Computabilidade. da Computação que estudam, formalmente, as capacidades e as limitações da computação.

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1 Computabilidade Universidade dos Açores Departamento de Matemática A Computabilidade e a Complexidade são áreas nucleares da Ciência da Computação que estudam, formalmente, as capacidades e as limitações da computação.!! A Computabilidade classifica cada problema (i.e. propriedade) como computacionalmente (ou algoritmicamente) solúvel ou insolúvel!! A Complexidade classifica cada problema computacionalmente solúvel como tratável ou intratável.!! Nesta disciplina, pretende-se compreender, formalmente, a um nível introdutório, a natureza e a estrutura do conceito de computabilidade e seus limites. 2008/09 Teoria da Computação 2

2 !! Modelos de computação (Turing e URM) e a Tese de Church-Turing.!! Codificação, recursão e a máquina universal.!! Enumerabilidade e computabilidade.!! Exemplos de conjuntos não computáveis. 2008/09 Teoria da Computação 3!! Máquinas de Turing!! Turing s world!! Máquinas URM!! URM simulator /09 Teoria da Computação 4

3 Máquinas de Turing Universidade dos Açores Departamento de Matemática Noção que está no centro da Ciência da Computação.!! É um método para desempenhar uma operação de forma mecânica.!! Os primeiros algoritmos (informais) surgiram no tempo da Grécia Antiga.!! A formulação precisa do conceito de algoritmo só surgiu no século XX. 2008/09 Teoria da Computação 6

4 !!1928 Hilbert e Ackermann Entscheidungsproblem ( the principal problem of mathematical logic )!!1936 Turing Church Gödel e Kleene Post!!...!!1963 Shepherdson e Sturgis Máquinas Físicas versus Máquinas Abstractas 2008/09 Teoria da Computação 7!! Anos 60!! Máquinas de Turing aceites como paradigma completo da computação.!! A Ciência da Computação define computação como processamento de informação onde através de um algoritmo o input, completamente especificado antes da computação, era transformado em output, a solução pretendida.!! Anos 70-80!! Máquinas de Turing e outros modelos equivalentes, de acordo com a tese de Church-Turing, eram os modelos matemáticos dos sistemas computacionais.!! Anos 90!! Reconhecidas limitações das Máquinas de Turing.!! O conceito importante nas computações é Interacção. 2008/09 Teoria da Computação 8

5 !! Definição: Uma máquina de Turing determinista de 1 fita, ou simplesmente, uma máquina de Turing é um quíntuplo M=<Q,q 0,!,", q ac > tal que:!! Q é um conjunto finito não vazio cujos elementos se designam estados de M;!! q 0 é um estado designado estado inicial;!!! é um alfabeto designado alfabeto de entrada de M;!! ":Qx!#Qx(!x{E,D}) é uma função designada função de transição de M;!! q ac é um estado de Q, designado estado final de aceitação. 2008/09 Teoria da Computação 9!! _ é designado símbolo branco, E símbolo esquerda e D símbolo direita.!! Definição: Uma fita para uma máquina de Turing M=<Q,q 0,!,", q ac > é uma aplicação f:z#! tal que, {n:n$z e f(n)%_ } é finito.!! Seja f:z#! uma fita para uma máquina de Turing M=<Q,q 0,!,", q ac >. Os elementos do domínio de f designam-se células; n$z designa a n-ésima célula da fita. 2008/09 Teoria da Computação 10

6 !! Seja M=<Q,q 0,!,", q ac > uma máquina de Turing. Registo sobre a fita de M é uma palavra em!*.!! Um registo w é feito sobre uma fita, onde para i>0, o i-ésimo símbolo de w é impresso na i-ésima célula da fita.!! Seja &' um registo sobre uma fita. Por convenção, o acesso à fita é feito através do primeiro símbolo de '. 2008/09 Teoria da Computação 11!! A acção decorrente da função " é realizada através de uma cabeça de leitura /escrita que pode ler ou substituir o primeiro símbolo de ', ou mover-se para a esquerda ou para a direita.!! No caso de ' ser a palavra vazia, diz-se que a máquina lê branco.!! Se está definido o valor de "(q,a), para q$q e a$!, então escrevemos "(q,a)=<m,p>, com m $!({E,D} e p$q, e lê-se encontrando-se o controlo no estado q e tendo sido lido o símbolo a, a cabeça executa a acção m e o controlo passa ao estado p. 2008/09 Teoria da Computação 12

7 (Penrose, The Emperor s New Mind, Oxford Univ. Press, 1989) 2008/09 Teoria da Computação 13!! Se está definido o valor de "(q,a) e se "(q,a)=<m,p> então abreviaremos este facto escrevendo <q,a,m,p>.!! De entre as acções que a máquina pode executar temos os símbolos do alfabeto que denotam, no domínio, a acção de ler, e, no contradomínio, a acção de escrever e os símbolos E e D que denotam o movimento da cabeça um símbolo para a esquerda e um símbolo para a direita, respectivamente. 2008/09 Teoria da Computação 14

8 !! Definição: Seja M=<Q,q 0,!,", q ac > uma máquina de Turing. Configuração de M é um elemento em!*xqx!*.!! As configurações em { _ }*x{q 0 }x!* designam-se configurações iniciais.!! As configuraçõe em!*x{q ac }x!* designam-se configurações finais de aceitação.!! Seja <&,q,'> uma configuração. Por simplicidade, escrevemos doravante &q'.!! Sempre que & é _ escrevemos q'. Sempre que ' é_ escrevemos &q e sempre que & e ' são ambos _ escrevemos q. 2008/09 Teoria da Computação 15!! As máquinas de Turing podem ser representadas através de diagramas de transição, ou seja, grafos orientados etiquetados cujos vértices são representados por:!! etiquetado com identificador do estado inicial,!! etiquetado com identificador do estado final de aceitação!! etiquetado com identificador de estado não inicial e não final e cujas arestas são etiquetadas com o par (s/a), onde s é o símbolo lido do alfabeto e a a acção efectuada pela máquina. 2008/09 Teoria da Computação 16

9 Consideremos a máquina de Turing {<q 0,1,_,q 1 >, <q 1,_,D,q 0 >}. Vejamos o seu efeito sobre uma sequência de 1's ) q 0 _ ) q 1 _ ) q 0 _ ) 2008/09 qteoria da Computação 17 0!! Definição: Seja M=<Q,q 0,!,", q ac > uma máquina de Turing. Próxima configuração de M é a função F :!*xqx!*#!*xqx!* tal que:!! se * 2 ("(q,'[1])=d, então F (&,q,') é <&'[1],* 1 ("(q,'[1])), '>,!! se * 2 ("(q,'[1])=e, então F (&,q,') é <&[1] &[n-1],* 1 ("(q,'[1])),&[n]'>, onde & =n!! se * 2 ("(q,'[1])$!, então F (&,q,') é <&,* 1 ("(q,'[1])),* 2 ("(q,'[1])) '>!! se não, F (&,q,') não está definido. 2006/07 Teoria da Computação II 18

10 !! Definição: Uma palavra ' sobre um alfabeto! diz-se aceite por uma máquina de Turing M=<Q,q 0,!,", q ac > se existe uma sequencia de configurações C 1, C 2,..., C k, em que!! C 1 é a configuração inicial de M para '!! C i+1 =F(C i ), para cada 1<=i<k-1!! C k é uma configuração final de aceitação em { _ }*x{q ac }x{1} 2008/09 Teoria da Computação 19!! Definição: Uma palavra ' sobre um alfabeto! diz-se rejeitada por uma máquina de Turing M=<Q,q 0,!,", q ac > se existe uma sequência de configurações C 1, C 2,..., C k, em que!! C 1 é a configuração inicial de M para '!! C i+1 =F(C i ), para cada 1<=i<k-1!! C k é uma configuração final de aceitação em { _ }*x{q ac }x{0} 2008/09 Teoria da Computação 20

11 !! Definição: Sejam L uma linguagem sobre o alfabeto! e M=<Q,q 0,!,T,", q ac > uma máquina de Turing. M reconhece L se aceitar exactamente todas as palavras que pertencem a L e rejeitar exactamente todas as palavras que não pertencem a L.!! Diz-se que M aceita L se apenas aceitar exactamente todas as palavras que pertencem a L 2008/09 Teoria da Computação 21!! Definição: Codificação unária de naturais é a aplicação +:N#{1}* tal que + (n)=1 n.!! Definição: Seja,:!*#!* uma função parcial. A função, é computável se existe uma máquina de Turing M=<Q,q 0,!,", q ac > tal que, para a configuração inicial q 0 &:!! se,(&) está definido, então a computação é finita e a configuração final de aceitação é 'q ac,(&), com '$!*;!! se,(&) não está definido, então a configuração final é 'q', com '$!*, q$q ou a computação é infinita. 2008/09 Teoria da Computação 22

12 Máquina de Registos (URM) Universidade dos Açores Departamento de Matemática Definição: Uma máquina URM é constituída por uma sucessão de registos que guardam números naturais. O conteúdo de cada registo pode ser alterado mediante a execução de comandos.!! Notação!! R=(R i )i$n denota a sucessão de registos URM.!! r i denota o conteúdo do registo R i. 2008/09 Teoria da Computação 24

13 !! Definição: Comandos URM são os comandos válidos ou operações válidas para a máquina URM e classificam-se em três tipos:!! Comandos zero!: para todo o n-1, Z(n) é o comando que regista 0 em R n e deixa inalterados os demais registos;!! Comandos sucessor: para todo o n-1, S(n) é o comando que substitui r n em R n por r n +1 e deixa inalterados os demais registos; 2008/09 Teoria da Computação 25!! Comandos de salto: para todo o m-1, para todo o n-1, para todo o q-1, J(m,n,q) é o comando que compara r m e r n, deixando todos os registos inalterados; "! se o resultado da comparação é positivo, a máquina URM passa imediatamente a executar o q-ésimo comando do programa, "! se não, a máquina passa imediatamente a executar o comando seguinte; "! se o salto é impossível, porque o programa tem menos de q comandos, então a máquina URM pára;!! Comandos de transferência: para todo o m-1, para todo o n-1, T(m,n) é o comando que substitui r n em Rn por r m e deixa inalterados os demais registos. 2008/09 Teoria da Computação 26

14 2008/09 Teoria da Computação 27!! Definição: Programa URM é uma sequência finita de comandos URM.!! Notação!! P=(p i )i=1,...,n denota um programa URM.!! p i denota o i-ésimo comando de P.!! [a#r k ]r denota a acção de substituir r k por a em r.!! N. denota NxNx /09 Teoria da Computação 28

15 !! Definição: Seja,:N n #N uma função parcial. A função, é computável pela máquina URM se existir um programa URM P=(p j ) j=1,...,k tal que, para qualquer a$n n!! P(a)!b sse a$dom(,) e,(a)=b!! Na configuração final [,(a)#r1] 2008/09 Teoria da Computação 29 f(x,y)=x+y I1 J(3,2,5) I2 S(1) I3 S(3) I4 J(1,1,1) 2008/09 Teoria da Computação 30

16 !! f(x)= x/2 se x é par senão não está definida 2006/07 Teoria da Computação II 31 Funções Parciais Recursivas Universidade dos Açores Departamento de Matemática

17 Proposição As seguintes funções são computáveis pela máquina URM:!!! A constante (função zero-ária) Z;!!! A função unária sucessor S tal que, para todo o x, S(x)=x+1;!!! Para n-1 e 1/i/n, a função n!ária projecção U n i tal que U n i (x 1,...,x n )=x i. 2008/09 Teoria da Computação 33!! Definição Um programa P=<p i >i$1..k está normalizado se e só se, para todo o comando de salto J(m,n,q) de P, se tem q/k+1.!!! Proposição Todo o programa URM pode ser normalizado. 2008/09 Teoria da Computação 34

18 !! Definição Sejam P=<p i > i$1..k e Q=<q i > i$1..l dois programas normalizados.! A composição sequencial de P e Q, que se denota por PQ, é o programa R=<r j > j$1..k+l tal que: se 1/j/k, então r j =p j ; se k<j/k+l e q j-k ${Z(n), S(n)}, então r j =q j-k ; se k<j/k+l e q j-k =J(m,n,q), então r j =J(m,n,q+k).!! 0(P) denota a ordem a partir da qual os registos permanecem inalterados por acção de P. 2008/09 Teoria da Computação 35!! Suponhamos que P é um programa normalizado para a função! f(x 1,...,x n ). É frequente reutilizar P no contexto de um programa maior, recorrendo a outros registos (distintos de R1,...,Rn) para guardar os valores iniciais de x 1,...,x n, requeridos pelo programa P e a um registo R l para guardar o resultado de P.!! Escrevemos P[l 1,...,l n #l] para denotar o programa que calcula f (rl 1,...,rl n ) e guarda o resultado do cômputo no registo Rl.!!! Os únicos registos afectados pela execução de P estão no segmento de memória que se estende entre os registos R1 e R0 (P), mais o registo Rl. 2008/09 Teoria da Computação 36

19 !! Proposição Sejam f(y 1,...,y k ), g 1 (x 1,...,x n ),...,g k (x 1,...,x n ) funções computáveis, Tem-se que a função h(x 1,...,x n )=f(g 1 (x 1,...,x n ),...,g k (x 1,...,x n )) é computável.!!! Este resultado mostra como, a partir de uma função computável, se podem obter novas funções computáveis, por rearranjo, identificação e adição de variáveis. 2008/09 Teoria da Computação 37!! Proposição Sejam f(x) e g(x,y,z) funções. Tem-se que existe uma só função h(x,y) tal que; h(x,0) = f(x ) h(x,y+1) = g(x,y,h(x,y)).!!! Proposição Sejam f(x) e g(x,y,z) funções computáveis. Tem-se que a função h(x,y) que se obtém de f e g por recorrência é computável. 2008/09 Teoria da Computação 38

20 !! Definição Seja f(x,y) uma função. µ y (f(x,y)=0) é o mais pequeno y não está definida se existir, tal que f(x,z) está definido para qualquer z<=y e f(x,z)=0 c.c.!!! Proposição Seja f(x,y) uma função computável. Tem-se que a função g(x)=µ y (f(x,y)=0) é computável. 2008/09 Teoria da Computação 39!! Definição A classe R das funções parciais recursivas é a mais pequena classe de funções parciais que contém as funções básicas Z, S, U i n.!! A classe R das funções parciais recursivas fechada para as operações: substituição, recorrência e minimização.! 2008/09 Teoria da Computação 40

21 !! A classe intuitiva e informal das funções parciais efectivamente computáveis, coincide com a classe das funções computáveis pela máquina de URM. 2008/09 Teoria da Computação 41 Funções Computáveis Universidade dos Açores Departamento de Matemática

22 !! Definição: Seja f : A# B uma função.!! Domínio de f, denotado dom(f), é o conjunto {x $ A: f(x)1 }!! Contradomínio de f, denotado codom(f), é o conjunto { f(x) : x$dom(f) }!! f é uma aplicação (ou função total) se dom(f)=a, ou seja, f(x)1 para cada x $ A 2008/09 Teoria da Computação 43!! Definição: Sejam f : A# B e g : A# B duas funções. Diz-se que f=g sse dom(f)=dom(g) e f(x)=g(x) para cada x$dom(f)!! Definição: Seja f : A# B uma aplicação.!! f é injectiva se para todos os elementos x,y $ A, se x% y, então f(x)%f(y)!! f é sobrejectiva se para cada elemento y $B, existe x $ A, tal que f(x)=y!! f é bijectiva (ou é uma bijecção) se é injectiva e sobrejectiva 2008/09 Teoria da Computação 44

23 !! Definição: Uma enumeração do conjunto é uma aplicação sobrejectiva g: N#X. Se g também for injectiva, então é uma enumeração injectiva.!! Definição: Um conjunto X diz-se numerável se e só se existe uma bijecção f:x#n. Caso contrário, diz-se não numerável 2008/09 Teoria da Computação 45!! Definição Uma enumeração efectiva do conjunto X é uma enumeração computável de X.!! Definição! Um conjunto X diz-se efectivamente enumerável se e só se existir uma bijecção f:x#n tal que, f e f -1 são computáveis.!! Um conjunto é numerável se e só se puder ser enumerado sem repetições.!!! Exemplos Os seguintes conjuntos são efectivamente enumeráveis: a) N2N b) N + 2N + 2N /09 Teoria da Computação 46

24 !! Proposição!! O conjunto de todos os programas URM é efectivamente enumerável. 2008/09 Teoria da Computação 47!! Proposição!! O conjunto de todas as máquinas de Turing é efectivamente enumerável. 2008/09 Teoria da Computação 48

25 !! Definição Para todo o a$n e todo o n$n:!!, n a designa a função n-ária computada pela máquina cujo código é a.!! W n a designa o domínio de (ie, os tuplos para os quais a computação é finita).!! E n a designa o codomínio de,n a.!! Escrevemos, a, W a e E a para abreviar, n a, Wn a e En a, respectivamente. 2008/09 Teoria da Computação 49!! Toda a função n-ária computável encontra-se representada na enumeração, n 0,, n 1,, n 2,..., que é uma enumeração com repetições.!! Proposição A classe de todas as funções n-árias computáveis pela máquina URM, denotada por C n, é contável.!! Proposição C=( n-1 C n é contável.!! Proposição Existe uma função total unária que não é computável. 2008/09 Teoria da Computação 50

26 Predicados decidíveis, semidecidíveis e co-semidecidíveis Universidade dos Açores Departamento de Matemática Definição: Um predicado P de aridade n sobre um conjunto C, é uma relação de aridade n sobre C, ou seja, é um subconjunto de C n.!! Definição: Um predicado P de aridade n sobre um conjunto M é decidível ) relativamente a C, se existe uma função computável! P C :C#N, dada por 1)!! P C(x)=1 se x$ C 2)!! P C (x)=0 se x3 C!! A função! P C é a função característica de P relativamente a C. 2008/09 Teoria da Computação 52

27 !! Definição: Um predicado P de aridade n sobre um conjunto C é semidecidível relativamente a C, se existe uma função computável! P C:C#N, dada por 1)!! P C (x)=1 se x$ C 2)!! P C (x) ) se x3 C 2008/09 Teoria da Computação 53!! Definição: Um predicado P de aridade n sobre um conjunto C é co-semidecidível relativamente a C, se existe uma função computável! P C :C#N, dada por 1)!! P C (x)=) se x$ C 2)!! P C(x)=0 se x3 C 2008/09 Teoria da Computação 54

28 Conjuntos decidíveis e conjuntos semidecidíveis Universidade dos Açores Departamento de Matemática Definição Seja A4N n. A função característica de A, denotada c A, é dada por!! Definição $ & c A (x) = 1 se x " A % & 0 se x # A Um conjunto A4N n é decidível ou recursivo se c A é computável.!! Exemplos!! Os seguintes conjuntos são recursivos "! Pares "! Primos "! Div={(x,y): x e y são naturais e x é divisor de y} ' 2008/09 Teoria da Computação 56

29 !! Definição Seja A4N n. O conjunto A é semidecidível ou recursivamente enumerável se a função é computável (ou de forma equivalente, se o predicado x!a é semidecidível).!! Exemplo!! Qualquer conjunto recursivo é recursivamente enumerável!! {!x(0)=0}!! {!x:!x(0)1 }!! {!x:!x(y)1 }!! {x$wx} 2008/09 Teoria da Computação 57!! Definição Seja A4N n. O conjunto A é co-semidecidível se a função %' & (' # se x $ A é computável (ou de forma equivalente, se o predicado x3a é semidecidível). f (x) = 0 se x " A!! Exemplo!! Qualquer conjunto decidível é co-semidecidível!! {!x:!x(0)"0}!! {!x:!x(0)1 }!! {!x:!x(y)1 }!! {x$w x } 2008/09 Teoria da Computação 58

30 Propriedades dos conjuntos decidíveis e semidecidíveis Universidade dos Açores Departamento de Matemática Proposição: Todo o conjunto finito é decidível.!! Proposição: A classe dos conjuntos decidíveis com a mesma aridade é fechada para a união, a intersecção e a complementação.!! Proposição: Todo o conjunto decidível é semidecidível e co-semidecidível. 2008/09 Teoria da Computação 60

31 !! Proposição: Um conjunto é semidecidível sse o seu complementar é co-semidecidível.!! Proposição: A classe dos conjuntos semidecidíveis com a mesma aridade é fechada para a união e a intersecção.!! Proposição: Um conjunto é decidível sse é semidecidível e co-semidecidível. 2008/09 Teoria da Computação 61!! Proposição: Sejam D um conjunto decidível e C<D. Os conjuntos C e D são ambos decidíveis sse forem ambos semidecidíveis.!! Proposição: Um conjunto é semidecidível sse é o domínio de alguma função computável.!! Proposição: Um subconjunto de N é semidecidível sse é contradomínio de alguma função unária computável. 2008/09 Teoria da Computação 62

32 !! Proposição: Um conjunto é semidecidível sse é vazio ou admite uma enumeração computável.!! Proposição: Um conjunto C é semidecidível sse existe um conjunto R decidível, tal que C={E 1 : existe E 2, tal que (E 1,E 2 ) $ R}. 2008/09 Teoria da Computação 63 Indecidibilidade Universidade dos Açores Departamento de Matemática

33 !! Proposição: Existe uma função unária total que não é computável.!! Proposição (Halting Problem): O conjunto {(x,y) :!x(y)1 } é semidecidível mas não é decidível. 2008/09 Teoria da Computação 65!! Proposição (Printing Problem): O conjunto {c:!x1c} é indecidível.!! Proposição (Problema da Igualdade): {(x,y):!x=!y} é indecidível. 2008/09 Teoria da Computação 66

34 !! Teorema s-1-1 (versão simples) para cada função computável f(x,y), existe uma função total computável k(x), tal que f(x,y)=, k(x) (y). "!Teorema s-m-n Para todo o n-1 e para todo o m-1, existe uma função total (m+1)-ária computável, tal que, com x=(x 1,...,x m ) e y=(y 1,...,y n ). 2008/09 Teoria da Computação 67!! Definição A função universal para funções n-árias computáveis é a função (n +1)-ária 5 n U definida para todo e e x=(x 1,...,x n ), por (Escrevemos 5 U para abreviar 5 1 U.) 2008/09 Teoria da Computação 68

35 !! Definição Uma máquina diz-se universal se e só se computa a função universal.!! Definição O conjunto das palavras aceites por uma máquina universal designa-se por linguagem universal. 2008/09 Teoria da Computação 69!! Proposição Para cada n$n, a função universal 5 n U é computável.!! Corolário Para cada n-1, os seguintes predicados são decidíveis:!! H n (e,x,t)6 P e (x)1 em t ou menos passos!! S n (e,x,t)6 P e (x)1y em t ou menos passos!! Proposição O predicado " x é total é indecidível. 2008/09 Teoria da Computação 70

36 !! Usado para provar muitos dos resultados de indecidibilidade.!! Proposição (Teorema de Rice): Seja B4C 1 tal que B%7, C 1. O predicado, x $B é indecidível. 2008/09 Teoria da Computação 71!! Definição: v$n é vírus auto-replicável se! V =! Vx, onde Vx=! v (x), para qualquer x$n.!! v denota um programa que consome o seu argumento e devolve um resultado equivalente a si próprio.!! Prova-se a existência de vírus auto-replicáveis e o facto do conjunto destes vírus não ser decidível. 2008/09 Teoria da Computação 72

37 !! Proposição (Teorema da Recursão): Para cada aplicação f: N# N computável, existe n$n, tal que! n =! f(n).!! Proposição: O conjunto dos vírus auto-replicáveis é indecidível. (i.e., não existe um antivírus universal) 2008/09 Teoria da Computação 73