Análise empírica de algoritmos de ordenação

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1 Análise empírica de algoritmos de ordenação Mario E. Matiusso Jr. ( ) Bacharelado em Ciências da Computação Universidade Federal do ABC (UFABC) Santo André, SP Brasil mario3001[a]ig.com.br Resumo: Neste artigo será apresentada uma análise empírica de algoritmos de ordenação, sendo eles: bubble sort, insetion sort, selection sort, quick sort, merge sort e heap sort. Será feita uma análise de desempenho e comparações entre estes algoritmos tendo como base os dados de saída gerados por um software que implementa estes algoritmos de ordenação. Ao final deste trabalho foi concluído que o quick sort é o algoritmo mais veloz para qualquer valor de entrada. 1. Introdução Neste trabalho foi realizada uma implementação dos algoritmos de ordenação: bubble sort, insetion sort, selection sort, quick sort, merge sort e heap sort e avaliada a eficiência de cada um deles diante a diferentes tamanhos de vetores. No bubble sort O(n²), a ideia é percorrer o vetor diversas vezes, a cada passagem fazendo flutuar para o topo o maior elemento da sequência. (1) O Insertion sort O(n²), percorre um vetor de elementos da esquerda para a direita e à medida que avança vai deixando os elementos mais à esquerda ordenados. (1) O selection sort O(n²) é um algoritmo de ordenação baseado em se passar sempre o menor valor do vetor para a primeira posição, depois o de segundo menor valor para a segunda posição, e assim é feito sucessivamente com os (n-1) elementos restantes, até os últimos dois elementos. No Quick sort O(n log n) a estratégia consiste em rearranjar as chaves de modo que as chaves "menores" precedam as chaves "maiores". Em seguida o Quicksort ordena as duas sublistas de chaves menores e maiores recursivamente até que a lista completa se encontre ordenada. A idéia do Merge sort O(n log n) é criar uma sequência ordenada a partir de duas outras também ordenadas. Para isso, ele divide a sequência original em pares de dados, ordena-as, depois as agrupa em sequências de quatro elementos, e assim por diante, até ter toda a sequência dividida em apenas duas partes. O heapsort O(n log n) utiliza uma estrutura de dados chamada heap, para ordenar os elementos a medida que os insere na estrutura. Assim, ao final das inserções, os elementos podem ser sucessivamente removidos da raiz da heap, na ordem desejada, lembrando-se sempre de manter a propriedade de max-heap.

2 2. Metodologia Foram ordenados vetores de números inteiros pseudo aleatórios de tamanhos 10000, 30000, 90000, , , , , , (~250MB) e realizada a medição de tempo para cada vetor. A fim de avaliar um caso médio, cada vetor foi ordenado com 6 sequencias pseudo aleatórias diferentes. Para cada vetor foram excluídos o maior e menor tempo de ordenação e feita a média aritmética dos tempos restantes. O tempo limite para a ordenação de cada vetor foi de aproximadamente 8 horas. Vetores com tempo de ordenação maior que 8 horas não foram processados pelo software. O processamento foi realizado através de uma máquina virtual Oracle Virtual Box configurada para 2 processadores e 3GB de RAM, rodando sobre plataforma Windows 7. O computador hospedeiro possui um processador core 2 duo P8700 com 4GB de memória RAM. Os dados de saída do software são em formato.csv. O software de ordenação foi escrito e compilado na linguagem C/C++ sobre a plataforma Linux Ubuntu Para compilação em Windows basta retirar as instruções de timeout Alarm(). 3. Resultados Após finalização do processamento de ordenação dos vetores, foi realizado o tratamento dos dados. Este tratamento pode ser visualizado no documento ArtigoAED_Dados.xlsx. Nesta planilha encontram-se todos os valores obtidos com o processamento dos vetores e cálculos até chegar à tabela 1 (abaixo). Após o tratamento dos dados de saída da simulação, obtivemos a seguinte tabela: Vetor Bubble Insertion Selection Heap Quick Merge Tabela 1:Tempos médios de ordenação para cada método. De acordo com os resultados obtidos, podemos separar os métodos de ordenação em duas categorias: Eficientes e não eficientes. Os eficientes são os algoritmos que se baseiam em recursividade: Quick sort, Merge Sort e Heap Sort.

3 Os não eficientes são baseados em iteração: Bubble sort, Insertion sort e Selection sort. A partir da tabela 1 podemos notar que mesmo para vetores de tamanho pequeno os métodos eficientes superam em várias vezes os métodos não eficientes. Desta maneira não faz sentido comparações diretas entre as duas categorias de métodos. 3.1 Métodos não eficientes A ordenação de vetores por métodos não eficientes gerou os gráficos (no arquivo ArtigoAED_Dados.xlsx é possível visualizar melhor os gráficos): Figura 1: Gráficos de crescimento dos métodos não eficientes Como podemos perceber a curva de crescimento dos métodos gerou uma linha de tendência muito similar. Isso pode ser explicado devido ao fato de todos os métodos desta categoria terem a mesma complexidade assintótica de tempo O(n²). O algoritmo menos eficiente é o bubble sort. Na tabela 1 verificamos que ele gasta praticamente o dobro do tempo dos algoritmos da mesma categoria, apesar da ordem de complexidade ser a mesma. Ou seja, apesar do bubble sort ter curva de crescimento igual do selection sort e do insertion sort ele tem maior constante computacional. É possível ver este fato na equação da reta de tendência do gráfico. A constante do bubble sort é o dobro dos outros métodos. As linhas de tendência utilizadas para analisar os gráficos são do tipo Potência, o que sugere uma ordem de crescimento O(nx). No experimento x=6, porém essa discrepância pode ter ocorrido por fatores externos ao algoritmo (swap em disco, outros processos concorrentes, etc). Os algoritmos selection sort e insertion sort apresentaram tempos computacionais muito parecidos. A ordem de crescimento também praticamente igual. Graficamente podemos comparar os métodos e a discrepância na eficiência do bubble sort. Figura 2: Comparação entre os métodos não eficientes

4 3.2 Métodos Eficientes A ordenação de vetores por métodos eficientes gerou os gráficos (no arquivo ArtigoAED_Dados.xlsx é possível visualizar melhor os gráficos): Figura 3: Gráficos de crescimento dos métodos eficientes Dos métodos eficientes, o que melhor se comportou foi o quick sort que, independente do valor de entrada, foi o mais veloz. As linhas de tendência utilizadas para analisar os gráficos desta categoria são do tipo exponencial com constante menor que 1, que sugere um comportamento O(n ln n). Porém, novamente, o quick sort apresenta a menor constante, indicando um tempo computacional menor para execução da ordenação. Graficamente podemos verificar a eficiência dos algoritmos desta categoria. Figura 4: Comparação entre os métodos eficientes 4. Conclusão A partir dos experimentos executados notamos claramente que o quick sort é o método de ordenação mais rápido em qualquer situação de entrada de n. Porém neste trabalho não foram analisados complexidade de uso de memória, uma vez que chamadas recursivas por definição tendem a utilizar (muito) mais memória que uma iterativa. Outra verificação importante é o entendimento de que a complexidade assintótica de um algoritmo não reflete exatamente na sua velocidade de processamento. Algoritmos com mesma complexidade podem ser mais rápidos ou mais lentos. O terceiro e ultimo ponto importante é que atentar-se a escolha de um algoritmo e sua capacidade de resposta, pois caso o escolhido para uma aplicação não seja o adequado (ou até mesmo em uma mudança de cenário) o tempo de resposta pode ser extremamente longo (ou eterno). Algoritmos lentos podem gerar uma super

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