Curso de Engenharia de Computação - UTFPR Teoria da Computação - Prof. Celso Kaestner Lista de exercícios

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1 Curso de Engenharia de Computação - UTFPR Teoria da Computação - Prof. Celso Kaestner Lista de exercícios 1. Escreva a expressão regular para as seguintes linguagens sobre o alfabeto {0, 1}: strings começando com 0 e terminando com 1; strings que contém exatamente uma ocorrência de 010 como subcadeia; strings que não contém 11 e contém 00; strings que têm um número par de 0 s. 2. Verifique se são verdadeiras as afirmações: baab L(a b a b ); b a a b = a b a b b c = abcd (a(cd) b) 3. Escreva uma expressão regular para representar os números telefônicos australianos, que têm os seguintes exemplos: , (07) , e Sejam os autômatos finitos abaixo: M = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 2 }), onde δ é dada por: q 0 0 q 1 q 2 0 q 2 q 0 1 q 0 q 2 1 q 3 q 1 0 q 2 q 3 0 q 3 q 1 1 q 3 q 3 1 q 3 M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 1, q 4 }), onde δ é dada por: q 0 0 q 3 q 2 1 q 4 q 0 1 q 1 q 3 0 q 3 q 1 0 q 2 q 3 1 q 3 q 1 1 q 1 q 4 0 q 2 q 2 0 q 3 q 4 1 q 3 Indique se w L(M) para os strings: 1

2 w = 1000; w = 11001; w = 11101; w = Indique as linguagens reconhecidas em cada caso. 5. Encontre o autômato finito determinista correspondente ao autômato M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {0, 1}, δ, q 0, {q 3, q 4 }), onde δ é dada por: q 0 0 q 2 q 2 0 q 2 q 0 1 q 1 q 2 1 q 3 q 1 ε q 3 q 3 1 q 4 q 1 1 q 4 q 4 0 q 4 q 2 ε q 3 q 4 1 q 3 6. Encontre os autômatos finitos associados às expressões regulares: (ab) b (ba) a; (ab) (ba) ; (aba) a (b(ab) ). 7. Escreva as expressões regulares associadas aos autômatos do exercício Encontre o autômato finito mínimo correspondentes ao autômato M = ({q 0, q 1, q 2, q 3 }, {a, b}, δ, q 0, {q 1, q 3 }), onde δ é dada por: q 0 a q 1 q 2 a q 2 q 0 b q 2 q 2 b q 2 q 1 a q 3 q 3 a q 2 q 1 b q 0 q 3 b q 2 9. Para as gramáticas G e strings w abaixo, indique uma derivação mais à esquerda e desenhe a árvore de parsing correspondente: G = ({S, A, B, a, b}, {a, b}, R, S) onde R = {S ABA, A aaa, A λ, B bb, B b} e w = aabbbaa; 2

3 G = ({S, A, B, a, b}, {a, b}, R, S) onde R = {S ABA, A Aa, A a, B bb, B b} e w = aabbaaa. 10. Para as gramáticas G e strings w abaixo, escreva o autômato de pilha M tal que L(M) = L(G), pelos processos top-down e bottom-up, e simule o reconhecimento de w por M: G = ({S, A, a, b}, {a, b}, R, S) onde R = {S asa, S A, A ba, A λ} e w = aabbbaa. G = ({S, A, B, a, b}, {a, b}, R, S) onde R = {S ABA, A Aa, A λ, B Bb, B λ} e w = abbaaa. 11. Seja E uma expressão regular sobre um alfabeto Σ. Dado a Σ, o residual a 1 [E] é outra expressão expressão regular, calculada da seguinte forma: a 1 [a] = λ e a 1 [b] = para a b; a 1 [E 1 E 2 ] = a 1 [E 1 ] a 1 [E 2 ]; a 1 [E 1 E 2 ] = (a 1 [E 1 ])E 2 se λ / E 1 e (a 1 [E 1 ])E 2 a 1 [E 2 ] se λ E 1 ; a 1 [E ] = (a 1 [E])E. Se considerarmos as linguagens associadas, a linguagem associada à expressão regular a 1 [E] é formada pelos strings que compõem E dos quais se retira o símbolo a do início do string; assim, se L(E) = {a, ab, abb, abbb,...} a linguagem L(a 1 [E]) é L(a 1 [E]) = {λ, b, bb, bbb,...}, e L(b 1 [E]) =. A partir da expressão regular E = (a + b) ab encontre TODOS os residuais das expressões obtidas a partir de E, usando as regras acima (isto é, calcule a 1 [E], b 1 [E], a 1 [a 1 [E]], a 1 [b 1 [E]]...) 1 Seja o autômato finito M obtido da seguinte forma: 1 Por exemplo, a 1 [E] = a 1 [(a + b) ab] = a 1 [(a + b) ]ab a 1 [ab] = a 1 [(a + b)](a + b) ab a 1 [a]b = (a 1 [a] a 1 [b])(a + b) ab λb = (λ )(a + b) ab b = (a + b) ab b. 3

4 cada residual obtido corresponde a um estado de M; há um arco rotulado por a do estado E para o estado a 1 [E]; E é o estado inicial de M; e os estados finais de M são as expressões F tais que λ F. Mostre que M é um autômato finito determinista que reconhece L(E) Construa Máquinas de Turing para os seguintes problemas: Subtrair 4 de um número unário maior que 4 dado. Receber como entrada um string composto de símbolos 0 e 1, e remover todos os símbolos 1 deste string. Adicionar 1 a um número binário dado. Decidir a linguagem L = {w {a, b} tem aba como substring }. Semidecidir a linguagem L = {w {a, b} termina com ba}. Semidecidir a linguagem L = {w {a, b} tem um número par de b s }. Converter um número escrito na fita em base decimal (o alfabeto de entrada da máquina é dado por {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) para a representação unária desse número. Receber como entrada um string contendo uma sequência de símbolos a, apagar todos estes símbolos e escrever como saída um número binário que represente o número de símbolos a dados como entrada Construa máquinas de Turing de acesso aleatório (RAM) para os seguintes problemas: Dados três números naturais, verificar se a soma de dois primeiros é igual ao terceiro número dado; Calcular o resto da divisão entre dois números naturais dados; Verificar se um string dado é um palíndromo, considerando o alfabeto {a, b}. 2 Na verdade, este é o autômato finito determinista mínimo associado a E, e este procedimento é chamado de Algoritmo de Bzozowski. 3 Dica: Crie uma fita inicializada com o símbolo 0 e utilize a máquina do exercício anterior para adicionar 1 nessa fita a cada vez que um símbolo for apagado. 4

5 14. Mostre que o sistemas de correspondência de Post {(a, ab), (ba, baa), (aa, b)} não tem solução. 15. Calcule o número de passos e indique a complexidade O para a máquina de Turing: que aceita ab ; que aceita ww R ; que aceita ab a. 16. Mostre que f = O(n 2 ) para a função f(n) = n Mostre que f = O(n 3 ) para a função f(n) = n 2 + 2n Dê as definições gerais de problema de otimização e de problema de decisão, e explique como é possível passar problemas do 1 o tipo para o 2 o tipo. 19. Defina as classes de complexidade P, N P,N P-completo e EX P, e indique o relacionamento entre elas. 20. Considere a redução do problema 3SAT para o problema CONJUNTO-INDEPENDENTE. Mostre como se aplica esta redução para a instância do problema em que o conjunto inicial de cláusulas é {x y z, x z, x y z}, indicando no grafo gerado todos os conjuntos independentes e os correspondentes valores-verdade para as variáveis x, y e z. Com esta redução pode-se concluir qual relacionamento entre a complexidade destes problemas? 21. Exercício adicional: escreva na linguagem de programação de sua preferência um programa que simule a execução de uma máquina de acesso aleatório (RAM, baseada no livro Lewis e Papadimitriou). A máquina deve ler o programa de um arquivo texto, e apresentar os valores de seus registradores, fita, etc, a cada passo. máquinas desenvolvidas no exercício 13 neste simulador. Execute as 5