (s, Y, D) e i = 1 então D = obrigatoriamente. Teorema 1. L é uma linguagem aceite por uma MT com uma fita duplamente infinita se e só se é aceite por uma MT com uma fita semi-infinita. ( )Uma MT M 2 com uma fita duplamente infinita pode simular facilmente uma MT com uma fita semi-infinita, M 1.Como?Basta marcar a célula à esquerda da cabeça no início e simular M 1. ( )M 2 = (S 2, Σ 2, Γ 2, δ 2, s 2,, F 2 ) com fita duplamente infinita. M 1 tem a fita dividida em duas pistas:a superior S correspondente à fita de M 2 à direita da célula onde inicialmente se encontra a cabeça e a inferior I à fita à esquerda dessa célula. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 10

11 Fita de M 2 :... a 2 a 1 a 0 a 1 a 2... Fita de M 1 : a 0 a 1 a 2... a 1 a 2,... M 1 = (S 1, Σ 1, Γ 1, δ 1, s 1, [, ], F 1 ) S 1 = {[s, S], [s, I] s S 2 } {s 1 }, Σ 1 = {[a, ] a Σ 2 }, Γ 1 = {[X, Y ] X Γ 2, Y Γ 2 { }}, F 1 = {[s, S], [s, I] s F 2 } Para cada a Σ 2 { }, δ 1 (s 1, [a, ]) = ([s, S], [X, ], ), se δ 2 (s 2, a) = (s, X, ) δ 1 (s 1, [a, ]) = ([s, I], [X, ], ), se δ 2 (s 2, a) = (s, X, ) Para cada [X, Y ] Γ 1, com Y δ 1 ([s, S], [X, Y ]) = ([s, S], [Z, Y ], m), se δ 2 (s, X) = (s, Z, m) e m = ou m =, δ 1 ([s, I], [X, Y ]) = ([s, I], [X, Z], m), se δ 2 (s, Y ) = (s, Z, m) e se m = então m = e se m = então m =, δ 1 ([s, S], [X, ]) = δ 1 ([s, I], [X, ]) = ([s, P ], [Y, ], ), se δ 2 (s, X) = (s, Y, m) e P = S se m = e P = I se m = Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 11

12 MTs com k fitas de leitura/escrita Uma máquina de Turing com k fitas, k > 1, consiste num controlo finito com k cabeças, uma para cada uma das k fitas.... a bi... Num movimento, muda de estado escreve um símbolo em cada uma das células que estão debaixo de cada cabeça move cada cabeça, independentemente, para a esquerda ou para a direita ou não mexe Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 12

13 Inicialmente a sequência de entrada encontra-se na primeira fita e todas as outras estão em branco. Proposição Se uma linguagem L é aceite por uma MT com k fitas, então L é aceite por uma MT com uma única fita. Dem. L = L(M 1 ) com k fitas.construímos M 2 com uma fita e 2k pistas:para cada uma das k fitas a primeira pista contém o conteúdo da fita correspondente de M 1 e a segunda está em branco excepto para a célula actualmente lida pela cabeça correspondente de M 1 Se k = 2 cabeça 1 X fita 1 a 1 a 2... a i... a m cabeça 2... X... fita 2 b 1 b 2... b i... b m Σ 2 ({X, } Σ 1 ) k Para simular um movimento de M 1, M 2 tem de visitar, da esquerda para a direita, os k indicadores. Um estado de M 2 contém: Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 13

14 o estado de M 1 o número de de indicadores (símbolos X) à direita da cabeça de M 2 :n i cada um dos k-símbolos de Γ 1 que estão a ser lidos por M 1 Quando n i = 0 então M 2 pode efectuar o movimento de M 1 : a cabeça de M 2 percorre a fita da esquerda para a direita, e sempre que encontra um indicador modifica o símbolo lido e movimenta o indicador de acordo com o movimento da cabeça correspondente em M 1. Quando já actualizou todos os indicadores, M 2 muda o estado correspondente a M 1. Se o novo estado de M 1 é um estado final, o de M 2 também o é. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 14

15 Leituras [HMU00] (Cap 8.3-5) [MM96] Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 15

16 Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [MM96] Nelma Moreira and Armando Matos. Máquinas de Turing: uma introdução. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 19 16