IME, UFF 7 de novembro de 2013

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1 em Lógica IME, UFF 7 de novembro de 2013

2 em Sumário Intermezzo sobre problemas. Intermezzo sobre algoritmos.. em : Val, Sat, Conseq, Equiv, Consist. Redução de problemas.

3 em Um problema computacional é uma questão geral a ser respondida, possuindo determinados parâmetros que tomam como valores objetos finitos ou, no pior caso, que podem ser representados finitamente. Por exemplo: determinar se um dado número natural é primo, calcular o valor de uma fórmula de segundo uma interpretação, calcular o máximo M da função f (x) = ax 2 + bx + c, onde a, b, c são números reais (M, a, b e c são dados por aproximação).

4 em Importante! Neste contexto, problemas não dizem respeito a parâmetros específicos mas, sim, a parâmetros genéricos que tomam valores em conjuntos específicos. Multiplicar as matrizes computacional. ( ) 1 2 e 3 4 ( ) 5 6 não é um problema 7 8 Multiplicar duas matrizes reais de ordem 2 2 é um problema computacional.

5 em Especificações Um problema computacional é especificado quando explicitamos (1) uma indicação dos parâmetros do problema, (2) os universos nos quais os parâmetros tomam valores e (3) uma descrição precisa da questão a ser respondida. O problema de determinar se um número é primo pode ser especificado como: Dados: Um número natural n. Questão: n é primo? Ou seja, n 0, 1 e os únicos divisores de n são 1 e n?

6 O problema do cálculo do valor de uma fórmula segundo uma interpretação pode ser especificado como: em Dados: Questão: Uma fórmula ϕ de e uma interpretação I : VS[ϕ] {V, F }. Calcular I [ϕ]. O quanto a especificação da questão deve ser detalhada depende do conhecimento prévio que estamos assumindo, ao especificar o problema.

7 em Exercício 1 Especificar os seguintes problemas, de acordo com o modelo acima: (i) O Problema do Número Composto, que consiste em, dado um número natural, determinar se ele é composto. (ii) O Problema da Contingência, que consiste em, dada uma fórmula de, determinar se ela é contingente. (iii) O Problema da Parada, que consiste em, dado um programa de computador e uma entrada na qual ele pode ser executado, determinar se o programa entra em loop, quando executado com aquela entrada.

8 em de decisão Um problema é de decisão quando a resposta para a questão é sim ou não. Os problemas do Número Primo, do Número Composto, da Contingência e da Parada são de decisão. Os problemas do cálculo do valor de uma fórmula segundo uma interpretação e do cálculo do valor máximo de uma função quadrática não são de decisão. Daqui em diante, só vamos lidar com problemas de decisão.

9 em Resolução de um problema Em termos gerais, quando um problema é muito difícil, tentamos resolvê-lo, elaborando um método que: 1. possa ser aplicado aos valores dos parâmetros do problema que nos interessam, 2. quando aplicado corretamente, usualmente produz um resultado, 3. quando produz um resultado, o resultado produzido é a resposta correta do problema para aqueles valores. Em termos específicos, queremos mais do que isto.

10 em Seja Π um problema de decisão. Um algoritmo que resolve Π é um método passo-a-passo que: 1. pode ser implementado em um computador; 2. pode ser executado com quaisquer valores dos parâmetros de Π como entrada; 3. quando executado com valores dos parâmetros de Π como entrada, a execução sempre termina; 4. quando a execução termina, responde corretamente, com sim ou não, à questão de Π.

11 em Exercício 2 (i) Elabore um algoritmo para resolver o Problema do Número Primo. (ii) Elabore um algoritmo para resolver o Problema do Número Composto. (iii) Elabore um um algoritmo para resolver o Problema da Contingência. (iv) Elabore um algoritmo para resolver o Problema da Parada.

12 em e programas Todo algoritmo corresponde a um programa de computador. Assim, a quantidade de algoritmos é limitada superiormente pela quantidade de programas. Dada uma linguagem de programação L (elaborada para todos os propósitos), um programa de L é simplesmente uma palavra escrita com os símbolos de L. Assim, a quantidade de programas é limitada pela quantidade de palavras de L.

13 em Programas e palavras Dentro do computador qualquer informação é armazenada como uma sequência finita de dígitos: 0 ou 1. Portanto, podemos assumir que os símbolos básicos de L são 0 e 1, e que toda palavra de L é uma sequência finita de 0s e/ou 1s. Assim, a quantidade de palavras de L é limitada superiormente pela quantidade de sequências finitas de 0s e/ou 1s (na verdade, é igual).

14 em Desta maneira, existem: Quantidade de algoritmos 2 palavras de tamanho 1, 4 palavras de tamanho 2, 8 palavras de tamanho 3,. 2 n palavras de tamanho n,. Prosseguindo desta maneira, alojamos todas as palavras dentro de N. Ou seja, a quantidade de algoritmos é limitada superiormente pela quantidade de elementos em N.

15 em e subconjuntos Considere os problemas de decisão que possuem um único parâmetro, tomando valores em um conjunto universo correspondente. Todo subconjunto deste universo corresponde a um problema de decisão: o problema de dado um elemento do universo, decidir se ele pertence ou não ao subconjunto. Logo, a quantidade de problemas de decisão em um dado universo U é limitada inferiormente pela quantidade de subconjuntos de U (na verdade, é igual).

16 em Quantidade de subconjuntos Depois que um fato paradoxal como ω ω = ω é estabelecido, podemos nos perguntar se a comparação das quantidades de elementos em U e P(U), quando U é infinito, pode nos trazer alguma surpresa. Mas, G.F.L.P Cantor ( ) provou o seguinte: Teorema (Cantor, 1891) Para todo conjunto U, a quantidade de elementos em U é estritamente menor do que a quantidade de elementos em P(U).

17 em e problemas Consideremos, agora, os algoritmos para resolver problemas de decisão que possuem um único parâmetro, tomando valores em N. Temos que a quantidade de algoritmos é limitada superiormente pela quantidade de elementos em N. E que a quantidade de problemas é limitada inferiormente pela quantidade de elementos em P(N). E que a quantidade de elementos em N é estritamente menor do que a quantidade de elementos em P(N) (Teorema de Cantor). Assim, existem mais problemas que algoritmos, ou seja, existem problemas que nenhum algoritmo consegue resolver!

18 em e In de problemas Seja Π um problema de decisão. Π é decidível se existe um algoritmo que resolve Π. Π é indecidível se nenhum algoritmo resolve Π. Assim, a contagem das quantidades de sequências finitas e de subcobjuntos de conjuntos infinitos mostra que existem problemas indecidíveis!

19 em Exercício 3 Sejam Π 1 e Π 2 problemas de decisão que possuem um único parâmetro, cada um, tomando valores em um mesmo universo U. Assuma que o parâmetro de Π 1 é x e o que de Π 2 é y. Π 1 e Π 2 são complementares se, para cada elemento u U, quando x e y tomam u como valor, a resposta de Π 1 para x é sim se, e somente se, a resposta de Π 2 para y é não.

20 Exercício 3 (i) Especifique os problemas do Número Primo e do Número Composto, de modo que eles sejam problemas complementares. em (ii) Prove que, se Π 1 e Π 2 são complementares, então Π 1 é decidível se, e somente se, Π 2 é decidível.

21 em O Problema da Validade, Val Dados: Uma fórmula ϕ de. Questão: = ϕ? Val é decidível. Conhecemos dois algoritmos para resolver Val: O Método das Tabelas para Tautologias e as Árvores de Refutação.

22 O Problema da Satisfabilidade, Sat em Dados: Uma fórmula ϕ de. Questão: ϕ é satisfazível? Sat é decidível. Ainda não estudamos este problema...

23 Exercício 4 (i) Elaborar um algoritmo baseado em tabelas de avaliação para resolver Sat. em (ii) Elaborar um algoritmo baseado em árvores de refutação para resolver Sat.

24 em Exercício 4 (iii) Aplicando o algoritmo elaborado em 4(ii), determine se as seguintes fórmulas são satisfazíveis: (a) (p q) (p q) (b) (p (q r)) ((p q) (p r)) (c) (p q) (p q) (d) (p q) (p q) (e) (p q) (p r) (iv) Além de decidir Sat, os algoritmos elaborados em 4(i) e 4(ii) podem ser adaptados para determinarmos todas as interpretações de uma dada fórmula?

25 O Problema da Consequência Finitária, Conseq em Dados: Um conjunto Σ {ϕ}, finito, de fórmulas de. Questão: Σ = ϕ? Conseq é decidível. Conhecemos um algoritmo para resolver Conseq: o Método das Tabelas para Validade.

26 Exercício 5 (i) A construção de demonstrações (diretas e/ou indiretas) é um algoritmo para resolver Conseq? em (ii) Elaborar um algoritmo baseado em árvores de refutação para resolver Conseq.

27 Exercício 5 (iii) Aplicando o algoritmo elaborado em 5(ii), determine se os seguintes argumentos são válidos: em (a) (a b) (a ( c)) a c ( b) ( c) b c (b) ( q) p ( r) ( p) s s ( r) t p t q (iv) Além de decidir Sat, o algoritimo elaborado em 5(ii) pode ser adaptado para determinarmos todas as interpretações de um argumento nas quais as premissas são simultaneamente V e a conclusão é F?

28 O Problema da Equivalência, Equiv em Dados: Duas fórmulas ϕ e ψ, de. Questão: ϕ == ψ? Equiv é decidível. Conhecemos um algoritmo para resolver Equiv: o Método das Tabelas para Equivalência.

29 Exercício 6 (i) O Método de Raciocínio por Equivalências é um algoritmo para resolver Equiv? em (ii) Elaborar um algoritmo baseado em árvores de refutação para resolver Equiv.

30 em Exercício 6 (iii) Aplicando o algoritmo elaborado em 6(ii), determine se as seguintes fórmulas são equivalentes: (a) (p q) r e (p r) (q r) (b) (p q) r e (p r) (q r) (c) p ( p) e q ( q) (iv) Além de decidir Equiv, o algoritmo elaborado em 6(ii) pode ser adaptado para determinarmos todas as interpretações de duas fórmulas nas quais elas são V? (v) Além de decidir Equiv, o algoritmo elaborado em 6(ii) pode ser adaptado para determinarmos todas as interpretações de duas fórmulas nas quais elas são F?

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