Teoria da Computação 19 de Abril de 2017 Teste 1A Duração: 1h30

Transcrição

1 19 de Abril de 2017 Teste 1A Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que calcule a função que a cada natural n N 0 faz corresponder n 2. Deverá usar notação unária para os naturais. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Resolução: Considere-se a máquina de Turing com alfabeto Γ = {1, } e duas fitas bidireccionais, representada graficamente por: 1, RL q in q 1 1, RS, LS q 2, SR 1 1 1, RL 1 1 1, LL q ac A máquina explora sucessivamente a propriedade (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1 é decidível e L 2, L 3 são reconhecíveis então (L 1 L 2 ) L 3 é uma linguagem reconhecível. Resolução: Sabendo que L 1 é decidível e L 2, L 3 reconhecíveis, então existem máquinas de Turing D 1, R 2 e R 3 tais que: L ac (D 1 ) = L 1 e L rj (D 1 ) = L 1, L ac (R 2 ) = L 2, e

2 L rj (R 3 ) = L 3. Considere-se a máquina M, com duas fitas, que copia o input para a segunda fita, e de seguida escolhe não-deterministicamente entre simular D 1 na fita 1 e R 2 na fita 2, ou apenas simular R 3 na fita 1, descrita por: q in : w q 1 : w w escolhe não-deterministicamente simula D 1 sobre w na fita 1 simula R 3 sobre w na fita 1 se rejeita simula R 2 sobre w na fita 2 se aceita q ac se aceita q ac Tem-se que: Se w (L 1 L 2 ) L 3 então (i) w L 1 L 2, ou (ii) w L 3 ; no caso (i) w / L1 e w L 2 pelo que escolhendo não-deterministicamente o ramo da esquerda se terá que D 1 rejeita w e R 2 aceita w e logo M aceita w; no caso (ii), escolhendo não-deterministicamente o ramo da direita ter-se-á que R 3 aceita w e logo M aceita w. Se M aceita w então fá-lo escolhendo não-deterministicamente um dos ramos; no ramo da esquerda ter-se-á que D 1 rejeita w e R 2 aceita w pelo que w L 1 L 2 (L 1 L 2 ) L 3 ; no ramo da direita ter-se-á que R 3 aceita w pelo que w L 3 (L 1 L 2 ) L 3. Conclui-se que L ac (M) = (L 1 L 2 ) L 3 e portanto a linguagem (L 1 L 2 ) L 3 é reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {0}.

3 Resolução: Suponha-se, por absurdo, que L fosse numerável, ou seja, que existisse h : N L bijectiva. Por simplicidade, dado i N, use-se L i L para denotar a linguagem h(i). Considere-se a linguagem L {0} tal que, para cada n N 0, 0 n L se e só se 0 n / L n+1. Facilmente, tem-se que L L i qualquer que seja i N. Nomeadamente, a palavra 0 i 1 distingue as linguagens pois 0 i 1 L se e só se 0 i 1 / L i. Conclui-se que h não é sobrejectiva, o que é uma contradição. b) Mostre que existem linguagens em L que não são decidíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). Resolução: Seja D o conjunto das linguagens decidíveis contidas em {0}. Sabendo que o conjunto das máquinas de Turing é numerável, é fácil mostrar que também D é numerável, ou seja, #D = #N. Seja T o conjunto das máquinas de Turing sobre o alfabeto {0} e h : T N uma bijecção. A função k : D N tal que k(l) = h(m L ) para alguma escolha de máquina de Turing M L que decida L é injectiva, pelo que D é contável. A função g : N D tal que g(n) é a linguagem {ɛ, 0, 00, 000,..., 0 n } é injectiva, pelo que D é infinito. Note-se que g(n) D pois a linguagem é reconhecida pela máquina com n + 1 estados de controlo que avança pelo input w e pela sequência de estados em simultâneo, aceitando w caso a palavra termine nalgum dos estados de controlo, e rejeitando w caso ela prossiga para além do último estado de controlo. Na alínea a) mostrámos que #L #N. Obviamente tem-se D L e portanto #D #L. Mas então terá de ter-se #D < #L e logo L\D =. Conclui-se que existem linguagens em L que não são decidíveis. L A = {M : M é uma máquina de Turing que rejeita M}. a) Mostre que L A é reconhecível. Resolução: Considere-se a máquina R descrita por:

4 q in : M verifica se o input é uma máquina de Turing se sim simula M sobre M (usando a máquina universal) se rejeita se não se aceita q rj q rj q ac Tem-se que: se M é uma máquina e M rejeita M então R aceita M, e se R aceita M então M é uma máquina e M rejeita M. Conclui-se que L ac (R) = L A, e portanto L A é reconhecível. b) Mostre que L A não é decidível. Resolução: Suponha-se, por absurdo, que L A fosse decidível. Então existiria uma máquina de Turing D A que decidia L A, isto é, L ac (D A ) = L A e L rj (D A ) = L A. Como D A é um classificador, há duas hipóteses: se D A aceita M então M L A, o que significa que M é uma máquina de Turing que rejeita M, ou D A rejeita M, e portanto M / L A, o que significa que M não é uma máquina de Turing ou então M não rejeita M. Executando a máquina D A sobre o input D A, conclui-se que D A rejeita D A se e só se D A não rejeita D A, o que é uma contradição.

5 19 de Abril de 2017 Teste 1A Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que calcule a função que a cada natural n N 0 faz corresponder n 2. Deverá usar notação unária para os naturais. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1 é decidível e L 2, L 3 são reconhecíveis então (L 1 L 2 ) L 3 é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {0}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são decidíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L A = {M : M é uma máquina de Turing que rejeita M}. a) Mostre que L A é reconhecível. b) Mostre que L A não é decidível.

6 19 de Abril de 2017 Teste 1B Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que decida a linguagem formada pelas palavras de {x, y, z} que são da forma x n y m z k com k = n m. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1, L 2 são reconhecíveis e L 3 é decidível então (L 1 L 2 )\L 3 é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {a, b}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são reconhecíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L B = {M$w : M é uma máquina de Turing que rejeita w {0, 1} }. a) Mostre que L B é reconhecível. b) Mostre que L B não é decidível.

7 19 de Abril de 2017 Teste 1C Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que que decida a linguagem formada pelas palavras de {a, b} que são da forma a n b n2. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1, L 2 são reconhecíveis e L 3 é decidível então (L 1 \L 3 ) L 2 é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {a, b, c}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são decidíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L C = {M : M é uma máquina de Turing que aceita M}. a) Mostre que L C é reconhecível. b) Mostre que L C não é decidível.

8 19 de Abril de 2017 Teste 1D Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que calcule o produto de dois números naturais dados (em notação unária). Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1 é decidível e L 2, L 3 são reconhecíveis então L 1 (L 2 L 3 ) é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {1}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são reconhecíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L D = {M$w : M é uma máquina de Turing que aceita w {0, 1} }. a) Mostre que L D é reconhecível. b) Mostre que L D não é decidível.

9 19 de Abril de 2017 Teste 1E Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que calcule a função f : {1} {1} tal que f(1 n ) = 1 n2. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1 é decidível e L 2, L 3 são reconhecíveis então (L 1 L 2 ) L 3 é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {0, 1}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são decidíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L E = {M : M é uma máquina de Turing que rejeita M}. a) Mostre que L E é reconhecível. b) Mostre que L E não é decidível.

10 19 de Abril de 2017 Teste 1F Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que decida a linguagem formada pelas palavras de {0, 1} que são da forma 1 n 0 m 1 n m. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1, L 2 são reconhecíveis e L 3 é decidível então (L 1 L 2 )\L 3 é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {a}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são reconhecíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L F = {M$w : M é uma máquina de Turing que rejeita w {0, 1} }. a) Mostre que L F é reconhecível. b) Mostre que L F não é decidível.

11 19 de Abril de 2017 Teste 1G Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que que decida a linguagem formada pelas palavras de {a, b} que são da forma a n b m com m = n 2. Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1, L 2 são reconhecíveis e L 3 é decidível então L 1 (L 2 \L 3 ) é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {x, y}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são decidíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L G = {M : M é uma máquina de Turing que aceita M}. a) Mostre que L G é reconhecível. b) Mostre que L G não é decidível.

12 19 de Abril de 2017 Teste 1H Duração: 1h30 Construa uma máquina de Turing que calcule o produto de dois números naturais dados (em notação unária). Apresente apenas a representação gráfica da máquina de Turing. Sejam L 1, L 2, L 3 linguagens sobre um alfabeto Σ. Mostre que se L 1 é decidível e L 2, L 3 são reconhecíveis então L 1 (L 2 L 3 ) é uma linguagem reconhecível. Seja L o conjunto das linguagens sobre o alfabeto {a}. b) Mostre que existem linguagens em L que não são reconhecíveis (pode assumir, enunciando-os claramente, os resultados relevantes relativos à cardinalidade do conjunto das máquinas de Turing). L H = {M$w : M é uma máquina de Turing que aceita w {0, 1} }. a) Mostre que L H é reconhecível. b) Mostre que L H não é decidível.