Atividades 1 - Matemática Discreta /02

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Guilherme de Sousa Barroso
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1 Atividades 1 - Matemática Discreta /02 1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos: (a) P = {x R x 2 x 2 = 0}; (b) Q = {x x é uma letra na palavra amor }; (c) R = {x Z x 2 = 9 ou x 3 = 5}; (d) D = {x R 2x + 1 = 0 e 2x 2 x 1 = 0}; (e) E = {x x é algarismo do número } 2. Quais dos seguintes conjuntos são iguais? (a) A = {x : x 2 4x + 3 = 0} (b) B = {x : x 2 3x + 2 = 0} (c) C = {x : x N, x < 3} (d) D = {x : x N, x é ímpar, x < 5} (e) E = {1, 2} (f) F = {1, 2, 1} (g) G = {3, 1} (h) H = {1, 1, 3}. 3. Liste os elementos dos conjuntos seguintes considerando o conjunto universo U = {a, b, c,, y, z}. Identifique também os conjuntos iguais, se existirem. (a) A = {x : x é vogal} (b) B = {x : x precede m no alfabeto} (c) C = {x : x é uma letra na palavra matemática} (d) D = {x : x é uma letra na palavra temática }. 4. Sejam A = {1, 2,, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. Determine um conjunto X tal que: (a) X e B são disjuntos (b) X D, mas X B (c) X A, mas X C (d) X C, mas X A. 5. Considere os seguintes conjuntos U = {1, 2, 3,, 8, 9}, A = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 4, 7}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Encontre: (a) A B e A C (b) A B e B C (c) A e C (d) A \ B e A \ C (e) (A C) B (f) (A B) (g) (A B) C (h) (U \ A) \ C (i) A B C 6. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre: (a) A é a união disjunta de A B e A B. (b) A B é a união disjunta de A B, A B e B A. 7. Prove: (a) A B se, e somente se, A B =. (b) A B se, e somente se, A B = U. (c) A B se, e somente se, B A. 1

2 (d) A B se, e somente se, A B =. 8. Prove as leis de absorção: (a) A (A B) = A (b) A (A B) = A. 9. A fórmula A B = A B define a operação de diferença em termos da operação de interseção e de complementar. Ache uma fórmula que defina a união A B em termos da operação de interseção de complementar. 10. O diagrama de Venn na Figura abaixo apresenta os conjuntos A, B e C. Hachure os seguintes conjuntos: COLOCAR FIGURA (a) A (B C) (b) A (B C) (c) A (C B). 11. Use o diagrama de Venn da figura abaixo para escrever cada um dos conjuntos como a união disjunta dos produtos fundamentais: COLOCAR FIGURA (a) A (B C) (b) A (B C) (c) A (C B). 12. Esboce um diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C, onde A B, os conjuntos B e C são disjuntos, mas A e C têm elementos em comum. 13. Use as leis da álgebra de conjuntos para provar cada uma das identidades: (a) A B = (B C ) (b) A = (B A) (A B) (c) A (A B) = A (d) (A B) (A B) (A B ) (A B ) = U. 14. Determine quais dos seguintes conjuntos são finitos. (a) O conjunto das retas paralelas ao eixo x. (b) O conjunto das letras do alfabeto. (c) O conjunto dos números múltiplos de 5. (d) O conjunto dos cachorros que vivem na Terra. (e) O conjunto dos números que são soluções da equação x x 18 17x x 3 10 = 0. (f) O conjunto das circunferências contendo a origem (0, 0). 15. Se A e B são conjuntos finitos, então n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). 16. Foi realizada uma pesquisa com uma amostragem de 25 carros novos à venda em uma revendedora local para verificar quais dos três opcionais populares, ar condicionado (A), rádio (R) e vidros elétricos (V), já estavam instalados. A pesquisa concluiu: 15 tinham ar condicionado, 12 tinham rádio, 11 tinham vidros elétricos, 5 tinham ar condicionado e vidros elétricos, 9 tinham ar condicionado e rádio, 4 tinham rádio e vidros elétricos, 3 tinham as três opções. Ache o número de carros que têm: (a) apenas vidros elétricos (b) apenas ar-condicionado (c) apenas rádio (d) rádio e vidros, mas não ar condicionado 2 (e) ar condicionado e rádio, mas não vidros elétricos (f) apenas uma das opções (g) nenhuma das opções.

3 17. Ache o conjunto das partes de A = {1, 2, 3, 4, 5}. 18. Dado A = {{a, b}, {c}, {d, e, f}}. Determine se cada uma das afirmativas seguintes é verdadeira ou falsa: (a) a A (b) {c} A (c) {d, e, f} A (d) {{a, b}} A (e) A (f) {a, b, c} A. Determine também o conjunto das partes de A. 19. Suponha que A seja um conjunto finito e n(a) = k. Mostre que P (A) tem 2 k elementos. 20. Seja X = {1, 2,, 8, 9}. Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição de X. (a) {{1, 3, 6}, {2, 8}, {5, 7, 9}} (b) {{1, 5, 7}, {2, 4, 8, 9}, {3, 5, 6}} (c) {{2, 4, 5, 8}, {1, 9}, {3, 6, 7}} (d) {{1, 2, 7}, {3, 5}, {4, 6, 8, 9}, {3, 5}}. 21. Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição do conjunto de inteiros positivos N. (a) {{n : n > 5}, {n : n < 5}} (b) {{n : n > 5}, {0}, {1, 2, 3, 4, 5}} (c) {{n : n 2 < 11}, {n : n 2 > 11}}. 22. Use um diagrama de Venn para mostrar que o seguinte argumento é válido: S 1 : Bebês são ilógicos. S 2 : Ninguém que possa lidar com crocodilos é desprezado. S 3 : Pessoas ilógicas são desprezadas. S 4 : Bebês não podem lidar com crocodilos. 23. Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Mostre que: (a) (A B) (A B ) = A, (b) (A B) B = A B; (c) (A B) B = ; 24. Prove que A B A e A A B. 25. Prove que se A B, então P (A) P (B). 26. Quais dentre estes conjuntos são iguais: {r, s, t}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r} e {s, t, s, t, r}. 27. Liste os elementos dos seguintes conjuntos: (a) A = {x : x N, 3 < x < 12}; (b) B = {x : x N, x é par, x < 15}; (c) C = {x : x N, 4 + x = 3}. 28. Considere os seguintes conjuntos: 3

4 A = {1} B = {1, 3} C = {1, 5, 9} D = {1, 2, 3, 4, 5} E = {1, 3, 5, 7, 9} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Insira o símbolo correto,,, em cada par de conjuntos: (a) A (c) B C (e) C D (g) D E (b) A B (d) B E (f) C E (h) D U Os problemas 5, 6 e 7 se referem ao conjunto universo U = {1, 2, 3,, 9} e aos conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} 29. Determine: (a) A B e A B (b) B D e B D 30. Determine: (a) A (b) B (c) D (d) E 31. Determine: C = {5, 6, 7, 8, 9} D = {1, 3, 5, 7, 9} (c) A C e A C (d) D E e D E (e) A B (f) B A E = {2, 4, 6, 8} F = {1, 5, 9}. (e) E E e E E (f) D F e D F (g) D E (h) F E (a) A (B D) (b) (A E) (c) (A D) B (d) (B F ) (C E) 32. Mostre que é possível que A B = A C sem que B = C. 33. Considere o diagrama de Venn de dois conjuntos arbitrário A e B na Figura abaixo. Hachure os conjuntos: (a) A B (b) (B A) 34. Ilustre a lei da distribuidade A (B C) = (A B) (A C) com diagramas de Venn. 35. Determine a validade do seguinte argumento: S 1 : Todos os meus amigos são músicos. S 2 : João é meu amigo. S 3 : Nenhum dos meus vizinhos é músico. S 4 : João não é meu vizinho. 36. Determine quais dos seguintes conjuntos são finitos: (a) A={estações do ano} 4

5 (b) B={estados Brasileiros} (c) C={inteiros positivos menores do que 1} (d) D={inteiros ímpares} (e) E={divisores inteiros positivos de 12} (f) F={gatos que vivem em Florianópolis} 37. Use o Problema?? para provar que se A, B e C são conjuntos finitos, então A B C também é finito e n(a B C = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C). 38. Em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que: 25 lêem Diário Catarinense, 26 lêem A Folha de São Paulo, 26 lêem O Globo, 9 lêem Diário Catarinense e O Globo, 11 lêem Diário Catarinense e A Folha de São Paulo, 8 lêem A Folha de São Paulo e O Globo e 3 lêem os três jornais. (a) Ache o número de pessoas que lêem pelo menos um dos três jornais. (b) Preencha, com o número correto de pessoas, cada uma das oito regiões do diagrama de Venn na figura abaixo: COLOCAR A FIGURA (c) Ache o número de pessoas que lêem exatamente um jornal. 39. Prove as leis da comutatividade: (a) A B = B A (b) A B = B A. 40. Prove a seguinte identidade: (A B) (A B ) = A. 41. Prove que (A B) (A B) = (A B) (B A). 42. Determine os elementos do conjunto A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}. 43. Considere a classe A de conjuntos do problema anterior. Determine se cada uma das afirmativas seguintes é verdadeira ou falsa: (a) 1 A (b) {1, 2, 3} A (c) {6, 7, 8} A (d) {{4, 5}} A (e) A (f) A. 44. Determine o conjunto das partes de A, P (A), sendo A = {a, b, c, d}. 45. Seja S = {vermelho, azul, amarelo, verde}. Determine quais das seguintes classes são partições de S : (a) {{vermelho}, {azul, verde}} (b) {{vermelho, azul, amarelo, verde}} (c) {, {vermelho, azul}, {verde, amarelo}} (d) {{azul}, {vermelho, amarelo, verde}}. 46. Ache todas as partições de S = {1, 2, 3}. 47. Prove que são equivalentes: 5

6 (i) A B (ii) A B = A (iii) A B = B. 48. Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Mostre que: (a) [(A B) (A B )] = A ; (b) A (A B) = A B; (c) B (A B) = A B; 49. Uma operação binária em conjuntos chamada diferença simétrica é definida como A B = (A B) (B A). (a) Desenhe um diagrama de Venn para ilustrar A B. (b) Para A = {3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, ache A B. (c) Prove que A B = (A B) (A B) para A e B arbitrários. (d) Para um conjunto A arbitrário, ache A A e A. (e) Prove que A B = B A para conjuntos arbitrários A e B. (f) Para quaisquer conjuntos A, B e C demonstre que (A B) C = A (B C). 50. Considere os seguintes subconjuntos de Z : A = {x ( y)(y Z e y 4 e x = 3y)} B = {x ( y)(y Z e x = 2y)} C = {x x Z e x 10}. Usando as operações de conjuntos, descreva cada um dos seguintes conjuntos em termos de A, B e C : (a) o conjunto de todos os inteiros ímpares (b) { 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10} (c) {x ( y)(y Z e y 2 e x = 6y)} (d) { 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9} (e) {x ( y)(y Z e y 5 e x = 2y + 1)} {x ( y)(y Z e y 5 e x = 2y 1)} 6

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