Projeto de máquina de Turing com múltiplas fitas reconhecedora de número primo

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1 Projeto de máquina de Turing com múltiplas fitas reconhecedora de número primo CCO 410 Aspectos Formais da Computação Prof.º Wanderley Lopes de Souza Universidade Federal de São Carlos Diego Luiz Cavalca RA INTRODUÇÃO Este trabalho visa construir um projeto de máquina de Turing (MT) que, dado um número inteiro maior que 2 em representação binária, delimitado pelos símbolos e $, reconheça se este pertence à classe de números primos. Segundo Peruzzo (2012), número primo é todo número maior do que 1 é divisível somente por si mesmo e por 1. Alguns exemplos são os números 2, que tem apenas os divisores 1 e 2, e 17 que possui apenas os divisores 1 e 17, portanto sendo estes números primos. Um dos processos de reconhecimento de um número ser primo consiste em dividir esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que se obtenha ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero; neste caso o número é primo. Assim, fica fácil identificar o comportamento de computação contínua até atingir um resultado pré-determinado. Portanto, tal processo pode ser simulado através da máquina de Turing. A máquina de Turing (MT) é um poderoso - porém simples - modelo matemático que possui capacidade de solucionar determinados problemas de reconhecimento de palavras de uma linguagem e também computação de funções de inteiros. Hopcroft et. al (2002), ao definir MT, afirma que este dispositivo matemático é, em sua essência, um autômato finito que utiliza uma estrutura de fita de comprimento infinito com capacidade de leitura e gravação de dados. Formalmente, essa máquina consiste em um controle finito, que pode se encontrar em um estado qualquer de um conjunto finito de estados. Como citado, a memória auxiliar se baseia em uma fita dividida em quadrados, ou células, nos quais podem conter qualquer símbolo de um alfabeto pré-definido contendo um número finito de símbolos. Pode-se visualizar uma máquina de Turing como na figura abaixo: Controle finito... B B X1 X2 Xi Xn B B Figura 1: Uma máquina de Turing...

2 DESENVOLVIMENTO Para resolver o problema proposto neste trabalho, o seguinte algoritmo é projetado, definindo o comportamento da MT nesta tarefa: 1. Inicialmente a MT lê na 1ª fita um número (N) 2 > (2) 10, delimitado pelos símbolos e $. 2. Escrever o divisor (2) 10 = (10) 2 na 2ª fita; 3. Repetir o número da 1ª fita na 3ª fita; 4. Subtrair tantas vezes quanto possível o número da 2ª fita do número da 3ª fita, guardando os resultados intermediários nesta última; a. Se o resultado na 3ª fita for igual a 0: i. Se o número da 1ª fita = número da 2ª fita, então a entrada representa um número primo; ii. Senão, o número original não é primo; b. Senão: i. Incrementar o divisor e retornar para o processo (2). Logo, com base no algoritmo definido e nas regras fundamentais da máquina de Turing com múltiplas fitas, o projeto em questão pode ser desenvolvido, modelando os seguintes componentes: 1. Inicialmente a fita 1 contém N$, onde N é a representação binária do número no qual a MT irá verificar se é primo ou não. Exemplos de entradas válidas: 10$, 101$, 110$, 111$, etc. 2. O passo base para a verificação se um número é primo - ou não - consiste em dividi-lo por 2, uma vez que apenas um número par é primo (no caso, o número 2). a. Uma vez que estamos trabalhando com sistema binário, inicialmente iremos representar o divisor (2) 10, sendo (10) 2, na segunda fita. Como o controle está posicionado na extremidade esquerda das fitas, é necessário movê-lo para o último dígito de N, a fim de que o divisor fique alinhado a este, permitindo manipular as operações posteriores. Sendo assim, esse comportamento inicial pode ser definido através das movimentações. (q0, (a, B, B)) = (q0, (a, B, B), D), onde a = {, 0, 1} (q0, ($, B, B)) = (q1, ($,B,B), $) b. Com o controle posicionado, a MT escreve o divisor (10) 2 na segunda fita, através das movimentações: (q1, (a, B, B)) = (q2, (a, 0, B), E), onde a = {0, 1}; (q2, (a, B, B)) = (q3, (a, 1, B), E), onde a = {0, 1}; Neste momento, após gravar o divisor na segunda fita, a MT move o controle para o início do número N, a fim de iniciar o próximo processo:

3 (q3, (a, B, B)) = (q3, (a, B, B), E), onde a = {0, 1} (q3, (, B, B)) = (qcopyn, (, B, B), D), onde a = {, 0, 1} 3. Como anteriormente mencionado, a ideia central da validação de um número N ser primo consiste em realizar a verificação do divisor deste, já que para se classificar como tal, este número deve ser divisível apenas por 1 e pelo próprio valor de N. Assim, a MT utilizará uma terceira fita, que será responsável por realizar essa verificação a partir do número N. a. Primeiro, a MT irá repetir o número da primeira trilha (N) na terceira trilha. Este processo será modelado através das movimentações a seguir: (qcopyn, (0, a, b)) = (qcopyn, (0, a, 0), D), onde a = {0, 1, B} (qcopyn, (1, a, b)) = (qcopyn, (1, a, 1), D), onde a = {0, 1, B} (qcopyn, ($, B, B)) = (qsub, ($, B, B), E); 4. O resultado da operação de divisão de um número M (dividendo) por um outro número N (divisor) consiste na quantidade de vezes que N cabe em M. Com base neste princípio, a MT irá simular esta operação, onde irá subtrair tantas vezes quanto possível o número presente na segunda trilha (divisor) do número na terceira trilha (dividendo). Tal operação na MT se faz através das movimentações: Assumindo a e b = {0, 1 }, a. Seguindo as regras da subtração de números binários, b vazio = b, b 0 = b e 1 1 = 0: (qsub, (a, B, b)) = (qsub, (a, B, b), E); (qsub, (a, 0, b)) = (qsub, (a, 0, b), E); (qsub, (a, 1, 1)) = (qsub, (a, 1, 0), E); b. 0 1 = 1, emprestando 1 do dígito à esquerda: (qsub, (a, 1, 0)) = (qsubex, (a, 1, 1), E); i. Uma vez que houve esse empréstimo, é necessário compensar no dígito à esquerda, acrescendo o dígito 1 (quando dígito da 3ª fita = 2ª fita) ou o dígito 0 (quando dígito da 3ª fita > ou < que o dígito da 2º fita): (qsubex, (a, 0, 0)) = (qsubex, (a, 0, 1), E); (qsubex, (a, B, 0)) = (qsubex, (a, B, 1), E); (qsubex, (a, 1, 1)) = (qsubex, (a, 1, 1), E); (qsubex, (a, 1, 0)) = (qsubex, (a, 1, 0), E);

4 (qsubex, (a, 0, 1)) = (qsub, (a, 0, 0), E); (qsubex, (a, B, 1)) = (qsub, (a, B, 0), E); c. Ao subtrair o último dígito à esquerda da 3ª trilha, MT posiciona o controle no início de N para iniciar o próximo processo: (qsub, (, B, B)) = (qcompare, (, B, B), D); Em tempo, vale salientar que esta é uma operação fundamental no processo de validação de um número primo, condicionado ao resto resultante do dividendo, como abordaremos em um comportamento adiante. 5. Após realizar uma subtração entre o dígito da 2ª fita e o da 3ª fita, é necessário verificar se há mais uma subtração possível, ou seja, é necessário verificar se o dígito da 3ª é maior ou igual ao da 2ª: Assumindo a = {0, 1}, (qcompare, (a, b, 0)) = (qcompare, (a, b, 0), D), onde b = {0, B} (qcompare, (a, 1, 1)) = (qcompare, (a, 1, 1), D), onde b = {0, B} (qcompare, (a, b, 1)) = (q3greater, (a, b, 1), D), onde b = {0, B} (q3greater, (a, b, c)) = (q3greater, (a, b, c), D), onde b = {0, 1, B} e c = {0, 1} Ao se atingir o final das fitas, a MT posiciona o controle no dígito mais à direita (último) das 3ª e 2ª fita e realiza a subtração entre ambas novamente (processo 4): (qcompare, ($, B, B)) = (qsub, (a, b, c), E); (q3greater, ($, B, B)) = (qsub, (a, b, c), E); 6. Em outro caso, outra validação importante é verificar se o dígito presente na 2ª fita é maior que o presente na 3ª, pois neste caso, não há mais subtração possível e a MT pode avançar para outro processo: Assumindo a = {0, 1}, (qcompare, (a, B, 0)) = (qcompare, (a, B, 0), D); (qcompare, (a, 1, 0)) = (q2greater, (a, 1, 0), D); Caso a MT verifique esta hipótese, o controle retorna para o dígito mais à esquerda destas fitas para realizar outra validação (processo 7):

5 (q2greater, (a, b, c)) = (q2greater, (a, b, c), E), onde a = c = {0, 1} e b = {0, 1, B} (q2greater, (, B, B)) = (qequal0, (, B, B), D); 7. Um processo importante desta MT é verificar, após a sucessiva aplicação de subtrações do dígito da 2ª fita na 3ª fita, se o este último é igual ou diferente de 0, pois este resultado indica como a máquina deve evoluir no processo de validação de N: a. Validando se o dígito da 3ª fita é igual a 0: (qequal0, (a, b, 0)) = (qequal0, (a, b, c), D), onde a = {0, 1} e b = {0, 1, B} (qequal0, ($, B, B)) = (qvalidateprime, ($, B, B), E); b. Validando se este dígito é diferente de 0: (qequal0, (a, b, 1)) = (qdiff0, (a, b, 1), D), onde a = {0, 1} e b = {0, 1, B} (qdiff0, (a, b, c)) = (qdiff0, (a, b, c), D), onde a = c = {0, 1} e b = {0, 1, B} (qdiff0, ($, B, B)) = (qinc, ($, B, B), E); 8. Uma vez que o valor expresso na 3ª fita for diferente de 0, a MT incrementa o divisor na 2ª fita e volta para o processo 3 (cópia do dígito da 1ª trilha, representada por N, na terceira fita), a fim de tentar obter um divisor que resulte em resto 0 para a divisão, assim habilitando a MT a validar se N é primo ou não (próximo processo): Assumindo a = c = {0, 1}, (qinc, (a, 0, b)) = (qincaux, (a, 1, b), E), onde b = {0, 1}; (qinc, (a, 1, b)) = (qincex, (a, 0, b), E), onde b = {0, 1}; (qincex, (a, 0, b)) = (qincaux, (a, 1, b), E), onde b = {0, 1}; (qincex, (a, 1, b)) = (qincex, (a, 0, b), E), onde b = {0, 1}; (qincex, (a, B, b)) = (qincaux, (a, 1, b), E), onde b = {0, 1}; (qincaux, (a, b, c)) = (qincaux, (a, 0, b), E), onde b = {0, 1, B}; (qincaux, (, B, B)) = (qcopyn, (, B, B), D); 9. A ideia central desta MT é responder a pergunta O número N é primo?. Para isto, a MT para em um estado aceitável ( ϵ F) caso valide que o número N é primo, onde esta validação consiste em comparar o dígito N da primeira trilha com o dígito presente na 2ª trilha, evidenciando assim que existe apenas 1 divisor, além do número um, para N. Esse processo pode ser modelado na MT através das seguintes movimentações: Assumindo a = {0, 1},

6 (qvalidateprime, (0, 0, a)) = (qvalidateprime, (0, 0, a), E); (qvalidateprime, (1, 1, a)) = (qvalidateprime, (1, 1, a), E); (qvalidateprime, (, B, B)) = (qisprime, (, B, B), D); Desta maneira, com base neste projeto e suas componentes movimentações matematicamente definidas, a MT resultante pode ser definida formalmente da seguinte maneira: MT = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F), onde Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, qcopyn, qsub, qsubex, qcompare, q2greater, q3greater, qequal0, qdiff0, qinc, qincex, qincaux, qvalidateprime, qisprime} Σ = {0, 1} Γ = {0, 1, B} δ conforme definido no projeto q 0 ϵ Q é o estado inicial B ϵ Γ é o símbolo branco F = {qisprime} RESULTADO O projeto de MT deste trabalho foi implementado no simulador online Turing Machine Simulator 1 a fim de validar a corretude do algoritmo proposto e o comportamento resultante da máquina em questão. Uma vez desenvolvida e compilada, seguindo as orientações do simulador, a MT foi submetida para reconhecer o número (3) 10 (entrada C11$), afirmando que o número é primo após 39 passos (movimentações do controle sobre as fitas). Já para o número (5) 10 (C101$), a MT confirmou que este é primo após 103 passos, e 439 passos para reconhecer o número (13) 10 (C1101$) como primo, atingindo o estado qisprime. Em contrapartida, após 39 passos a máquina não evolui sua execução durante o reconhecimento do número (4) 10 (C100$) e também para após 85 passos quando recebe o número (12) 10 (C1100$), não validando estes números como primos. Portanto, o projeto da MT com múltiplas fitas se mostra eficiente para o objetivo de reconhecimento de um número primo em representação binária, validando com precisão quando este pertence a esta classe numérica, atingindo um estado final, ou não, parando sua execução repentinamente. 1 Disponível para acesso em

7 REFERÊNCIAS PERUZZO, Jucimar. O Fascínio dos Números Primos. Irani (SC): Jucimar Peruzzo, STEWART, Ian. Os Maiores Problemas Matemáticos Em Todos Os Tempos; tradução da 1.ed. original de George Schlesinger. Rio de Janeiro: Editora Zahar, HOPCROFT, John E.; ULLMAN, Jeffrey D.; MOTWANI, Rajeev. Introdução à Teoria de Autômatos, Linguages e Computação; tradução da 2.ed. original de Vandenberg D. de Souza. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.