15/03/2018. Professor Ariel da Silva Dias Algoritmo e Contagem de Instruções. Prof. Ariel da Silva Dias -

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1 Professor Ariel da Silva Dias Algoritmo e Contagem de Instruções 1

2 Um algoritmo pode ser visto como uma sequência de ações executáveis para a obtenção de uma solução para um determinado tipo de problema. Algoritmos são projetados para resolver problemas Problema: encontrar a melhor rota, em termos de tempo de entrega, dos produtos das Casas Ceará em Ermelino Matarazzo; Solução: algoritmo para descoberta da melhor rota tendo como entrada os locais de entrega. Até o momento não falamos de código de programação!!! 2

3 Informalmente, um algoritmo é um procedimento computacional bem definido que: Recebe um conjunto de valores como entrada e Produz um conjunto de valores como saída. Um algoritmo é uma ferramenta para resolver um determinado problema computacional. A descrição do problema define a relação que deve existir entre a entrada e a saída do algoritmo. Segundo Dijkstra, um algoritmo corresponde a uma descrição de um padrão de comportamento, expresso em termos de um conjunto finito de ações. Segundo Terada, um algoritmo é, em geral, uma descrição passo a passo de como um problema é solucionável. A descrição deve ser finita, e os passos devem ser bem definidos, sem ambiguidades, e executáveis computacionalmente. 3

4 Consequências: Deve-se ter um repertório finito de regras Linguagem de programação; A maior parte dos algoritmos utilizam métodos de organização de dados envolvidos na computação Estrutura de dados; Consequências: Tempo finito não é uma eternidade A maior parte das pessoas não está interessada em algoritmos que levam anos, décadas, séculos, milênios para executarem; Existem diferentes tipos de computadores Logo, existem diferentes modelos computacionais. 4

5 Máquina de Turing (1) É um dispositivo imaginário que formou a estrutura para fundamentar a ciência da computação moderna; O matemático Alan Mathison Turing mostrou que a computação das operações de leitura, escrita e exclusão de símbolos binários poderiam ser satisfeitas por uma máquina com uma fita de comprimento ilimitado; Máquina de Turing (2) Esta fita continha quadrados de tamanho único e definido sobre ela; Também havia um dispositivo com um número finito de estados, o qual realizava operações na fita. 5

6 Máquina de Turing (3) Em 1936 foi formalizado o termo algoritmo; Máquina de Turing (4) Em 1936 foi formalizado o termo algoritmo; Qualquer processo aceito por nós homens como um algoritmo é precisamente o que uma máquina de Turing pode fazer (Alonzo Church, matemático); Qualquer processo aceito por nós homens como um algoritmo é precisamente o que uma máquina de Turing pode fazer (Alonzo Church, matemático); 6

7 Máquina de Turing (5) Máquina de Turing (6) A capacidade de executar uma tarefa é graças a tabela de regras que compõem o programa da máquina e um determinado estado inicial; 7

8 Máquina de Turing (7) Por exemplo: considere um programa representado por 3 estados s0, s1, s2 e com algumas instruções formalizadas no algoritmo a seguir: Máquina de Turing (8) Para examinarmos o comportamento da máquina de Turing, podemos utilizar um diagrama de estados: 8

9 Problema: rearranjar um vetor A[1...n] em ordem crescente. Entrada: Saída: 1 n n O vetor Entrada: 1 n trata-se de uma instância do problema de ordenação. Em geral, uma instância de um problema é um conjunto de valores que servem de entrada para o problema. 9

10 Para fixar: Tamanho da instância Todo problema computacional é uma coleção de instância. Cada instância é definida por um conjunto particular de dados. No problema de ordenação de vetores visto anteriormente, podemos dizer que o tamanho da instância é 10 e que, em geral, o tamanho de uma instância A[1...n] é n; 10

11 Projetar algoritmos implica estudar seu comportamento no tempo e no espaço: No tempo: quanto tempo vai demorar para encontrar a solução do problema No espaço: quanto de memória será necessário para encontrar a solução Dois problemas distintos Cada operação executada pelo processador implica num custo de tempo. 1. Análise de um algoritmo particular Qual é o custo de usar um dado algoritmo para resolver um problema específico? Quantas vezes cada parte desse algoritmo vai ser executada? Quanto de memória será necessária? 11

12 Dois problemas distintos Para fixar: 2. Análise de uma classe de algoritmos Qual é o algoritmo de menor custo possível para resolver um problema específico? Isto implica investigar toda uma família de algoritmo? Para realizar esta investigação, limites podem ser impostos: Exemplo: número mínimo de comparações necessárias para ordenar n números por meio de comparações sucessivas (teremos o pior e melhor caso). Em análise de algoritmos buscamos responder a seguinte pergunta: podemos fazer um algoritmo mais eficiente? 12

13 Lembre-se que podemos resolver um mesmo problema de várias maneiras diferentes, ou seja, utilizamos algoritmos diferentes para o mesmo problema. Algoritmos diferentes para um mesmo problema, não necessariamente terão a mesma eficiência! Essas diferenças de eficiência podem ser Irrelevantes para uma instância pequena (n pequeno); Crescer proporcionalmente com o tamanho da instância (n muito grande); 13

14 Podemos determinar se um algoritmo é o mais eficiente utilizando duas abordagens: Análise Empírica: comparação entre os programas; Análise Matemática: estudo das propriedades dos algoritmos; Análise Empírica Avalia o custo de um algoritmo já implementado e em execução; Logo, é analisado o programa! Considera custos não aparentes; Utilizado para comparar computadores e linguagens; Resultado pode ser injusto; 14

15 Complexidade de Tempo Não representa tempo diretamente, mas sim, o número de vezes que determinada operação relevante é executada; Complexidade de Espaço Representa a quantidade de memória (numa unidade qualquer) que é necessário para armazenar as estruturas de dados associadas ao algoritmo. int M = v [0]; for(i = 0; i< n; i++){ if(v[i] >= M) M = v[i]; } 15

16 Vamos contar quantas instruções simples o algoritmo executa; Tipos de instrução: Atribuição de valor à uma variável; Acesso ao valor de um elemento do vetor; Comparação entre variáveis; Incremento/decremento de variáveis; Operações aritméticas básicas; Contrato inicial: Vamos assumir que as instruções possuem o mesmo custo; Comandos de seleção possuem custo zero; 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } Custo linha 1: 1 instrução; 16

17 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } Custo linha 2: 2 instruções; 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } O laço for será executado n vezes Logo, o custo do laço for será 2n+2 17

18 Vamos ignorar por enquanto os comandos dentro do laço for; Assim, temos que o algoritmos precisa executar quantas instruções? 3 antes de iniciar o laço for e 2 ao final de cada laço for que será executado n vezes; Logo, se o laço estiver vazio, definimos uma função matemática para o cálculo do custo do algoritmo em relação ao tamanho do vetor de entrada: f(n) = 2n + 3 Vamos ignorar por enquanto os comandos dentro do laço for; Assim, temos que o algoritmos precisa executar quantas instruções? 3 antes de iniciar o laço for e 2 ao final de cada laço for que será executado n vezes; Logo, se o laço estiver vazio, definimos uma função matemática para o cálculo do custo do algoritmo em relação ao tamanho do vetor de entrada: f(n) = 2n

19 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } Custo linha 3: 1 instrução; 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } Custo linha 4: 1 instrução; A execução da linha 4 depende do resultado da comparação do if... 19

20 PROBLEMA Algumas instruções dentro do for podem ou não serem executadas; Antes bastava saber o tamanho do vetor para definir a função de custo f(n); Agora temos que considerar o conteúdo do vetor; EXEMPLOS: V1 = {1, 2, 3, 4}; V2 = {4, 3, 2, 1}; 1. int M = v[0]; 2. for(i = 0; i< n; i++){ 3. if(v[i] >= M) 4. M = v[i]; 5. } 20

21 EXEMPLOS: V1 = {1, 2, 3, 4}; V2 = {4, 3, 2, 1}; Considerações V1: o comando if é sempre verdadeiro, logo, teremos mais instruções; V2: o comando if é sempre falso, a atribuição nunca é executada, logo, teremos menos instruções. EXEMPLOS: V1 = {1, 2, 3, 4}; V2 = {4, 3, 2, 1}; Considerações Para nosso azar, V1 vai executar mais instruções, terá um custo maior; Para nossa sorte, V2 vai executar menos instruções, terá um custo menor; 21

22 EXEMPLOS: V1 = {1, 2, 3, 4}; V2 = {4, 3, 2, 1}; Considerações Assim, V1 é o PIOR CASO (tudo o que não queremos); Assim, V2 é o MELHOR CASO (tudo o que queremos); No nosso algoritmo o pior caso ocorre quando o vetor está ordenado em ordem crescente; Assim, o valor de M é sempre substituído; Logo, o laço for SEMPRE executa as 2 instruções (comparação no if e atribuição à M); 22

23 Então, no pior caso, como ficará a função custo do algoritmo? Vetor no pior caso: v={4,3,2,1} f(n) = 3 + 2n + 2n ou f(n) = 4n + 3; Veja a atividade no site 23