Noções de grafos (dirigidos)

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1 Noções de grafos (dirigidos) Grafo G = (V, E) é um conjunto de vértices (ou nós) V e um conjunto de arcos E V V G = ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 4)}) Um arco é representado por um par ordenado de vértices (a, b). a é a origem e b o fim. Os vértices a e b dizem-se adjacentes. E define uma relação binária em V. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 1

2 Um lacete é um arco da forma (a, a) com a V Um vértice que não é a origem nem o destino de nenhum arco diz-se isolado. Por exemplo, 5. Um caminho em G é uma sequência finita de vértices a 1 a 2... a n em que cada um está ligado ao seguinte por um arco: (a i, a i+1 ) E, 1 i n 1.Por exemplo, (1, 2, 3). Mas não (3, 2, 1) A origem de um caminho a 1 a 2... a n é o primeiro vértice (a 1 ) e o fim é o último (a n ). Diz-se um caminho (dirigido) de a 1 para a n Um ciclo é um caminho em que a origem e o fim são o mesmo vértice. O vértice a é acessível do vértice b se existir um caminho de b para a. Um grafo dirigido é fortemente conexo se qualquer vértice é acessível de qualquer outro vértice. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 2

3 Um grafo dirigido é conexo se dados quaisquer dois vértices a e b, a é acessível a b ou b é acessível a a. G 1 G 2 G G 1 é fortemente conexo, G 2 conexo e G 3 nem uma coisa nem outra. Exercício 3.1. Um grafo G = (V, E) é fortemente conexo sse E = V V. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 3

4 Multigrafos dirigidos Um multigrafo é um terno (V, A, φ) em que V é um conjunto de vértices, A um conjunto de arcos e φ uma função de A em V V. Se φ for injectiva obtemos um grafo dirigido. Um multigrafo com símbolos associados aos arcos é um quinteto (V, A, φ, Σ, τ) em que (V, A, φ) é um multigrafo, Σ um alfabeto e τ uma função que associa a cada arco de A um elemento de Σ a 1 b c 2 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 4

5 Autómatos finitos [HMU00] (Cap 2.1) O comportamento de muitos sistemas reais podem ser descritos através de um número finito de estados e de transições entre estados. Exemplos: elevadores, circuitos electrónicos, diversos sistemas biológicos, dinheiro electrónico... Um estado funciona como memória e permite determinar completamente a evolução do sistema. Cada transição é produzida por um estimulo ou entrada. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 5

6 Um flip-flop R Q S Q Q i Q i Estado Inicial R S Q f Q f Estado Final s s Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 6

7 Dinheiro electrónico [HMU00] (Cap 2.1) Usar dinheiro digital certificado por um banco: dinheiro=ficheiro Para fazer uma compra: cliente, loja e banco O cliente pode pagar: envia o dinheiro para a loja O cliente pode cancelar a compra: envia o dinheiro para o banco para ser acrescentado à sua conta. A loja envia a mercadoria para o cliente A loja recupera o dinheiro:envia o dinheiro ao banco com a indicação do seu valor ser dado à loja. O banco transfere o dinheiro, criando uma nova versão do dinheiro e depositando-o na conta da loja. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 7

8 Cliente pagar cancelar Banco 2 cancelar 1 recupera 3 transfere 4 Loja a pagar b recupera transfere enviar enviar enviar recupera transfere c d e f g Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 8

9 Autómatos finitos determinísticos [HMU00](Cap 2.2) Um autómato finito determinístico é um quinteto A = (S, Σ, δ, s 0, F ) onde: S o conjunto finito de estados Σ o alfabeto de símbolos de entrada s 0 o estado inicial do autómato F S o conjunto de estados finais δ uma função de S Σ em S, designada por função de transição. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 9

10 Autómato como máquina finita a s d(s,a) Num dado estado s (cabeça de leitura numa dada posição) lê o símbolo na fita, seja a, passa ao estado δ(s, a) e move a cabeça de leitura para a posição seguinte (à direita). A máquina aceita (ou reconhece) a sequência (palavra) dada na fita, se quando acabar de a ler estiver num estado final. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 10

11 Linguagem aceite por um Autómato A linguagem aceite ou reconhecida pelo autómato A é o conjunto das palavras em Σ que são aceites pelo autómato o qual denotamos por L(A). Uma linguagem L é aceite pelo autómato A se e só se L = L(A). A função de transição é uma relação binária de S Σ em S, pode representar-se por um conjunto de pares ((s, a), s ), com s, s S, a Σ. Para facilitar a notação usamos ternos (s, a, s ). Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 11

12 Seja A = ({s 0, s 1 }, {0, 1}, δ, s 0, {s 1 }), em que δ = {(s 0, 0, s 0 ), (s 0, 1, s 1 ), (s 1, 1, s 1 ), (s 1, 0, s 0 )} ou δ 0 1 s 0 s 0 s 1 s 1 s 0 s 1 Podemos associar um grafo: 0 s s , 1001, 0001, são aceites; 00, não são aceites L(A) é o conjunto de palavras de {0, 1} que terminam em 1 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 12

13 Leituras [HMU00] Cap [Tom99] (Pág 25-29) Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [Tom99] Ana Paula Tomás. Apontamentos de modelos de computação. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores, FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 3 13