Unidade IV. Unidade III. Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital.

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1 Unidade IV 9 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA DE BOOLE Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital 91 Operador binário O sistema numérico surgiu ao longo da história do desenvolvimento humano por conta das necessidades de convencionar a representação numérica O sistema decimal é utilizado no dia a dia e, sem dúvida, tornou-se o sistema mais importante para a maior parte das pessoas O sistema decimal é constituído de dez algarismos, com os quais é possível representar toda a numeração necessária Contudo, outros sistemas também existem, tais como o octal e o hexadecimal, muito importantes na área da computação Além desses, existe o binário, com o qual se entende a estrutura dos circuitos dos processadores e demais dispositivos de um computadores 92 O sistema binário de numeração 1 20 No sistema binário de numeração, existem apenas dois algarismos: 0 e 1 Na verdade, é bastante simples No sistema decimal, as dezenas são representadas com o algarismo, e a quantidade de dezenas é representada modificando o primeiro algarismo; com isso, tem-se, por exemplo, 20, 30, 40, 30

2 LÓGICA Acompanhe, na tabela a seguir, algumas representações binárias e, em seguida, será demonstrado como se converter um número decimal em binário e vice-versa Decimal Binário Tabela 1 Uma maneira fácil de obter a conversão de um número decimal em binário e de binário em decimal é utilizar a calculadora do Windows no modo científico Figura 8 Conversão de decimal para numérico, com uso da calculadora do Windows 31

3 93 Propriedade cumulativa na adição Segue o exemplo da propriedade cumulativa na adição: A + B = B + A 94 Propriedade cumulativa na multiplicação Segue o exemplo da propriedade cumulativa na multiplicação: A x B = B x A 9 Propriedade associativa na adição Segue o exemplo da propriedade associativa na adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 96 Propriedade associativa na multiplicação Segue o exemplo da propriedade associativa na multiplicação: A x (B x C) = (A x B) x C = A x B x C 97 Álgebra booleana Por álgebra booleana, normalmente, entende-se um conjunto B junto com duas operações binárias ou em B e dois elementos 0 e 1 de B, tais que os axiomas seguintes sejam: 1 Para todo x e y em B, x y = y x 1 2 Para todo x e y em B, x y = y x 3 Para todo x, y, z em B, x (y z) = (x y) (x z) 32

4 LÓGICA 4 Para todo x, y, z em B, x (y z) = (x y) (x z) Para todo x em B, x 0 = x 6 Para todo x em B, x 1 = x 7 Para todo x em B, x x = 0 8 Para todo x em B, x x = Conversão de decimal em binário º resto º resto º resto º resto º resto º resto º resto º resto 1 1 último quociente Logo, tem-se = 400 REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES BOOLEANAS A expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas Seu resultado será apenas composto de dois valores: 0 e 1 33

5 Postulados Complementação Adição Multiplicação A = 0 A = 1 A = 1 A = = = = = = = = = 1 Identidades Complementação Adição Multiplicação A + 0 = A A 0 = A A = A A + 1 = 1 A 1 = 1 A + A = A A A = A A + A = 1 A A = 1 Propriedades Comutativa A + B = B + A A B = B A Associativa A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A (B x C) = (A B) C = A B C Distributiva A(B + C) = AB + AC Teoremas de De Morgan (A B) = A + B (A + B) = A B Outras identidades A + AB = A (A + B)(A + C) = A + BC 11 FORMAS NORMAIS Uma proposição está em forma normal (FN) se, e somente se contém os conectivos, e Exemplo: p q, ( p q), (p q) ( q r) Toda a proposição pode ser levada para a forma normal (FN) equivalente pela eliminação dos conectivos e, se existirem 34

6 LÓGICA 1 20 Isso significa a substituição de p q por p q e de p q por ( p q) (p q) 111 Forma normal conjuntiva Uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se, e somente se são verificadas as seguintes condições: contém apenas os conectivos, e ; não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais; não tem alcance sobre Assim, não há componentes do tipo p (q r)) Simbolicamente, fica: p q, p q r, ( p q) ( q r) 112 Forma normal disjuntiva Uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se, e somente se são verificadas as seguintes condições: contém apenas os conectivos, e ; não aparece repetido ( ) e não tem alcance sobre e Desta forma, somente incide sobre letras proposicionais; não tem alcance sobre Assim, não há componentes do tipo p (q r)) Simbolicamente, fica: p q, p (q r), (p q) ( p q r) Glossário Teorema é um termo que foi utilizado pela primeira vez pelo matemático Euclides (360 ac 29 ac) para representar que a afirmação pode ser provada 3

7 Referências bibliográficas ALENCAR FILHO, E Iniciação à matemática lógica São Paulo: Nobel, 1999 GUIMARÃES, A M; LAGES, N A C Algoritmos e estruturas de dados Rio de Janeiro: LTC, 198 IDOETA, I V; CAPUANO, F G Elementos da eletrônica digital 6 ed São Paulo: Érica, 1984 MANZANO, J A N G; OLIVEIRA, J F Algoritmos: lógica para desenvolvimento de programação São Paulo: Érica, 1996 MENDELSON, E Álgebra booleana e circuitos de chaveamento: resumo da teoria, problemas resolvidos São Paulo: McGraw-Hill,

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