Seja S = {2, 5, 17, 27}. Quais da sentenças a seguir são verdadeiras? 3. Quantos conjuntos diferentes são descritos abaixo? Quais são eles?

Transcrição

1 Seção 3.1 Conjuntos 113 Existem identidades básicas (em pares duais) e elas podem ser usadas para provarem identidades de conjuntos; uma vez que uma identidade seja provada desta maneira, sua dual também será válida. Os conjuntos podem ser fornecidos como tipos de dados-padrão em linguagens de programação, e um tipo abstrato de dados para representar conjuntos pode ser implementado de diversas formas. A noção da programação orientada a objeto de herança é uma conseqüência do conceito de subconjunto. Conjuntos contáveis podem ser enumerados e existem conjuntos não-contáveis. Exercícios 3.1 Seja S = {2, 5, 17, 27}. Quais da sentenças a seguir são verdadeiras? 3. Quantos conjuntos diferentes são descritos abaixo? Quais são eles? Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos: 5. Descreva cada um dos conjuntos abaixo, listando seus elementos: 6. Descreva cada um dos conjuntos abaixo, apresentando uma propriedade característica: a. {1,2,3,4,5} b. {1,3,5,6,9, 11,...} c. {Sarney, Collor, Itamar} d. {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,...) 7. Descreva cada um dos conjuntos a seguir: 8. Dada a descrição de um conjunto A como A = {2, 4, 8,...}, você acha que 16 Al 9. Sejam Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? 10. Sejam

2 114 Conjuntos e Combinatória Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? Justifique as que não forem. 11. Seja e 12. Seja e 13. O programa QUAD encontra e imprime soluções de equações quadráticas da forma ax 2 + bx + c = 0. O programa PAR lista todos os inteiros de 2n a 2n. Seja Q o conjunto dos valores de saída de Q, e E o conjunto dos valores de saída de PAR. a. Mostre que para a = 1, b = -2, c = -24 e n = 50, b. Mostre que para os mesmos valores de a, b e c, mas para n valendo 2, 15. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para todos os conjuntos A, B e C? 27. Resolva para x e y. a. (y, x + 2) = (5, 3) b.(2x,y) = (16,7)

3 Seção 3.1 Conjuntos 115 c. (2x -y,x + y) = (-2, 5) 29. Quais das operações a seguir são binárias ou unárias nos conjuntos dados? Para as que não foram, justifique sua resposta. 30. Quantas operações binárias diferentes podem ser definidas em um conjunto com n elementos? (Dica: imagine o preenchimento de uma tabela.) 31. Nós temos escrito as operações binárias através da notação infíxa, onde os símbolos da operação aparecem entre os operandos, como em A + B. A avaliação de uma operação aritmética complexa é mais eficiente se a operação for escrita na notação posfixa, onde o símbolo da operação aparece após os operandos, como em A B +. Muitos compiladores mudam as expressões dos programas da forma infixa para a forma posfixa. Uma forma de produzir uma expressão posfixa a partir de uma expressão infixa é escrever a operação infixa com todos os parênteses possíveis e mover cada operador a fim de que substitua seu "fecha-parênteses" e eliminar todos os "abre-parênteses". (Não há necessidade de parênteses na notação posfixa.) Portanto, A* B + C fica, quando escrita com todos os parênteses, ((A * B) + C) e sua notação posfixa é A B * C + Reescreva cada uma das expressões a seguir na notação posfixa: a. (A + B) * (C - D) b. A ** B - C * D (** denota exponenciação) c.a * C + B/(C + D* B) 32. Avalie expressões posfixas a seguir (veja Exercício 31): a. 2 4 * 5 + b / 1 - c *

4 116 Conjuntos e Combinatória 33. Sejam A = {p, q, r, s} B = {r, t, v} C = {p, s, t, u} subconjuntos de S = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Encontre 34. Sejam A = {2,4,5,6,8} B = {1,4,5,9} subconjuntos de S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Encontre: 35. A = {x x é o nome de um presidente anterior do Brasil} B = {Jânio, Geisel, Figueiredo} C = {x x é nome de um estado} Encontre: 36. Sejam A = {x x é uma palavra que aparece antes de cão no dicionário da língua portuguesa} B = {x x é uma palavra que aparece depois de bem-te-vi no dicionário da língua portuguesa} C = {x x é uma palavra com mais de quatro letras} Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? Considere os seguintes subconjuntos de Usando as operações de conjuntos, descreva cada um dos seguintes conjuntos em termos de A, B e C: a. conjunto de todos os inteiros ímpares b. { - 10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10} 38. Sejam

5 Seção 3.1 Conjuntos 117 Usando operações de conjuntos, descreva cada um dos conjuntos mostrados abaixo em termos de A e B 39. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B e Cl 40. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições gerais para os conjuntos Ac B para tornar a sentença verdadeira: 41. Prove que onde A e B são conjuntos arbitrários. 42. Prove que onde A e B são conjuntos arbitrários. 48. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B e C?

6 118 Conjuntos e Combinatória e. A X (B X C) = (A X B) X C 49. Verifique as identidades básicas de conjuntos da p. 106 demonstrando a inclusão em ambas as direções. (Já mostramos a 3. a e 4.ª) 50. A e B são subconjuntos de S. Demonstre as seguintes identidades mostrando a inclusão em ambas as direções: 51. a.a,b e C são subconjuntos de S. Demonstre as seguintes identidades usando as identidades básicas de conjuntos apresentadas nesta seção: b. Indique o dual de cada uma das identidades acima. 52. A, B e C são subconjuntos de S. Demonstre as seguintes identidades de conjuntos, quer seja mostrando a inclusão em ambas as direções ou usando as identidades previamente demonstradas, incluindo as do Exercício A operação de união de conjuntos pode ser definida como uma operação n-ária para qualquer inteiro a. Forneça uma demonstração semelhante à da união de dois conjuntos para b. Forneça uma definição recursiva para 54. Usando a definição recursiva da união de conjuntos do Exercício 53(b), demonstre a propriedade associativa generalizada da união de conjuntos, que é válida para qualquer n com e qualquer p com 55. A operação de interseção de conjuntos pode ser definida como uma operação n-ária para qualquer inteiro a. Forneça uma definição semelhante à da interseção de dois conjuntos para b. Forneça uma definição recursiva para 56. Usando a definição recursiva da interseção de conjuntos do Exercício 55 (b), demonstre a propriedade associativa generalizada da interseção de conjuntos, que é válida para qualquer n com e qualquer 57. Para A 1. A 2 A n, e B subconjuntos de S, demonstre as seguintes identidades, onde (Veja Exercícios 53 e 55.)

7 Seção 3.1 Conjuntos Para A 1,A 2;..., A n subconjuntos de 5, demonstre as seguintes identidades, onde (Veja Exercícios 50, 53 e 55.) 59. As operações de união e interseção de conjuntos podem ser estendidas a fim de que se apliquem a uma família infinita de conjuntos. Podemos descrever essa família como a coleção de todos os conjuntos A,, onde i assume quaisquer valores do conjunto fixo /. Neste caso, / é chamado de conjunto índice da 61. O princípio da boa-ordenação diz que todo conjunto não-vazio de inteiros positivos tem um menor número. Prove que o princípio da indução fraca, isto é, implica o princípio da boa-ordenação. (Dica: admita que o princípio da indução fraca é válido e use uma prova por contradição para mostrar que o princípio da boa-ordenação é válido. Seja T um conjunto nãovazio de inteiros positivos que não tem menor elemento. Seja P(n) a propriedade que todo elemento de T é maior que n.) 62. Demonstre que o princípio da boa-ordenação (veja Exercício 61) implica o princípio da indução forte. (Dica: Admita que o princípio da boa-ordenação é válido e seja P a propriedade para a qual Seja T o subconjunto dos inteiros positivos definido por Mostre que T é o conjunto vazio.)

8 120 Conjuntos e Combinatória 63. Seja o conjunto universo S = {1,2,3,4,5}. Usando a representação por vetor de bits, quais são os se- guintes conjuntos? a. A = {2,3,5} b. B= {5} 64. Seja o conjunto universo S = {1, 2, 3, 4, 5}. Usando a representação por vetor de bits, encontre a. O complemento de b. A união de e c. A interseção de e Sejam os conjuntos A e B com as representações na forma de listas encadeadas mostradas a seguir: Desenhe a representação na forma de lista encadeada de 66. Usando os conjuntos do Exercício 65, desenhe a representação em forma de lista encadeada de 67. Prove que o conjunto dos inteiros positivos ímpares é denumerável. 68. Prove que o conjunto de todos os inteiros é denumerável. 69. Prove que o conjunto de todas as strings de tamanho finito de letras a é denumerável. 70. Prove que o conjunto é denumerável. 71. Use o método da diagonalização de Cantor para mostrar que o conjunto de todas as seqüências infinitas de inteiros positivos não é contável. 72. Explique por que qualquer subconjunto de um conjunto contável é também contável. 73. Explique por que a união de quaisquer dois conjuntos denumeráveis é também denumerável. 74. Conjuntos podem ter conjuntos como elementos (veja Exercício 10, por exemplo). Seja B o conjunto definido como mostrado a seguir: Verifique que tanto quantosão verdadeiros. Esta contradição é chamada de paradoxo de Russell devido ao famoso matemático e filósofo Bertrand Russell, que primeiro a enunciou em (A criação cuidadosa de axiomas na teoria dos conjuntos impôs algumas restrições sobre o que se pode chamar de conjunto. Todos os conjuntos ordinários continuam sendo conjuntos, mas conjuntos peculiares que nos induzem a dúvidas, como o B acima, foram evitados.) Seção 3.2 Contagem A combinatória é o ramo da Matemática que trata da contagem. Tratar a contagem é importante, sempre que temos recursos finitos (Quanto espaço um banco de dados consome? Quantos usuários a configuração de um computador pode suportar?) ou sempre que estamos interessados em eficiência (Quantos cálculos um determinado algoritmo envolve?). Problemas de contagem normalmente se resumem em determinar quantos elementos existem em um conjunto finito. Esta questão que parece trivial pode ser difícil de ser respondida. Já respondemos algumas questões do tipo "quantos" quantas linhas existem na tabela-verdade com n símbolos proposicionais, e quantos subconjuntos existem em um conjunto com n elementos? (Na verdade, como já vimos, essas podem ser a mesma pergunta.)