Matemática para Ciência de Computadores

Transcrição

1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Relações Definição: Uma relação binária de um conjunto A num conjunto B é um subconjunto R A B. Nota: Ao contrário da definição de função, não se impõe nenhuma restrição. Notação: arb significa que (a, b) R. Definição: Um grafo dirigido, D, de A em B é uma coleção de vértices V A cupb e uma colecção de ramos R A B. Se (X, y) R então existe uma arco ou ramo de x para y em D.

3 Complexidade 2002/03 2 Exemplos Seja: A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, 1), (a, 2), (c, 4)} a b c

4 Complexidade 2002/03 3 Exemplos Seja: A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, 1), (a, 2), (c, 4)} R a X X b c X

5 Complexidade 2002/03 4 Relações, cont. Definição: Uma relação binária de um conjunto A nele mesmo é um subconjunto R A A. Exemplo: Seja: A = {a, b, c}, R = {(a, a), (a, b), (a, c)} a b c

6 Complexidade 2002/03 5 Relações: exercícios 1. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Quais os pares ordenados pertencentes a relação R = {(a, b) : a divide b}. 2. Quantas relações existem num conjunto com n elementos?

7 Complexidade 2002/03 6 Propriedades de Relações Dado: Um universo U, Uma relação binária R num subconjunto A de U. Definição: A relação R definida num conjunto A é reflexiva se (a, a) R para todo o a A. Definição: R é reflexiva sse x.(x U (x, x) R) Nota: Se U = a implicação é trivialmente verdadeira, logo a relação reflexiva.

8 Complexidade 2002/03 7 Reflexividade: exemplos e exercícios Das seguintes relações em {1, 2, 3, 4} indique as reflexivas. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}. R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}. R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. R 4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. R 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}. R 6 = {(3, 4)}. A relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é reflexiva? Quantas relações reflexivas existem num conjunto com n elementos?

9 Complexidade 2002/03 8 Propriedades de Relações Dado: Um universo U, Uma relação binária R num subconjunto A de U. Definição: A relação R definida num conjunto A é simétrica se (b, a) R sempre que (a, b) R para todo o a, b A. Definição: R é simétrica sse Definição: R é anti-simétrica sse x y.((x, y) R (y, x) R) x y.((x, y) R (y, x) R x = y)

10 Complexidade 2002/03 9 Simetria: exemplos e exercícios Das seguintes relações em {1, 2, 3, 4} indique as simétricas e anti-simétricas. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}. R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}. R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. R 4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. R 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}. R 6 = {(3, 4)}. A relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é simétrica? e anti-simétrica?

11 Complexidade 2002/03 10 Propriedades de Relações Dado: Um universo U, Uma relação binária R num subconjunto A de U. Definição: A relação R definida num conjunto A é transitiva se (a, b) R e (b, c) R, então (a, c) R para todo o a, b, c A. Definição: R é transitiva sse x y.((x, y) R (y, z) R (x, z) R)

12 Complexidade 2002/03 11 Transitividade: exemplos e exercícios Das seguintes relações em {1, 2, 3, 4} indique as transitivas. R 1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}. R 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}. R 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. R 4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. R 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}. R 6 = {(3, 4)}. A relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é transitiva?

13 Complexidade 2002/03 12 Operações em conjuntos Seja R 1 e R 2 relações binárias num conjunto A: Se R 1 tem a propriedade 1 e R 2 tem a propriedade 2 será que R 1 R 2 tem a propriedade 3? onde R 1 R 2 é uma operação de conjuntos arbritrária?

14 Complexidade 2002/03 13 Exemplo Mostre, ou determine um contraexemplo, que: se R 1 é simétrica e R 2 é anti-simétrica será que R 1 R 2 é transitiva?

15 Complexidade 2002/03 14 Exemplo Sejam R 1 e R 2 relações transitivas num conjunto A. Será que é transitiva? R 1 R 2 Considere: A = {1, 2}. R 1 = {(1, 2)} R 2 = {(2, 1)} Então R 1 R 2 = {(1, 2), (2, 1)} não é transitiva.

16 Complexidade 2002/03 15 Composição de relações Definição: Sejam R 1 uma relação de A em B e R 2 uma relação de B em C. A composição de R 2 com R 1 (R 2 R 1 ) é uma relação de A em C tal que se (a, b) R 1 e (b, c) R 2 então (a, c) R 2 R 1. Exercício: determine a composição das relações R e S, com R definida de {1, 2, 3} em {1, 2, 3, 4} e R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}; S definida de {1, 2, 3, 4} em {0, 1, 2} e R = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}. Definição: Sejam R uma relação num conjunto A. As potências R n, n = 1, 2, 3,... são definidas recursivamente por R 1 = R R n+1 = R n R.

17 Complexidade 2002/03 16 Transitividade Teorema: Seja R uma relação num conjunto A. R é transitiva se e só se R n R, para todo n > 0. Prova:R transitiva R n R Vamos fazer uma prova directa por indução: Supomos R transitiva Provamos que R n R por indução. Base trivialmente válido para n = 1.

18 Complexidade 2002/03 17 Transitividade Teorema: Seja R uma relação num conjunto A. R é transitiva se e só se R n R, para todo n > 0. Prova:R transitiva R n R Indução: Supomos que R n R é válido para n, vamos mostrar que é válido para n + 1 (R n+1 R). R n+1 = R n R logo se (x, y) R n+1 então existe um z tal que (x, z) R n e (z, y) R. Mas como (por hip. de indução) R n R, (x, z) R, como (z, y) R e R é transitivo então (x, y) R.

19 Complexidade 2002/03 18 Transitividade Teorema: Seja R uma relação num conjunto A. R é transitiva se e só se R n R, para todo n > 0. Prova: R n R R transitiva Por hip. R n R, em particular R 2 R. Para mostrar que R é transitiva, note que se (x, y) R e (y, z) R então (x, z) R 2. Como R 2 R, então (x, z) R. Logo R é transitiva.