COMPUTABILIDADE. 1. Máquinas de Turing

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1 Licenciatura em Ciências da Computação COMPUTABILIDADE 1. Máquinas de Turing Ano letivo 2011/2012 José Carlos Costa Departamento de Matemática e Aplicações Universidade do Minho

2 Definição de máquina de Turing Definição 1.1 Uma máquina de Turing é um septeto T = (Q, A, T, δ, i, f, ): 1) Q é um conjunto finito não vazio, dito o conjunto de estados de T; 2) A é um alfabeto, chamado o alfabeto (de entrada) de T; 3) T A é um alfabeto, dito o alfabeto da fita de T, tal que Q T =. O conjunto T \ A é chamado o alfabeto auxiliar de T; 4) δ : Q T Q T {E, C, D} é uma função parcial, dita a função transição de T, indefinida em (f, t) para cada t T. Movimentos: E-esquerda; D-direita; C- centro (ausência de movimento); 5) i Q, dito o estado inicial de T; 6) f Q, chamado o estado final de T; 7) T \ A é um símbolo auxiliar, designado o símbolo branco. 1

3 Exemplo 1.2 O septeto T = ({1, 2, 3}, {a, b}, {a, b, }, δ, 1, 3, ) onde δ é a função parcial de {1, 2, 3} {a, b} em {1, 2, 3} {a, b} {E, C, D} tal que δ(1, ) = (2,, D) δ(2, a) = (2, a, D) δ(2, b) = (2, b, D) δ(2, ) = (3,, C) é uma máquina de Turing com: três estados (1, 2 e 3); alfabeto de entrada {a, b}; como único símbolo auxiliar; 1 e 3 como estados inicial e final. A função transição δ pode ser representada pela tabela δ a b 1 (2,, D) 2 (2, a, D) (2, b, D) (3,, C) Na tabela omite-se a linha referente ao estado final pois, por definição, numa máquina de Turing não existem transições a sair do estado final. 2

4 Fita e cursor de máquina de Turing Uma máquina de Turing T = (Q, A, T, δ, i, f, ) é dotada de uma: 1) fita dividida em células, infinita à direita e com uma célula inicial à esquerda. Cada célula tem uma letra de T e em cada instante o número de células não brancas (ou seja células onde não está escrito o símbolo branco ) é finito; 2) cabeça ou cursor (de leitura e escrita) posicionada em cada momento numa determinada célula da fita, que permite ler a letra da célula e eventualmente substituir essa letra por outra. Por exemplo, a figura a b b a q representa a fita de uma máquina de Turing em que nas 1 ā e 5 ā células está escrita a letra a, nas 3 ā e 4 ā células está escrito b e todas as outras estão em 3

5 branco. A seta indica que a cabeça está posicionada na 3 ā célula e a letra q por baixo da seta indica o estado atual da máquina de Turing. A cabeça pode efetuar movimentos determinados pela função transição. Assim, a igualdade δ(q, t) = (q, t, m) significa que, quando a máquina está no estado q com a cabeça posicionada numa célula onde está escrita a letra t: a máquina transita para o estado q, substitui a letra t pela letra t na fita e a cabeça efetua o movimento m (ou seja, move-se para a esquerda, para a direita ou não se move, conforme m seja E, D ou C). 4

6 Exemplo 1.3 Seja T = ({1, 2, 3}, {a, b}, {a, b, }, δ, 1, 3, ) a máquina de Turing cuja função transição δ é dada pela tabela δ a b 1 (2,, D) 2 (2, a, D) (2, a, D) (3,, C) Num dado momento, uma situação possível de fita e de cursor é, por exemplo, a a a b 2 que indica que a máquina está posicionada no estado 2 e o cursor está posicionado na 4 a célula onde está escrita a letra a. Dado que δ(2, a) = (2, a, D), no momento seguinte, a situação de fita e de cursor passará a ser a a a b 2 ou seja, apenas mudou a posição do cursor que se situa agora na 5 a célula. 5

7 Dado que δ(2, b) = (2, a, D), a situação posterior seria então a a a a 2 Note-se que neste passo houve uma alteração da letra na 5 a célula da fita mantendo-se ainda a máquina no estado 2. No próximo passo, usando a igualdade δ(2, ) = (3,, C) obtém-se a a a a 3 Como a máquina atingiu o estado 3, que é o estado final da máquina, não é possível efetuar mais passos. 6

8 Representação gráfica de máquinas de Turing A representação de máquinas de Turing é feita de forma análoga aos autómatos finitos. A única diferença é na representação das transições: δ(q, t) = (q, t, m) é representada por q t/t, m q que tem o seguinte significado: estando a máquina no estado q e lendo a letra t na fita, a máquina transita para o estado q, substitui a letra t por t e a cabeça efetua o movimento m. Por exemplo, o diagrama 1 /, D a/a, D b/b, D 2 /, C 3 representa a máquina de Turing do Exemplo 1.2. Esta máquina não é ainda fundamentalmente diferente de um autómato finito pois não substitui letras na fita por outras diferentes e, com excepção da transição para o estado final, o único 7

9 movimento que faz é para a direita. Veremos mais tarde que, de facto, esta máquina reconhece uma linguagem regular, ou seja, reconhece uma linguagem reconhecida por autómato finito. Um outro exemplo já mais sofisticado de máquina de Turing é apresentado a seguir. Exemplo 1.4 O diagrama a/a, D b/b, D 1 /, D /, C 3 2 /, D 4 5 b/, E 6 a/, D a/a, E b/b, E /, E descreve uma MT cujo alfabeto de entrada contém as letras a e b. Como veremos, esta MT reconhece a linguagem não regular {a n b n n N 0 }. 8

10 Configurações de uma máquina de Turing Seja T = (Q, A, T, δ, i, f, ) uma máquina de Turing. Uma configuração de T é um par ordenado (q, utv) onde q Q, u, v T, t T e: 1) q é o estado atual da máquina; 2) a palavra utv está escrita na fita o mais à esquerda possível (i.e., a 1 ā letra de utv ocupa a 1 ā célula) e todas as células após v estão preenchidas com ; 3) a cabeça está posicionada na célula ocupada pela letra t. Note-se que uma configuração representa a situação da fita e do cursor da MT num dado momento. Por esse facto, a configuração (q, utv) é também notada, por vezes, para cada n N, por (q, utv n ). 9

11 Por exemplo, a configuração (2, a bba) representa a situação a b b a 2 Esta configuração pode ser também representada, por exemplo, por (2, a bba ). Para uma palavra v T, utilizaremos a notação (q, uv), onde q Q e u T, para representar a configuração: (q, utv ) se t T e v T são tais que v = tv ; (q, u ) se v = ɛ. Assim, no exemplo acima a configuração (2, a bba) pode ser representada também por (2, a bba), ou por (2, a bba ), etc. 10

12 Computações numa máquina de Turing Sejam c 1 = (q 1, u 1 t 1 v 1 ) e c 2 = (q 2, u 2 t 2 v 2 ) duas configurações de T. Diz-se que: c 2 é uma computação direta a partir de c 1, e escreve-se c 1 T da configuração c 1 para a configuração c 2 num único passo. c 2, se T passa Assim, no Exemplo 1.3, a configuração (2, aaab) é uma computação direta a partir de (2, aaab) e poderíamos escrever (2, aaab) T (2, aaab). c 2 é uma computação a partir de c 1, e escreve-se c 1 T c 2, se T passa da configuração c 1 para a configuração c 2 em zero ou mais passos; ou seja, se c 1 = c 2 ou c 1 = c 2 para configurações c 1, c 2,..., c n. = c 1 T c 2 T c 3 c n 1 T c n Quando não houver ambiguidade em relação à máquina de Turing T que se está a considerar, simplificaremos as notações de T e de T omitindo a letra T. 11

13 Exemplo 1.5 Seja T a máquina de Turing 1 /, D a/b, D b/a, D 2 /, C 3 do Exemplo 1.2. A partir da configuração (1, aab) podem ser efetuadas em T, sucessivamente, as seguintes computações diretas Portanto (1, aab) (1, aab) (2, aab) (2, bab) (2, bbb) (2, bba ) (3, bba ). (3, bba ) é uma computação em T. 12

14 Linguagem aceite por uma máquina de Turing Seja T = (Q, A, T, δ, i, f, ) uma máquina de Turing. Uma configuração c = (q, utv) de T diz-se uma configuração de: paragem se δ não está definida em (q, t) ou, u = ɛ e δ(q, t) = (q, t, E) para alguns q Q e t T ; aceitação se q = f; rejeição se c é uma configuração de paragem e q f; ciclo se a partir de c não é possível computar uma configuração de paragem. Diz-se ainda que: (i, w) é a configuração inicial associada a uma palavra w A ; 13

15 uma palavra w A é aceite por T se existe uma computação de uma configuração de aceitação a partir da configuração inicial associada a w; ou seja, se existe uma computação (i, w) T (f, utv) para uma certa configuração de aceitação (f, utv). a linguagem aceite ou reconhecida por T, representada por L(T), é o conjunto das palavras aceites por T. Note-se que uma palavra w poderá não ser aceite por uma de duas razões: partindo da configuração inicial associada a w, a máquina de Turing pára numa configuração de rejeição; a máquina de Turing não pára (ou seja, a configuração inicial associada a w é uma configuração de ciclo); 14

16 Exemplo 1.6 Mostraremos neste exemplo como se pode construir uma máquina de Turing que reconhece a linguagem regular L = A abaa sobre o alfabeto A = {a, b}. Um autómato finito determinista que reconhece L é b a a, b a 1 2 b b a 3 4 Então, como se pode verificar sem grandes dificuldades, a seguinte máquina de Turing T reconhece L: a/a, D b/b, D a/a, D b/b, D 0 /, D 1 a/a, D 2 b/b, D 3 a/a, D 4 /, C 5 b/b, D 15

17 Verifiquemos, por exemplo, que T aceita a palavra aaba. Em T podem ser efetuadas as seguintes computações diretas (0, aaba) (1, aaba) (2, aaba) (2, aaba) (3, aaba) (4, aaba ) (5, aaba ). Dado que 5 é o estado final de T, a configuração (5, aaba ) é uma configuração de aceitação. Logo a palavra aaba é aceite por T. Pelo contrário, T não aceita a palavra abba. De facto, (0, abba) (1, abba) (2, abba) (3, abba) (1, abba) (2, abba ). Ou seja, atingiu-se uma configuração de rejeição pois a máquina parou num estado que não é o final e, portanto, a palavra abba não é aceite por T. 16

18 A construção do exemplo anterior pode ser generalizada para todas as linguagens regulares, o que mostra que a classe de linguagens reconhecidas por máquinas de Turing contém a classe das linguagens reconhecidas por autómatos finitos. Teorema 1.7 Toda a linguagem regular é reconhecida por uma máquina de Turing. No entanto, nem todas as linguagens reconhecidas por máquinas de Turing são regulares. Tal é o caso, por exemplo, da linguagem reconhecida pela máquina de Turing do Exemplo 1.4. Apresentaremos de seguida outra destas linguagens. Exemplo 1.8 Seja L = {u A u I = u} a linguagem não regular das palavras capicua sobre o alfabeto A = {a, b}. A seguinte máquina de Turing T reconhece a linguagem L 17

19 a/a, D b/b, D a/, D 2 /, D 0 1 b/, D /, C 5 /, E /, D /, E 3 b/, E 6 a/, E 4 /, D /, D a/a, E b/b, E 7 7 a/a, D b/b, D A máquina T aceita a palavra abba, como o mostra a seguinte computação (0, abba) (1, abba) (2, bba) (4, bb ) (2, bba ) (3, bba) (4, bb ) (1, bb ) (5, b ) (5, b ) (6, b ) (4, ) (1, ) (7, ). Analogamente, pode-se verificar que T aceita aba e não aceita aaba. 18

20 Note-se que a estratégia desta máquina T para verificar se u L, para uma dada palavra u A, é a de iterar o seguinte procedimento: procurar as letras nas extremidades da palavra em análise e verificar se são iguais. Se o forem, estas letras são substituídas pelo símbolo branco e este procedimento repete-se. A máquina parará por uma de três razões: 1) em algum passo do processo as letras inicial e final da palavra em análise são diferentes. Neste caso a palavra u (que não é uma capicua) não é aceite. 2) em algum passo do processo a palavra em análise é a palavra vazia. Neste caso a máquina atinge o estado final (a partir do estado 1) e, portanto, a palavra u (que é uma capicua de comprimento par) é aceite. 3) em algum passo do processo a palavra em análise é uma letra. Neste caso a máquina atinge o estado final (a partir dos estados 3 ou 6) e, portanto, a palavra u (que é uma capicua de comprimento ímpar) é aceite. 19

21 Composição sequencial de máquinas de Turing Sejam T 1 = (Q 1, A, T, δ 1, i 1, f 1, ) e T 2 = (Q 2, A, T, δ 2, i 2, f 2, ) duas máquinas de Turing com Q 1 Q 2 =. A composição sequencial de T 1 com T 2 é a MT T 1 T 2 = (Q 1 Q 2, A, T, δ, i 1, f 2, ) cuja função transição δ é definida por i) q Q 1 t T, se δ 1 (q, t) está definido, então δ(q, t) = δ 1 (q, t); ii) t T, δ(f 1, t) = (i 2, t, C); iii) q Q 2 t T, se δ 2 (q, t) está definido, então δ(q, t) = δ 2 (q, t). Informalmente, a máquina de Turing T 1 T 2 : i) atua como a máquina T 1 quando está posicionada num estado de Q 1 \ {f 1 }; ii) passa para i 2 sem alterar a situação da fita quando está posicionada em f 1 ; iii) atua como a máquina T 2 quando está posicionada num estado de Q 2. 20

22 Na representação de máquinas de Turing serão usadas as seguinte notações: 1) T 1 T 2 para representar a composição sequencial de T 1 com T 2. 2) T 1 a/a,c T 2 (onde a T ) para representar a composição sequencial condicional de T 1 com T 2 : isto é, a composição sequencial em que a condição ii) é substituída pela condição ii ) δ(f 1, a) = (i 2, a, C). a/a,c 3) q T 2 e q T 2 (onde q Q 1 e a T ) para representar a máquina de Turing que se comporta como T 1 até atingir o estado q e depois comporta-se como T 2 (no segundo caso o cursor tem que ler um a). a/a,c 4) T 1 e q T 1 q (onde q Q 2 e a T ) com um significado simétrico em relação ao do ponto anterior. As máquinas de Turing que apresentamos de seguida são frequentemente utilizadas para construir novas MTs, usando composição sequencial. As computações que realizam são úteis para fazerem parte de computações mais complexas. 21

23 Exemplo 1.9 (Cópia de palavras) Construamos uma máquina de Turing T copiar = (Q, A, T, δ, i, f, ) capaz de, ao partir da configuração inicial associada a uma palavra u, efetuar uma cópia de u na fita, colocando um símbolo branco entre o original e a cópia, ficando a cabeça posicionada na 1 a célula. Ou seja, T copiar deverá ser capaz de efetuar a seguinte computação (i, u) (f, u u) onde u A é uma palavra qualquer sobre o alfabeto de entrada. Admitamos que o alfabeto de entrada é A = {a, b} (para alfabetos mais genéricos constroem-se máquinas de Turing análogas) e que α e β são letras do alfabeto auxiliar (que vão estar associadas a a e b respetivamente). estratégia da máquina, indicada abaixo, é a de copiar uma letra de u de cada vez, substituindo as letras já copiadas pelo correspondente símbolo auxiliar. 22 A

24 a/a, D b/b, D a/a, D b/b, D /, D 0 1 /, E b/β, D 9 /, C 8 a/α, D 2 α/α, D β/β, D 6 /, D a/a, E b/b, E 5 /, D 3 /, E 7 /a, E 4 /b, E a/a, E b/b, E α/a, E β/b, E a/a, D b/b, D a/a, D b/b, D Por exemplo, em T copiar pode efetuar-se a seguinte computação (0, ba) (1, ba) (6, βa) (6, βa ) (7, βa ) (4, βa b) (5, βa b) (5, βa b) (1, βa b) (2, βα b) (3, βα b) (3, βα b ) (4, βα ba) (4, βα ba) (5, βα ba) (1, βα ba) (8, βα ba) (8, βa ba) (8, ba ba) (9, ba ba). 23

25 Exemplo 1.10 (Apagar letras) Construamos uma máquina de Turing T apagar = (Q, A, T, δ, i, f, ) que apague a letra que o cursor está a ler, ou seja, que faça a computação (i, utv) (f, uv) em que u (A { }), t A { } e v A. Admitamos que A = {a, b} e que o único símbolo auxiliar é. A máquina começa por substituir a letra t a apagar pelo símbolo branco, desloca o cursor para a última letra de v e move sucessivamente cada letra de v uma célula para a esquerda. 24

26 a/a, E a/, D b/, D /, D 0 1 a/a, D b/b, D /, E a/, E a/b, E b/a, E b/, E 4 /a, C /b, C b/b, E /, C Como exercício calcule, por exemplo, a sequência de computações em T apagar a partir de (0, babbaab). 25

27 Cálculo de funções com máquinas de Turing Seja T = (Q, A, T, δ, i, f, ) uma máquina de Turing e seja g : A T uma função parcial. Diz-se que T calcula g quando, para cada u A : se g está definida para u, então pode ser efetuada a computação (i, u) T (f, g(u)). se g não está definida para u, então não é possível computar uma configuração de aceitação a partir da configuração inicial associada a u. 26

28 Mais geralmente, para um natural k e uma função parcial em k variáveis g : (A ) k T, diz-se que T calcula g quando, para cada u 1,..., u k A : se g(u 1,..., u k ) está definida, então pode ser efetuada a computação (i, u 1 u k ) T (f, g(u 1,..., u k )). se g(u 1,..., u k ) não está definida, então não é possível computar uma configuração de aceitação a partir da configuração (i, u 1 u k ). Sejam k N, A e T alfabetos com A T e g : (A ) k T uma função parcial em k variáveis. Diz-se que g é uma função Turing-computável se existe uma máquina de Turing, de alfabeto de entrada A e alfabeto de fita contendo T, que calcula g. 27

29 Exemplo 1.11 (Concatenação de palavras) Seja A = {a, b} e seja conc : A A A a função de concatenação de duas palavras de A. Uma MT, T conc, que calcula esta função é obtida utilizando a máquina T apagar, que apaga a letra da célula apontada pelo cursor. Pretende-se que T conc realize a computação (i, u v) (f, uv) para cada u, v A. A ideia é que a máquina T conc, apresentada abaixo, /, D a/a, D b/b, D 0 1 /, C a/a, E b/b, E a/a, E b/b, E /, E T apagar 2 apague o símbolo branco que separa as palavras u e v. /, C 3 Logo a função de concatenação sobre o alfabeto {a, b} é Turing-computável. Em geral, prova-se que a função de concatenação sobre qualquer alfabeto é Turing-computável. 28

30 Funções numéricas podem também ser descritas por máquinas de Turing desde que se consiga representar os números através de palavras. Para funções envolvendo o conjunto N 0 dos inteiros não negativos, utilizaremos a representação unária no alfabeto {1}, em que n N 0 é representado pela palavra 1 n = 1 1. }{{} n vezes Seja T = (Q, {1}, T, δ, i, f, ) uma máquina de Turing e seja g : N k 0 N 0 uma função parcial. Diz-se que T calcula g quando, para n 1,..., n k N 0 : se g(n 1,..., n k ) está definida, então pode ser efetuada a computação (i, 1 n 1 1 n k ) T (f, 1 g(n 1,...,n k ) ). se g(n 1,..., n k ) não está definida, então não é possível computar uma configuração de aceitação a partir da configuração (i, 1 n 1 1 n k). 29

31 Exemplo 1.12 (Adição em N 0 ) Consideremos a função + : N 0 N 0 N 0 de adição em N 0. A seguinte máquina de Turing calcula + /, D 1/1, D 0 1 /, C 1/1, E 1/1, E /, E T apagar 2 /, C 3 onde T apagar é a máquina de Turing que apaga a letra lida pelo cursor. 30

32 Seja L uma linguagem sobre um alfabeto A. A função característica de L é a função χ L : A {0, 1} definida, para cada u A, por χ L (u) = 1 se u L 0 se u L. Exemplo 1.13 Sejam A = {a, b} e L = a b. A seguinte máquina de Turing calcula χ L. a/, E a/a, D b/b, D 3 b/, E /, D 4 /1, E /, D /, E /, D a/, E 7 5 a/, E b/, E b/, E /, D /0, E 31

33 A afirmação seguinte, enunciada pela primeira vez por Alonzo Church na década de 1930 e conhecida como tese de Church ou tese de Church-Turing, embora não seja um enunciado matemático preciso e, por isso, não possa ser provado é geralmente aceite como válido pois não há qualquer evidência de que esteja errado. Tese de Church Qualquer função que pode ser calculada por um processo algorítmico, por pessoas ou computadores, é Turing-computável. Variantes de máquinas de Turing O modelo de máquina de Turing que temos vindo a estudar admite várias alternativas possíveis. Consideraremos de seguida duas dessas alternativas. 32

34 1) Máquinas de Turing com mais do que uma fita Uma máquina de Turing com l fitas é um septeto T = (Q, A, T, δ, i, f, ) similar a uma MT usual, mas com l fitas independentes, cada uma com o seu cursor, em que a função transição δ é uma função parcial δ : Q T l Q T l {E, C, D} l. Uma configuração de T é um (l + 1)-tuplo ordenado (q, u 1 v 1,..., u l v l ) onde q Q e u i, v i T, em que: q é o estado atual de T; para cada i {1,..., l} a (i + 1)-ésima componente representa a situação da i-ésima fita e do cursor correspondente. 33

35 A configuração inicial associada a uma palavra u A é (i, u,,..., ). As noções de computação direta, computação, configuração de paragem (resp. de aceitação, de rejeição, de ciclo) são similares às noções correspondentes para máquinas de Turing usuais. Uma palavra u A é aceite por T se (i, u,,..., ) T (f, v 1 w 1,..., v l w l ) para alguns v 1,..., v l, w 1,..., w l T, ou seja, se existe uma computação de uma configuração de aceitação a partir da configuração inicial de u. A linguagem aceite ou reconhecida por T, é o conjunto das palavras L A formado pelas palavras aceites por T. 34

36 Exemplo 1.14 Seja A = {a, b} e seja T a seguinte MT sobre A com 2 fitas, (a, )/(a, a), (D, D) (b, )/(b, b), (D, D) (b, a)/(b, a), (C, E) (b, b)/(b, b), (C, E) (, )/(, ), (D, D) (, )/(, ), (C, C) 4 (, )/(, ), (E, E) (a, b)/(a, b), (E, D) 2 3 (b, )/(b, ), (C, D) (a, b)/(a, b), (E, D) (b, a)/(b, a), (E, D) A linguagem aceite por T é {a n b n n N}. efetuar-se a seguinte computação Por exemplo, em T pode (0, aabb, ) (1, aabb, ) (1, aabb, aabb ) (2, aabb, aabb) (2, aabb, aabb) (3, aabb, aabb) (3, aabb, aabb) (3, aabb, aabb) (4, aabb, aabb) (4, aabb, aabb ) (5, aabb, aabb ). 35

37 Sendo k N e g : (A ) k T uma função parcial em k variáveis, diz-se que T calcula g quando, para cada u 1,..., u k A : se g(u 1,..., u k ) está definida, então pode ser efetuada a computação (i, u 1 u 2 u k,,..., ) T (f, g(u 1,..., u k ), v 2 w 2,..., v l w l ) para alguns v 2,..., v l, w 2,..., w l T. se g(u 1,..., u k ) não está definida, então não é possível computar uma configuração de aceitação a partir da configuração (i, u 1 u k,,..., ). Teorema 1.15 As máquinas de Turing usuais e as máquinas de Turing com l fitas reconhecem as mesmas linguagens e calculam as mesmas funções. 36

38 2) Máquinas de Turing não-deterministas Uma máquina de Turing não-determinista é um septeto T = (Q, A, T, δ, i, f, ) definido de forma similar a uma máquina de Turing usual com excepção da função transição δ que é da forma δ : Q T P(Q T {E, C, D}). As noções de computação, de aceitação de palavras e linguagens, e de cálculo de funções são similares às correspondentes noções para as máquinas de Turing usuais. 37

39 A diferença entre as máquinas de Turing não-deterministas e as máquinas de Turing usuais é que a partir de uma dada configuração: nas máquinas de Turing usuais só pode ser efetuada, no máximo, uma computação direta; nas máquinas de Turing não-deterministas podem ser efetuadas, eventualmente, várias computações diretas. Teorema 1.16 As máquinas de Turing usuais e as máquinas de Turing não-deterministas reconhecem as mesmas linguagens e calculam as mesmas funções. 38

40 Linguagens recursivas e linguagens recursivamente enumeráveis Seja L A uma linguagem e seja T uma máquina de Turing com alfabeto de entrada A. Diz-se que: T aceita ou reconhece L se L = L(T); T decide L se a função característica χ L : A {0, 1} é calculada por T. Uma linguagem L diz-se: recursivamente enumerável se existe uma máquina de Turing que reconhece L; recursiva se existe uma máquina de Turing que decide L. 39

41 Proposição 1.17 Uma linguagem L A é recursiva se e só se existe uma máquina de Turing T (dita um algoritmo) que reconhece L e tal que a configuração inicial de qualquer palavra u L é uma configuração de rejeição. Demonstração: ( ) Se L é recursiva, então existe uma MT que decide L. A partir desta MT é fácil construir uma outra que reconheça L. ( ) A partir da configuração inicial associada a uma palavra u A atinge-se sempre uma configuração de paragem. Esta configuração é de aceitação se u L e é de rejeição se u L. Modifica-se então a máquina de Turing T de forma que: a partir de uma configuração de aceitação em T se escreva 1 na 2 ā célula da fita, deixando todas as outras células em branco e o cursor na 1 ā célula; a partir de uma configuração de rejeição em T se escreva 0 na 2 ā célula da fita, deixando todas as outras células em branco e o cursor na 1 ā célula; Esta nova MT calcula χ L, a função característica de L, donde L é recursiva. 40

42 Corolário 1.18 Todas as linguagens recursivas são recursivamente enumeráveis. São válidas ainda as seguintes propriedades. Proposição 1.19 Sejam L e K linguagens sobre um alfabeto A. i) Se L e K são recursivas (resp. recursivamente enumeráveis), então L K e L K são recursivas (resp. recursivamente enumeráveis). ii) Se L é recursiva, então L é recursiva. Demonstração: A ideia em i) é considerar máquinas de Turing T L e T K que decidam (resp. aceitem) L e K, respetivamente, e construir uma máquina de Turing com conjunto de estados Q L Q K (onde Q L e Q K são os conjuntos de estados de T L e T K respetivamente) e com duas fitas, que executa em simultâneo segundo T L e T K. A alínea ii) é imediata. 41

43 Teorema [Post, 1943] Uma linguagem L A é recursiva se e só se L e L são recursivamente enumeráveis. Seja A um alfabeto e sejam RE(A) o conjunto das linguagens recursivamente enumeráveis sobre A e T (A) o conjunto das máquinas de Turing de alfabeto de entrada A. O conjunto T (A) é numerável. Logo RE(A) também é numerável pois cada linguagem de RE(A) é reconhecida por uma máquina de Turing de T (A). O teorema seguinte mostra que as linguagens recursivamente enumeráveis formam uma ínfima parte do conjunto de todas as linguagens. Teorema 1.20 Existem linguagens não recursivamente enumeráveis sobre qualquer alfabeto A. Mais precisamente, o conjunto das linguagens não recursivamente enumeráveis sobre A tem o cardinal do contínuo. Demonstração: Basta notar que o conjunto RE(A) é numerável, enquanto que P(A ), o conjunto de todas as linguagens sobre A, tem o cardinal do contínuo. 42

44 Máquinas de Turing Universais Convenção Assume-se que existem dois conjuntos numeráveis Q = {q 0, q 1, q 2,...} e S = {s 0, s 1, s 2,...} tais que, para cada máquina de Turing, T = (Q, A, T, δ, i, f, ) se tem: Q Q, com f = q 0 ; T S, com = s 0. Diz-se que T é normalizada se todos os estados e todos os símbolos não brancos de T pertencem a alguma transição. Note-se que cada máquina de Turing é equivalente a alguma máquina de Turing normalizada. 43

45 Definição 1.21 (função codificadora) Define-se uma função injetiva c : T N {x, y} T c(t) que associa a cada máquina de Turing T (normalizada) uma palavra c(t) sobre o alfabeto {x, y}, chamada o código de T, da seguinte forma: 1) a cada q i Q, s i S e movimentos C, E, D é associada uma palavra sobre {x} da seguinte forma: c (s i ) = x i+1 c (q i ) = x i+1 c (C) = x c (E) = x 2 c (D) = x 3. Note-se que, em particular, c ( ) = c (s 0 ) = x e c (f) = c (q 0 ) = x. 44

46 2) cada transição e de uma máquina de Turing, descrita por δ(q, t) = (q, t, m) é codificada pela palavra c (e) = c (q)yc (t)yc (q )yc (t )yc (m)y. 3) cada máquina de Turing T é codificada pela palavra c(t) = c (q i )yc (e 1 )yc (e 2 ) yc (e k )y, onde q i é o estado inicial de T e e 1, e 2,..., e k são as transições de T numa ordem fixa previamente. Para além disso, cada palavra w = r 1 r 2 r n, onde cada r i S, é codificada por c(w) = yyc (r 1 )yc (r 2 ) yc (r n )y. Note-se que, devido ao prefixo yy de c(w), quando se tem uma sequência c(t)c(w), fica claro quando c(t) acaba. 45

47 Exemplo 1.22 Seja T a máquina de Turing i /, D a/b, D b/a, D p /, C f que percorre uma dada palavra sobre o alfabeto {a, b} trocando cada a por b e vice-versa. Suponhamos, para simplificar, que i = q 1, p = q 2 (e f = q 0 ), a = s 1, b = s 2 (e = s 0 ), e que as 4 transições são tomadas na ordem em que aparecem no grafo (da esquerda para a direita e de cima para baixo). A 1 a transição e 1, descrita por δ(i, ) = (p,, D), i.e., δ(q 1, s 0 ) = (q 2, s 0, D) é codificada por x 2 yxyx 3 yxyx 3 y, enquanto que T é codificada por x 2 }{{} c (q 1 ) y x 2 yxyx 3 yxyx 3 y }{{} c (e 1 ) y x 3 yx 2 yx 3 yx 3 yx 3 y }{{} c (e 2 ) 46 y x 3 yx 3 yx 3 yx 2 yx 3 y }{{} c (e 3 ) y x 3 yxyxyxyxy }{{} c (e 4 ) y.

48 Teorema 1.23 (Turing, 1936) Existe uma máquina de Turing T U sobre o alfabeto {x, y} tal que, para qualquer máquina de Turing T =(Q, A, T, δ, i, f, ) e qualquer palavra w A, T U simula o processamento de w por T, isto é, 1) T aceita w se e só se T U aceita c(t)c(w). Neste caso, se a saída para w em T é u, então a saída para c(t)c(w) em T U é c(u). 2) T entra em ciclo com w se e só se T U entra em ciclo com c(t)c(w). Uma máquina de Turing T U nas condições do Teorema anterior é chamada uma máquina de Turing universal. O comportamento de uma destas máquinas é exemplificado de seguida. Seja T a máquina do Exercício 1.26, /, D b/b, D q 1 q 2 a/b, E /, E b/b, E q 3 /, C q 0 47

49 Simularemos o processamento da palavra w = baa pela máquina T. Consideraremos uma máquina T U com 3 fitas: a 1 ā fita é a fita de entrada: é iniciada com a palavra c(t)c(w). Esta fita é também a de saída: se T aceita w, então T U aceita c(t)c(w) e o conteúdo final da 1 ā fita de T U é o código do conteúdo final da fita de T. a 2 ā fita é a que simula o funcionamento de T: contém o código do conteúdo da fita de T num dado instante. a 3 ā fita contém o código do estado atual da máquina T. Note-se que c(baa) = y 2 x 3 yx 2 yx 2 y. As 3 fitas de T U são portanto iniciadas como segue: c(t) c(baa) { }} { { }} { x x y x x y x y x x x y x y x x x y y y y y y x x x y x x y x x y 48

50 A máquina T U : começa por copiar c(baa) para a 2 ā fita (excepto o prefixo yy), escrevendo ainda xy como prefixo para representar o símbolo que está na 1 ā célula da fita de T; depois copia o xx, que codifica o estado inicial de T, para a 3 ā fita e apaga-o da 1 ā fita; coloca os cursores das 3 fitas na posição 2. x x y x y x x x y x y x x x y y y y y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x x A 3 ā fita indica que T está atualmente no estado q 1 e o cursor da 2 ā fita indica que o cursor da fita de T está a ler o símbolo. Assim, T U vai procurar na 1 ā fita o quíntuplo (de potências de x, separadas pelo símbolo y) que codifica a transição cujas duas primeiras componentes correspondem a estes dados. 49

51 Neste exemplo, por acaso, o cursor da 1 ā fita já está colocado na posição correspondente aos dados das outras fitas. Agora, o quíntuplo da 1 ā fita diz que: na máquina T o novo estado passa a ser o q 2, o símbolo deve ser mantido; o cursor deve mover-se para a direita. Logo, a máquina T U transforma as 3 fitas e o resultado é o seguinte: x x y x y x x x y x y x x x y y y y y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x x x Como resultado da próxima iteração, obter-se-ia x x y x y x x x y x y x x x y y y y y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x x x 50

52 e a seguir x x y x y x x x y x y x x x y y y y y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x x y x x y x x x x O processo é iterado até que a máquina T U detete, na 3 ā fita, que a máquina T chegou ao estado final q 0. Então T U copia o conteúdo da 2 ā fita para a 1 ā (depois de apagar esta) e vai para o seu estado final. A situação final das 3 fitas seria a seguinte: x y x x x y x x x y x x y x y x x x y x x x y x x y x Portanto a situação final da fita da máquina T é bba. 51

53 De seguida apresenta-se exemplos concretos de uma linguagem não recursivamente enumerável e de uma linguagem recursivamente enumerável que não é recursiva. Seja NãoAutoAceite, também denotado por N AA, o seguinte subconjunto de {x, y} : onde NãoAutoAceite = NAA 1 NAA 2 NAA 1 = {w {x, y} w = c(t) e T não reconhece w} NAA 2 = {w {x, y} w c(t) para toda a máquina de Turing T }. Seja ainda AutoAceite o complemento AA = {x, y} \ NAA de NãoAutoAceite em {x, y}, ou seja, AutoAceite = {w {x, y} w = c(t) e T reconhece w}. 52

54 Teorema 1.24 NãoAutoAceite é uma linguagem não recursivamente enumerável. Demonstração: Suponhamos que existe uma máquina de Turing T 0 que aceita NAA, ou seja, T 0 aceita uma palavra w {x, y} se e só se w NAA. (1) Seja w 0 = c(t 0 ) e consideremos a questão: T 0 aceita w 0? Se T 0 aceita w 0, então w 0 NAA por (1). Como w 0 = c(t 0 ) e w 0 NAA, então w 0 NAA 1. Logo T 0 não aceita w 0, o que é uma contradição. Se T 0 não aceita w 0, então w 0 NAA 1 e portanto w 0 NAA. Logo T 0 aceita w 0 por (1), o que é uma contradição. Em ambos os casos atinge-se uma contradição. Por isso, a máquina T 0 não existe e NAA não é recursivamente enumerável. 53

55 A seguir mostra-se que a linguagem AA é reconhecida por máquinas de Turing, mas cada máquina dessas entra em ciclo pelo menos para uma entrada w AA. Teorema 1.25 A linguagem AutoAceite é recursivamente enumerável mas não é recursiva. Demonstração: Seja w {x, y}. Tem-se w AA w = c(t) e T aceita w, para alguma máquina T w = c(t) e T U aceita c(t)c(w), onde T U é uma MT universal w = c(t) e T U aceita wc(w). Constrói-se uma máquina de Turing T 1 (provar que existe) que rejeite w se w não é código de alguma MT e que deixe na fita wc(w) se w = c(t) para alguma máquina T. Então AA é reconhecida pela máquina T 1 T U. Portanto AA é recursivamente enumerável. Que AA não é recursiva é consequência do teorema anterior. De facto, se AA fosse recursiva, então AA = NAA seria também recursiva. 54